VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

10 PILAR BAYER
primers ≤ N per als quals a és una arrel primitiva mòdul p, aleshores
νa(N) 0.3739558 π(N).
Tal com hem vist, p divideix 2 p−1 −1 per a tot primer p > 2. Diguem
de passada que la congruència 2 p−1 − 1 ≡ 0 (mod p 2 ) està lligada amb
l’anomenat primer cas del Teorema de Fermat. Si considerem tots els
primers p < 100 000, veurem que per a tots ells, llevat de p = 1 093
i p = 3 511, se satisfà que p 2 no divideix 2 p−1 − 1. L’any 1909, A.
Wieferich demostrà que si l’equació x p +y p = z p tenia solucions enteres
amb p ∤ xyz, aleshores calia que p 2 dividís 2 p−1 − 1. Fent servir aquest
criteri, i d’altres per l’estil, D.H. Lehmer i Emma Lehmer provaren
l’any 1941 que el primer cas del Teorema de Fermat és cert per a tot
primer p < 253 747 889. Naturalment, avui aquesta mena de resultats
han estat superats pel teorema de Wiles.
1.3. Aplicacions de les fraccions continuades. Diferents problemes
de l’Arithmetica de Diofant condueixen cap a l’estudi d’equacions
del tipus Ax 2 + Bx + C = y 2 . El popular problema dels bous del Sol
d’Arquimedes (cf. [Ve1970]) condueix en la seva anàlisi última a l’estudi
de l’equació y 2 − Ax 2 = 1, per a A = 4 729 494. Brahmagupta, en el
segle VII, i Bhascara, en el segle XII, iniciaren la resolució d’equacions
de la forma x 2 − Ay 2 = 1.
L’any 1657, Fermat afirmà que l’equació anterior posseeix una infinitat
de solucions enteres; dos anys més tard, afirmà que ho podia
provar per mitjà del seu mètode del descens. Tanmateix, desafià els
matemàtics anglesos Lord Brouncker i John Wallis amb la resolució
d’aquest problema, els quals li’n proposaren solucions parcials.
La idea de fer ús de les fraccions continuades per a resoldre les equacions
anteriors sembla ser deguda a Euler. L’any 1759, Euler començà
a ocupar-se de l’equació x2 − Ay2 = 1, anomenant-la equació de Pell,
nom que ha perdurat fins els nostres dies. La idea d’Euler per a resoldre
aquesta equació fou la següent: si (x, y) és una solució en els enters
de l’equació x2 − Ay2 = 1, aleshores x2 1 x
= A + ; per tant
y2 y2 y > √ A i