VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

4 PILAR BAYER
nombre perfecte del tipus indicat per Euclides acaba o bé en 6 o bé
en 8.
En una carta del 1640 adreçada al sacerdot M. Mersenne, Fermat féu
tres afirmacions que considerà bàsiques per a la descoberta de nombres
perfectes, remarcant que les havia provat amb un esforç considerable.
Eren les següents: (a) Perquè 2 n − 1 sigui un nombre primer, cal que n
sigui primer. (b) Si p és un nombre primer, aleshores 2 p − 2 és divisible
per p. (c) Si 2 p − 1 és compost, per a un nombre primer p, aleshores els
seus divisors propis són del tipus 2kp+1. (Per exemple 2 11 −1 = 23·89,
el nombre 47 divideix 2 23 − 1 i el nombre 223 divideix 2 37 − 1.)
Des d’aleshores, els nombres Mp = 2 p −1, on p és primer, són anomenats
nombres de Mersenne. Mersenne fou també molt conegut en ambients
musicals del segle XVII. El seu Traité de l’harmonie universelle
de l’any 1627 és una de les fonts teòriques musicals més importants del
seu temps, atès que els estudis que hi figuren serviren per a l’arrelament
del sistema temperat.
En una altra carta, adreçada aquest cop a Frenicle de Bessy, Fermat
afirmà que tenia una demostració del fet que, per a tot primer p i
tot enter x no divisible per p, el nombre x p−1 − 1 és divisible per p,
generalitzant així l’afirmació que ell mateix havia fet en el cas x = 2.
Aquesta proposició constitueix el Petit teorema de Fermat. De Fermat,
però, no se’n coneix cap prova.
En el decurs de tota la seva vida, Euler no deixà d’interessar-se
pel problema dels nombres perfectes. En el treball [Eu1732], Euler
s’adonà que si p = 4m − 1 i q = 8m − 1 són nombres primers, aleshores
2 p − 1 = 2 (q−1)/2 − 1 és divisible per q. Per mitjà d’aquest resultat,
obtingué que els nombres de Mersenne Mp són compostos per a p =
11, 23, 83, 131, 179, 191, 239. Atès que, segons observà, 223 divideix
M37, 431 divideix M43, 1103 divideix M29 i 439 divideix M73, Euler
conjecturà en aquest treball que, a banda dels casos esmentats, per a tot
altre primer p < 50, 2 p−1 Mp seria perfecte. Posteriorment, Euler afegí
a la relació anterior de nombres de Mersenne compostos els nombres
M41 i M47. Efectivament, els nombres
M2, M3, M5, M7, M13, M17, M19, M31