VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

22 PILAR BAYER
on, en el producte, p descriu tots els primers (afirmació que resulta
de la descomposició de tot nombre natural en producte de primers, de
manera única), si el conjunt dels primers fos finit, aleshores el terme
de la dreta representaria una quantitat finita, mentre que el de l’esquerra,
una infinita. Aquesta prova, conceptualment més difícil que
la d’Euclides, té l’encís d’establir un lligam entre un fet de natura algebraica:
l’existència d’infinits primers, i un fet de natura analítica:
la divergència de la sèrie harmònica. Esdevingué la idea germinal que
conduí a la utilització de tècniques analítiques en teoria de nombres.
Com a primera aplicació de les idees introduïdes per Euler, esmentem
la demostració del teorema de la progressió aritmètica, obtinguda
anys més tard per Dirichlet. En el seu Opuscula analytica, Euler
havia afirmat que tota progressió aritmètica que comenci per 1 conté
infinits nombres primers. En una pretesa demostració de la llei de
reciprocitat quadràtica, i tal com havia posat Gauss de manifest en les
Disquisitiones, Legendre havia tanmateix fet servir que tota progressió
aritmètica {a + dm} en la qual mcd(a, m) = 1 conté infinits primers.
Dirichlet arribaria a aquest resultat demostrant la divergència de la
sèrie
p≡a (modp)
Per a tal fi, Dirichlet introduí unes funcions aritmètiques complexes,
anomenades caràcters, que en la terminologia actual corresponen als
caràcters del grup abelià finit (Z/mZ) ∗ . Donat un caràcter χ, Dirichlet
considerà la sèrie
L(χ, s) =
∞
s=1
p
1
p .
χ(n)
, ℜ(s) > 1,
ns i demostrà que aquesta admet una descomposició en producte d’Euler:
L(χ, s) =
1 − χ(p)
ps −1 .
La part més difícil de la demostració del teorema de progressió aritmètica
esdevé la prova que L(χ, 1) = 0, quan χ és un caràcter real
diferent del caràcter unitat. Dirichlet obtingué aquest resultat a partir
de la teoria de classes de formes quadràtiques binàries de Gauss, en