VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

24 PILAR BAYER
D’altra banda, tenint en compte els valors de ζ(2) i ζ(4), dedueix que
1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 1
4
2
=
π2
1 + 1
1
+ + . . . ,
32 52 1 − 2 3 + 3 3 − 4 3 + . . . = − 1
8
23
= −
π4
1 + 1
3
A partir d’aquí, Euler dedueix les identitats següents:
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · ·
1 − 1 1 1 1 1
+ − + − + · · ·
22 32 42 52 62 1 2 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + 5 2 − 6 2 + · · ·
1 − 1 1 1 1 1
+ − + − + · · ·
23 33 43 53 63 1 3 − 2 3 + 3 3 − 4 3 + 5 3 − 6 3 + · · ·
1 − 1 1 1 1 1
+ − + − + · · ·
24 34 44 54 64 1 4 − 2 4 + 3 4 − 4 4 + 5 4 − 6 4 + · · ·
= 1 · (22 − 1)
,
(2 − 1)π2 = 0,
1 − 1
= 0,
1 1 1 1
+ − + − + · · ·
25 35 45 55 65 i conjectura que la funció
∞
Φ(s) :=
n=1
(−1) n
n s ,
1
+ + · · · .
4 54 = − 1 · 2 · 3 · (24 − 1)
(23 − 1)π4 ,
satisfà l’equació funcional
Φ(1 − n)
Φ(n) =
⎧
⎨
⎩
0, si n és senar,
(−1) (n/2)+1 (2 n − 1)(n − 1)!
(2 n−1 − 1)π n , si n és parell,
per a tot n ≥ 2. Per a n = 1, considera que
1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
1 − 1 1 1
+ − + · · ·
2 3 4
= 1
2 ln 2 .