VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

40 PILAR BAYER
on els índexs 1
n(n + 1) descriuen tots els nombres triangulars, Ra-
2
manujan aconseguí demostrar les dues primeres congruències.
Més endavant, Ramanujan formulà la conjectura següent: si δ =
5 a · 7 b · 11 c i 24λ ≡ 1 (mod δ), aleshores
p(mδ + λ) ≡ 0 (mod δ).
Un moment de reflexió posa en evidència que n’hi ha prou a provar la
conjectura per als valors de δ = 5 a , 7 b i 11 c .
L’any 1938, la conjectura anterior fou lleugerament corregida per
Watson, car l’afirmació corresponent de Ramanujan no és correcta per a
δ = 7 b . En la seva forma definitiva, les congruències quedaren finalment
demostrades en el treball de O. L. Atkin [At1967].
La recerca de congruències entre els valors de funcions aritmètiques
ha estat una constant des dels temps de Ramanujan (cf., per exemple,
[LeV1974]). L’any 1967, Serre enuncià una conjectura, més endavant
estudiada
per Deligne, que associava a certes formes parabòliques f =
∞
n=1 τ(n)e2πinz de pes enter k un sistema de representacions ℓ-àdiques:
de manera que
ρℓ : Gal(Kℓ|Q) → GL2(Zℓ),
Tr(ρℓ(Fp)) = τ(p),
det(ρℓ(Fp)) = p k−1 ,
per a tot primer p = ℓ. Ací Kℓ indica l’extensió maximal de Q no
ramificada fora de ℓ i Fp l’element de Frobenius en p. Un estudi de la
imatge de ρℓ, i en particular de les seves reduccions mòdul ℓ, permeteren
a Swinnerton-Dyer [SwD1973] explicar els motius de les congruències
de certes funcions (cas de la τ), caracteritzant els primers per als quals
n’hi podia haver.
En relació amb la teoria de particions, una altra relació fou descoberta
i provada per Euler referent a la funció suma de divisors. Euler
[Eu1751] havia observat que la funció n, igual a la suma dels divisors