VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

14 PILAR BAYER
Figura 3. Nombres pentagonals: 1, 5, 12, 22, 35, 51, . . .
En general, els nombres n-gonals són donats per les successives
sumes dels termes d’una progressió aritmètica de diferència n − 2.
C. G. Bachet, editor de l’Arithmetica de Diofant, remarcà que en el
llibre IV, 31, aquest autor utilitza que tot enter és expressable com la
suma de quatre quadrats. El propi Bachet comprovà aquest resultat
per a tots el enters n ≤ 325, i en cridà l’atenció de Fermat. Fermat
respongué així a Bachet:
Jo vaig ésser el primer en descobrir el bell i general teorema
que diu que tot nombre és, o bé triangular, o és suma
de dos o tres nombres triangulars; tot nombre és, o bé
un quadrat, o és suma de dos, tres o quatre quadrats; tot
nombre és, o bé pentagonal, o és suma de dos, tres, quatre
o cinc nombres pentagonals; i així fins a l’infinit, tant
si es tracta de nombres hexagonals, heptagonals o poligonals.
Aquí no en puc donar la demostració, atès que
depèn de nombrosos i abstrusos misteris dels nombres;
tinc, però, la intenció de dedicar un llibre sencer al tema
i dur a terme en aquesta part de l’aritmètica avenços espectaculars,
que van més enllà dels límits coneguts fins
ara.
P. de Fermat
Coneixent el procedir de Fermat, no cal dir que el llibre que anuncia
no es publicà mai.
Euler dedicà nombrosos articles a l’estudi dels nombres poligonals.
L’any 1749, i després de set anys de temptatives, reeixí a demostrar
que tot nombre primer p = 4n + 1 és suma de dos quadrats, resultat
que havia estat predit també per Fermat.