VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS
PILAR BAYER
Índex
Introducció 2
1. Contribucions d’Euler a la teoria elemental de nombres 3
1.1. La descoberta per Euler del vuitè nombre perfecte 3
1.2. Nombres de Fermat. Arrels primitives 7
1.3. Aplicacions de les fraccions continuades 10
1.4. El cas n = 3 de l’equació de Fermat; altres equacions
diofantines 12
1.5. Aportacions d’Euler al problema de Bachet 13
2. La fonamentació per Euler de la teoria analítica de nombres 17
2.1. La introducció de la funció zeta 17
2.2. L’equació funcional de la zeta 23
2.3. Un incís en la funció gamma 25
2.4. La memòria de Riemann 26
2.5. La funció zeta i el teorema dels nombres primers 29
2.6. Retorn a Euler 35
3. Els orígens de la teoria de particions 36
Referències 41
Maig de 2007. En el tercer centenari del naixement de Leonhard Euler.
Versió revisada de l’article Variæ observationes circa series infinitas. En el 2n centenari
de la mort de Leonhard Euler, publicat en el Butlletí de la Societat Catalana
de Ciències 2, núm. 4: Leonhard Euler (1707-1783), (1984), 75-127.
1

2 PILAR BAYER
Introducció
A l’hora d’apreciar la importància de l’obra de Leonhard Euler
(1707-1783) en àrees com la teoria de nombres o l’àlgebra, cal tenir
present que a l’inici del segle XVIII aquestes disciplines tot just emergien
de la seva protohistòria, per la qual cosa tenien sovint un caràcter
experimental i d’entreteniment.
L’Arithmetica de Diofant d’Alexandria romangué ignorada a Europa
fins a la segona meitat del segle XV, malgrat les traduccions que
prèviament se’n feren en el món àrab, i no fou fins al segle XVII que
comptà amb un lector creatiu: Pierre de Fermat (1601-1665).
Es pot dir que Euler fou l’estudiós següent de l’obra de Diofant. A
partir d’enigmàtiques afirmacions de Fermat, Euler descobrí propietats
remarcables dels nombres, afavorint d’una manera admirable el naixement
posterior de les Disquisitiones Arithmeticæ de Carl Friedrich
Gauss (1777-1855).
Centenars d’equacions diofantines tractades per Euler conformaren
així mateix l’estudi bàsic de les formes quadràtiques, de les formes
de grau superior, de les corbes el·líptiques i de nombroses recerques
aritmètiques que arriben fins als nostres dies.
Un dels mèrits més remarcables d’Euler és haver estat l’iniciador
de la teoria analítica de nombres. Les seves manipulacions de sèries
divergents, plenes de coratge, li permeteren intuir lligams profunds entre
propietats analítiques i propietats algebraiques dels nombres. El
temps i l’esforç de nombrosos matemàtics (Legendre, Gauss, Dirichlet,
Abel, Jacobi, Kummer, Riemann, Dedekind, Ramanujan, Hilbert,
Hadamard, Takagi, Hecke, Siegel, Artin, Weil, Shimura, Iwasawa, Grothendieck,
Serre, Deligne, etc.) feren la resta.
El text d’Euler Vollständige Anleitung zur Algebra [Eu1770] és certament
elemental. Aquesta publicació, juntament amb la memòria de
Lagrange Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770),
el tractat Théorie des nombres de Legendre (1798) i les Disquisitiones
Arithmeticæ de Gauss (1801) configuren el nucli de l’àlgebra coneguda
abans de la incorporació a aquesta disciplina de les idees d’ Évariste
Galois (1811-1832).

Val a dir que molts conceptes matemàtics iniciats o bé tractats per
Euler no disposaren d’un llenguatge escaient fins a ben entrat el segle
XIX.
1. Contribucions d’Euler a la teoria elemental de
nombres
1.1. La descoberta per Euler del vuitè nombre perfecte. Els
grecs anomenaren perfectes els nombres que coincideixen amb la suma
de les seves parts alíquotes, com ara el 6 = 1+2+3. En escriure en base
dos els quatre primers nombres perfectes, coneguts ja pels pitagòrics,
obtenim la taula
nombre base 10 base 2
P2 6 110
P3 28 11 100
P5 496 111 110 000
P7 8128 1 111 111 000 000
Comprovem, per tant, que són de la forma
Pn = 2 n−1 (1 + 2 + 4 + · · · + 2 n−1 ) = 2 n−1 (2 n − 1).
El problema de la determinació dels nombres perfectes motivà en
gran part el rigorós estudi de la divisibilitat dels nombres que Euclides
portà a terme en els Elements. Encara avui no se sap si existeixen
infinits nombres perfectes.
En el capítol IX dels Elements, Euclides demostrà que tots els nombres
de la forma 2 n−1 (2 n − 1) són perfectes quan 2 n − 1 és un nombre
primer. En aquest mateix capítol, Euclides provà l’existència d’infinits
nombres primers.
El següent nombre perfecte, P13 = 2 12 (2 13 − 1) = 33 550 336, fou
descobert el segle XV. Poc després, P. Cataldi (1548-1626) perllongà la
llista de nombres perfectes amb dues unitats més: P17 = 2 16 (2 17 − 1) =
8 589 869 056 i P19 = 2 18 (2 19 − 1) = 137 438 691 328, i demostrà que tot
3

4 PILAR BAYER
nombre perfecte del tipus indicat per Euclides acaba o bé en 6 o bé
en 8.
En una carta del 1640 adreçada al sacerdot M. Mersenne, Fermat féu
tres afirmacions que considerà bàsiques per a la descoberta de nombres
perfectes, remarcant que les havia provat amb un esforç considerable.
Eren les següents: (a) Perquè 2 n − 1 sigui un nombre primer, cal que n
sigui primer. (b) Si p és un nombre primer, aleshores 2 p − 2 és divisible
per p. (c) Si 2 p − 1 és compost, per a un nombre primer p, aleshores els
seus divisors propis són del tipus 2kp+1. (Per exemple 2 11 −1 = 23·89,
el nombre 47 divideix 2 23 − 1 i el nombre 223 divideix 2 37 − 1.)
Des d’aleshores, els nombres Mp = 2 p −1, on p és primer, són anomenats
nombres de Mersenne. Mersenne fou també molt conegut en ambients
musicals del segle XVII. El seu Traité de l’harmonie universelle
de l’any 1627 és una de les fonts teòriques musicals més importants del
seu temps, atès que els estudis que hi figuren serviren per a l’arrelament
del sistema temperat.
En una altra carta, adreçada aquest cop a Frenicle de Bessy, Fermat
afirmà que tenia una demostració del fet que, per a tot primer p i
tot enter x no divisible per p, el nombre x p−1 − 1 és divisible per p,
generalitzant així l’afirmació que ell mateix havia fet en el cas x = 2.
Aquesta proposició constitueix el Petit teorema de Fermat. De Fermat,
però, no se’n coneix cap prova.
En el decurs de tota la seva vida, Euler no deixà d’interessar-se
pel problema dels nombres perfectes. En el treball [Eu1732], Euler
s’adonà que si p = 4m − 1 i q = 8m − 1 són nombres primers, aleshores
2 p − 1 = 2 (q−1)/2 − 1 és divisible per q. Per mitjà d’aquest resultat,
obtingué que els nombres de Mersenne Mp són compostos per a p =
11, 23, 83, 131, 179, 191, 239. Atès que, segons observà, 223 divideix
M37, 431 divideix M43, 1103 divideix M29 i 439 divideix M73, Euler
conjecturà en aquest treball que, a banda dels casos esmentats, per a tot
altre primer p < 50, 2 p−1 Mp seria perfecte. Posteriorment, Euler afegí
a la relació anterior de nombres de Mersenne compostos els nombres
M41 i M47. Efectivament, els nombres
M2, M3, M5, M7, M13, M17, M19, M31

són els únics nombres de Mersenne primers per a p < 50. Euler justificà
així les seves afirmacions:
Deduxi has observationes ex theoremate quodam non ineleganti,
cuius quidem demonstrationem quoque non habeo,
verum tamen de eius veritate sum certissimus. Theorema
hoc est: a n − b n semper potest dividi per n + 1, si
n + 1 fuerit numers primus atque a et b non possint per
eum dividi; eo autem difficiliorem puto eius demonstrationem
esse, quia non est verum, nisi n + 1 sit numerus
primus.
En el treball [Eu1736a], Euler publicà la següent demostració del
Petit teorema de Fermat: donat un primer p, se satisfà que
2 p = (1 + 1) p = 1 + p +
p(p − 1)
2 · 1
3 p = (1 + 2) p = 1 + mp + 2 p ,
3 p − 3 − (2 p − 2) = mp,
(1 + a) p = 1 + np + a p
(1 + a) p − (1 + a) − (a p − a) = np.
5
+ · · · + p + 1 = 2 + kp,
Per tant, si a p − a és divisible per p, també ho seran (a + 1) p − (a +
1),. . . ,(a + b) p − (a + b). Com que per a a = 2, 2 p − 2 és divisible per
p, en prendre x = 2 + b, la diferència x p − x serà divisible per p, per a
tot nombre enter x.
Euler [Eu1747] demostrà que si 2 p −1 és compost per a un primer p,
aleshores els seus divisors propis són, efectivament, de la forma predita
per Fermat. El seu raonament és el següent: si q és un divisor primer
de 2 p − 1, com que mcd(2 p − 1, 2 q−1 − 1) = 2 g − 1, on g = mcd(p, q − 1)
i q divideix sempre 2q−1 − 1, cal que sigui g > 1; però com que p és
primer, cal que p divideixi q − 1. És a dir, q = sp + 1, però s cal que
sigui parell, atès que q és primer.

6 PILAR BAYER
Fent ús novament del Petit teorema de Fermat, el resultat anterior
pot ésser refinat; es pot veure així que tot divisor de Mp, per a p > 2,
és del tipus 8k ± 1 (cf. [Sha1962], Ch.1, Th.19).
En una carta de l’any 1772, Euler comunicà a un dels Bernoulli
que havia pogut establir el caràcter primer de M31 i que, per tant,
P31 = 2 30 M31 és el vuitè nombre perfecte. Per a obtenir aquest resultat,
Euler havia examinat tots els primers dels tipus 248n+1 o bé 248n+63
més petits que 46 339. Per a copsar fins a quin punt l’ús del Petit
teorema de Fermat facilità a Euler la recerca d’aquest nombre perfecte
podem fer el càlcul següent:
Definim Mp := 2 p −1 i sp := [ Mp]. Siguin cp = π(sp) el nombre de
primers més petits o iguals que una quantitat donada sp, fp = π2p,1(sp)
el de primers més petits o iguals que sp continguts a la progressió
aritmètica {1 + t2p}, i ep el nombre de primers de la forma anterior
que, a més, poden ésser escrits com 8k ± 1. D’entrada, el nombre de
divisions (no elementals) que Euler hauria necessitat per a establir el
caràcter primer de M31 hauria estat c31 = π(46 340) = 4 792. El treball
del 1747 li permeté restringir-se a un total de f31 = 157, mentre que
en el procediment que finalment seguí li’n bastaren e31 = π248,1(s31) +
π248,63(s31) = 84.
Avui, en què la tasca de fer operacions aritmètiques ha esdevingut
incomparablement més fàcil, es coneixen únicament 44 nombres perfectes.
El darrer correspon a p = 232 582 657 i té 19 616 714 dígits.
En el treball [Eu1760], Euler donà la seva celebrada generalització
del Petit teorema de Fermat. El teorema 10 diu:
Exponents minimae potestatis x ν , quae per numerum N
ad x primum divisa unitatem relinquit, vel est aequalis
numero partium ad N primarum vel huius numeri semissis
aliave eins pars aliquota.
L. Euler, [Eu1760]
Escrivim, d’acord amb la notació introduïda posteriorment per Gauss
en les Disquisitiones, ϕ(N) per a indicar el nombre d’enters positius
primers amb N més petits que N. En el mateix treball, Euler demostra
que ϕ és una funció multiplicativa, que ϕ(p m ) = p m−1 (p − 1), per a tot

primer p, i obté en conseqüència el valor de ϕ per a qualsevol nombre
natural. La relació
d|N ϕ(d) = N és, però, deguda a Gauss.
En relació amb el Petit teorema de Fermat, seria injust no fer esment
d’una demostració donada per Leibniz, car és anterior a la d’Euler.
L’any 1894, G. Vacca trobà a la biblioteca de Hannover uns manuscrits
de Leibniz anteriors al 1683 on hi demostra aquell resultat de la manera
següent: siguin x = a + b + c · · · i p un primer; cada coeficient
multinomial que apareix en el càlcul de xp − ap és divisible per p; en
prendre a = b = c = · · · = 1, s’obté que xp − x és múltiple de p, per a
tot enter x.
Si bé en l’Arithmetica de Nicòmac (∼ 100 a. de C.) ja s’afirma que
tot nombre perfecte és del tipus trobat per Euclides, no fou fins en
un treball pòstum d’Euler [Eu1849a] on es demostrà que tot nombre
perfecte parell és de la forma 2 p−1 (2 p − 1).
En un altre treball pòstum [Eu1849b], Euler demostrà que, d’existir
un nombre perfecte senar, aquest seria de la forma
q 4d+1 p 2r1
1 · ... · p 2rs
s ,
on els nombres pi, 1 ≤ i ≤ s, són primers senars, i q és un nombre
primer de la forma 4n + 1.
No es coneix cap nombre perfecte senar. Se sap, però, que no n’hi
ha cap més petit que 10 500 .
1.2. Nombres de Fermat. Arrels primitives.
Cum autem numeros a binario quadratice in se ductos
et unitate auctos esse semper numeros primos apud me
constet et iam dudum Analystis illius theorematis veritas
fuerit significata, nempe esse primos 3, 5, 17, 257,
65537, etc. in infinit, nullo negotio etc.
P. de Fermat, [Fe1891a]
Els nombres de la forma Fn := 22n + 1 s’anomenen nombres de Fermat.
Per a 0 ≤ n ≤ 4 són tots primers. En una carta del 1640 adreçada
a Frenicle de Bessy, Fermat afirmà la seva creença que tots aquests
nombres serien primers, si bé en aquesta ocasió admeté no tenir-ne cap
7

8 PILAR BAYER
prova. L’any 1654, Fermat encarregà a B. Pascal (1623-1662) l’estudi
d’aquesta qüestió.
L’any 1729, Christian Goldbach (1690-1764) cridà l’atenció d’Euler
sobre l’afirmació de Fermat relativa als nombres Fn. Euler demostrà
primerament que si a i b són nombres enters relativament primers,
aleshores tot divisor de a2n +b2n o bé és 2, o bé és de la forma 2n+1k+1. D’aquesta manera, qualsevol possible factor de F5 seria de la forma
64k + 1; en prendre k = 10, Euler [Eu1732] proporcionà la descomposició
F5 = 2 32 + 1 = 641 · 6700417,
en contra de l’opinió de Fermat. Fins avui, no s’ha pogut trobar cap
altre nombre de Fermat que sigui primer.
Com és ben sabut, els nombres de Fermat juguen un paper especial
en les construccions amb regle i compàs. Segons un resultat descobert i
provat per Gauss, tot polígon regular de Fn costats, amb Fn primer, és
construïble amb l’únic ajut d’aquests instruments. Gauss afirmà, sense
demostrar-ho, que el recíproc també és cert, amb la qual cosa, per a
que un polígon de m costats sigui construïble amb regla i compàs és
condició necessària i suficient que m sigui producte d’una potència de
dos (possiblement igual a 1) per primers Fn, dos a dos diferents.
Gauss basa la seva demostració en l’estudi dels anomenats períodes
de les equacions ciclotòmiques. En la introducció a l’article 7 de les
Disquisitiones, Gauss afirma que els principis en els quals es basa la seva
teoria s’apliquen no solament a les funcions circulars (sin, cos, etc.)
sinó també a moltes altres (“sed pari successu ad multas alias functiones
transscendetes applicari possunt, e.g. ad eas quae ab integrali
dx
√ 1 − x 4
pendent”). Vint-i-cinc anys deprés, N. Abel i C. G. J. Jacobi
donaren un fort impuls a l’estudi de les funcions el·líptiques. D’aquesta
manera, Abel pogué precisar i demostrar (en els números 2 i 3 del Journal
de Crelle) el resultat intuït per Gauss: si m = 2 a p1 · ... · pt, on a ≥ 0
i pi, 1 ≤ i ≤ t, són primers de Fermat dos a dos diferents, aleshores la
lemniscata pot ésser dividida en m parts iguals fent ús únicament del
regle i del compàs. El teorema d’Abel sobre la divisió de la lemniscata
està estretament relacionat amb l’estudi d’extensions abelianes de
cossos quadràtics imaginaris. Com en el cas dels polígons inscrits en

una circumferència, el recíproc d’aquest teorema també és cert. Rosen
[Ro1981] en publicà una demostració en un article que constitueix una
deliciosa introducció a l’estudi de l’aritmètica de les corbes el·líptiques.
Una altra contribució remarcable d’Euler a la teoria elemental de
nombres és la relacionada amb el teorema de Wilson. L’any 1770, E.
Waring fou el primer en enunciar que 1 + (p − 1)! sempre és divisible
per p i atribuí aquesta descoberta a Sir John Wilson (1741-1793). En
els manuscrits de Leibniz, es trobà també una afirmació equivalent. El
primer en publicar una demostració de l’anomenat teorema de Wilson
fou Lagrange, que el demostrà a partir del Petit teorema de Fermat.
L’any 1773, Euler publicà una demostració del teorema de Wilson que,
si bé no és del tot completa, és molt interessant. En ella, Euler emprà
per primera vegada una arrel primitiva mòdul p, la qual en el llenguatge
actual correspon a un generador del grup multiplicatiu del cos
finit Fp de p elements. El concepte d’arrel primitiva havia estat introduït
per Lambert, però la denominació d’arrel primitiva és deguda a
Euler. Suposant l’existència d’una tal arrel, a, Euler procedí així per
a demostrar el teorema de Wilson: quan dividim 1, a, a 2 , . . . , a p−2 per
p, obtenim els residus 1, 2, 3, . . . , p − 1, en un determinat ordre. Així,
a (p−1)(p−2)/2 té el mateix residu mòdul p que (p − 1)!. Suposem que
p > 2, i sigui p = 2n + 1. Atès que el residu de a n és −1, aleshores
a n(2n−1) i, per tant, (p − 1)!, tenen residu −1.
L’any 1772, Euler afirmà que no coneixia cap regla general per al
càlcul d’arrels primitives mòdul p, però en calculà una taula per a tot
primer p ≤ 41.
En les Disquisitiones Arithmeticæ , Gauss donà dues demostracions
de l’existència d’arrels primitives mòdul un nombre primer i demostrà
que un mòdul m admet arrels primitives si, i només si, m és igual a
2, 4, p α , 2p α , on p denota un primer senar.
Un resultat curiós diu que si Fn = 22n+1 és primer (n ≥ 1), aleshores
3 és una arrel primitiva per a Fn.
Una conjectura no demostrada, formulada per Emil Artin, afirma
que tot enter a = −1, no quadrat, és una arrel primitiva per a infinits
primers. Una forma més precisa d’aquesta conjectura, deguda també
a Artin, diu que si a = b n per a n > 1, i si νa(N) indica el nombre de
9

10 PILAR BAYER
primers ≤ N per als quals a és una arrel primitiva mòdul p, aleshores
νa(N) 0.3739558 π(N).
Tal com hem vist, p divideix 2 p−1 −1 per a tot primer p > 2. Diguem
de passada que la congruència 2 p−1 − 1 ≡ 0 (mod p 2 ) està lligada amb
l’anomenat primer cas del Teorema de Fermat. Si considerem tots els
primers p < 100 000, veurem que per a tots ells, llevat de p = 1 093
i p = 3 511, se satisfà que p 2 no divideix 2 p−1 − 1. L’any 1909, A.
Wieferich demostrà que si l’equació x p +y p = z p tenia solucions enteres
amb p ∤ xyz, aleshores calia que p 2 dividís 2 p−1 − 1. Fent servir aquest
criteri, i d’altres per l’estil, D.H. Lehmer i Emma Lehmer provaren
l’any 1941 que el primer cas del Teorema de Fermat és cert per a tot
primer p < 253 747 889. Naturalment, avui aquesta mena de resultats
han estat superats pel teorema de Wiles.
1.3. Aplicacions de les fraccions continuades. Diferents problemes
de l’Arithmetica de Diofant condueixen cap a l’estudi d’equacions
del tipus Ax 2 + Bx + C = y 2 . El popular problema dels bous del Sol
d’Arquimedes (cf. [Ve1970]) condueix en la seva anàlisi última a l’estudi
de l’equació y 2 − Ax 2 = 1, per a A = 4 729 494. Brahmagupta, en el
segle VII, i Bhascara, en el segle XII, iniciaren la resolució d’equacions
de la forma x 2 − Ay 2 = 1.
L’any 1657, Fermat afirmà que l’equació anterior posseeix una infinitat
de solucions enteres; dos anys més tard, afirmà que ho podia
provar per mitjà del seu mètode del descens. Tanmateix, desafià els
matemàtics anglesos Lord Brouncker i John Wallis amb la resolució
d’aquest problema, els quals li’n proposaren solucions parcials.
La idea de fer ús de les fraccions continuades per a resoldre les equacions
anteriors sembla ser deguda a Euler. L’any 1759, Euler començà
a ocupar-se de l’equació x2 − Ay2 = 1, anomenant-la equació de Pell,
nom que ha perdurat fins els nostres dies. La idea d’Euler per a resoldre
aquesta equació fou la següent: si (x, y) és una solució en els enters
de l’equació x2 − Ay2 = 1, aleshores x2 1 x
= A + ; per tant
y2 y2 y > √ A i

x
y + √ A > 2 √ A. En escriure l’equació de Pell en la forma
veiem que
x
y − √
x
A
y + √
A
x
y
− √
A
=
1
y2
x
y
+ √
<
A
= 1
,
y2 1
2y 2√ A ,
és a dir, x/y esdevé una reduïda del desenvolupament en fracció continuada
de √ A.
La demostració que una tal equació sempre té solucions enteres amb
y = 0 fou aconseguida per Lagrange l’any 1770. De fet, aquest teorema
és el primer cas conegut del teorema de Dirichlet relatiu a l’existència
d’elements unitaris en els anells d’enters dels cossos de nombres.
L’any 1737, Euler demostrà la irracionalitat dels nombres e i e 2
mitjançant l’ús de les fraccions continuades. La remarcable fórmula
d’Euler e ix = cos x + i sin x (cf. [Eu1748], Ch. VIII, §1387) proporciona
la igualtat e iπ = −1, que estableix un lligam entre π, e i i. L’any 1761,
Lambert pogué provar la irracionalitat de π, la de e x , i la de tan x, per a
x = 0 racional. Tanmateix, el perfeccionament del mètode emprat per
Euler i Lambert conduí Liouville, el 1844, a la descoberta dels nombres
transcendents.
En aquest punt, val la pena fer notar que les notacions π, e i i (per
a representar la unitat imaginària) foren així mateix introduïdes per
Euler.
3, 14159 26535 89793 23846 26433
83279 50288 41971 69399 37510
58209 74944 59230 78164 06286
20899 86280 34825 34211 70679
82148 08651 32723 06647 09384 46
Pour abréjer j’écrirai π au lieu de ce nombre, de sorte
que π = à la demi circonférence d’un cercle dont le rayon
=1.
11

12 PILAR BAYER
L. Euler, Des Quantités transcendantes qui naissen du
Cercle [Eu1748], Ch. VIII, §126
1.4. El cas n = 3 de l’equació de Fermat; altres equacions diofantines.
Es sey demnach p nich durch 3 theilbar und also unsere
beyden Factoren p
und pp +3qq untheilbar unter sich, so
4
müßte ein jeder für sich ein Cubus seyn. Laßt uns dahero
pp + 3qq zu einem Cubo machen, welches geschieht wann
man, wie oben gezeigt worden, setzt
und
p + q √ −3 = (t + u √ −3) 3
p − q √ −3 = (t − u √ −3) 3 .
Damit dadurch werde pp +3qq = (tt+3uu) 3 und also ein
Cubus.
L. Euler [Eu1770], Cap. 15, §243
Particularment interessant és l’estudi d’Euler del cas n = 3 de la
equació de Fermat x n + y n = z n . Els càlculs que realitzà a fi de provar
la no existència de solucions enteres el conduïren a la resolució d’una
equació diofantina del tipus p 2 + 3q 2 = r 3 . D’ací Euler deduí, sense
donar-ne demostració, que calia que existissin enters t, u tals que
p + q √ −3 = (t + u √ −3) 3 .
Per a arribar a aquesta conclusió, Euler hauria pogut emprar certes
propietats (inexistents) de la divisibilitat en l’anell Z[ √ −3]. En aquesta
omissió d’Euler es troba la idea germinal que conduiria Kummer i
Dedekind cap a la descoberta dels nombres ideals i de l’aritmètica del
cossos de nombres (cf. [Ba1976]).
Les aportacions d’Euler a la resolució d’equacions diofantines foren
constants al llarg de tota la seva vida. Entre d’altres, resolgué problemes
proposats per Diofant, com el següent: calcular tots els nombres
racionals x, y, z per als quals xy + x + y, xz + x + z i yz + y + z són

quadrats perfectes. Així mateix, proporcionà fórmules paramètriques
per al càlcul de totes les solucions enteres d’equacions com x 3 + y 3 =
z 3 +w 3 , x 4 +y 4 = z 4 +w 4 , i calculà totes les solucions enteres d’equacions
del tipus x 3 + Ay 3 = B, y 2 = x 3 + k, per a valors particulars de les
constants A, B i k.
Prèviament, casos particulars d’equacions diofantines de la forma
y 2 = 4x 3 − Ax − B, on A i B són nombres racionals, havien estat
considerats també per Fermat. Ambdós matemàtics, Euler i Fermat,
coneixien que si (a, b) i (c, d) són punts racionals de la corba corresponent,
la recta que els uneix (o la tangent quan coincideixen) tallava la
corba en un tercer punt racional. Partint d’un punt racional x1 = (a, b),
obtenien d’aquesta manera un punt racional x2, i el procés podia ésser
iterat. Euler s’adonà que, per mitjà d’aquest procediment, en certs casos
obtenia una infinitat de punts racionals i, en certs altres, n’obtenia
només un nombre finit, però no va saber com distingir-los per endavant!
1.5. Aportacions d’Euler al problema de Bachet. Els pitagòrics,
moguts pel seu interès pel concepte de nombre i per la geometria,
formularen la definició de nombre poligonal. Els nombres triangulars,
quadrats, pentagonals, etc. s’obtenen d’acord amb el procediment
il·lustrat a les figures 1, 2, 3.
Figura 1. Nombres triangulars: 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .
Figura 2. Nombres quadrats: 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .
13

14 PILAR BAYER
Figura 3. Nombres pentagonals: 1, 5, 12, 22, 35, 51, . . .
En general, els nombres n-gonals són donats per les successives
sumes dels termes d’una progressió aritmètica de diferència n − 2.
C. G. Bachet, editor de l’Arithmetica de Diofant, remarcà que en el
llibre IV, 31, aquest autor utilitza que tot enter és expressable com la
suma de quatre quadrats. El propi Bachet comprovà aquest resultat
per a tots el enters n ≤ 325, i en cridà l’atenció de Fermat. Fermat
respongué així a Bachet:
Jo vaig ésser el primer en descobrir el bell i general teorema
que diu que tot nombre és, o bé triangular, o és suma
de dos o tres nombres triangulars; tot nombre és, o bé
un quadrat, o és suma de dos, tres o quatre quadrats; tot
nombre és, o bé pentagonal, o és suma de dos, tres, quatre
o cinc nombres pentagonals; i així fins a l’infinit, tant
si es tracta de nombres hexagonals, heptagonals o poligonals.
Aquí no en puc donar la demostració, atès que
depèn de nombrosos i abstrusos misteris dels nombres;
tinc, però, la intenció de dedicar un llibre sencer al tema
i dur a terme en aquesta part de l’aritmètica avenços espectaculars,
que van més enllà dels límits coneguts fins
ara.
P. de Fermat
Coneixent el procedir de Fermat, no cal dir que el llibre que anuncia
no es publicà mai.
Euler dedicà nombrosos articles a l’estudi dels nombres poligonals.
L’any 1749, i després de set anys de temptatives, reeixí a demostrar
que tot nombre primer p = 4n + 1 és suma de dos quadrats, resultat
que havia estat predit també per Fermat.

Basant-se en idees d’Euler, Lagrange proporcionà l’any 1770 la primera
demostració de l’anomenat teorema de Bachet, segons els qual
tot enter n és suma de quatre quadrats (cf. [Di1966], II, Chap. VIII,
p. 279). Poc temps després, Euler simplificà considerablement la demostració
de Lagrange del teorema dels quatre quadrats i provà que
el teorema anàleg per als nombres triangulars és equivalent al fet que
tot enter m = 8n + 3 és suma de tres quadrats. L’any 1785, Legendre
afinà aquest resultat en provar que tot enter n = 4 r (8n + 7) és suma
de tres quadrats.
Pels voltants de 1754, Euler introduí la noció de residu quadràtic:
un nombre a es diu que és un residu quadràtic mòdul p si existeix un
enter x per al qual x 2 −a és divisible per p. Fent ús del símbol introduït
per Lagrange l’any 1808, escrivim:
a
:=
p
+1, si a és un residu quadràtic mòdul p,
−1, si no ho és,
on p denota un primer que no divideix a.
El 1758, Euler obtingué el criteri següent per al reconeixement de
residus quadràtics: donats un nombre primer p i un enter a no múltiple
de p, aleshores a 1
2 (p−1) és divisible per p si, i només si, a és un residu
quadràtic mòdul p. Abreujadament, podem doncs escriure:
a 1
2 (p−1)
a
≡ (mod p).
p
Per mitjà de propietats dels residus quadràtics, més concretament,
−1
utilitzant que = +1 si p = 4n + 1, Euler proporcionà en Opus-
p
cula Analytica [Eu1783b] una nova demostració del fet que tot primer
p = 4n + 1 és suma de dos quadrats. El treball [Eu1783a] és particularment
interessant, car Euler hi fa una afirmació (que es deduïria de
la llei de reciprocitat quadràtica), però que no sap com demostrar:
Huius elegantissimi theorematis demonstratio adhuc desideratur,
postquam a pluribus iamdudum frustra est investigata...
Quocirca plurimum is praestitisse censendus
15

16 PILAR BAYER
est, cui successerit demonstrationem huius theorematis
invenire.
L. Euler, [Eu1783a], p. 216
L’esmentada llei de reciprocitat quadràtica:
p q
= (−1)
q p
(p−1)(q−1)/4 , p, q primers senars diferents,
descoberta per Legendre, no esdevingué un teorema fins a les Disquisitiones
de Gauss, on s’hi poden trobar demostracions diferents. A
l’Art. 151 d’aquest llibre, Gauss comentà així una pretesa demostració
donada per Legendre d’aquesta llei:
Le Gendre etiam demonstrationem tentauit, de qua quum
perquam ingeniosa sit in Sect. seq. fusius loquemur. Sed
quoniam in ea plura sine demostratione supposuit (uti
ipse fatetur p. 520. Nous avons supposé seulement etc.),
quae partim a nemine hucusque sunt demonstrata, partim
nostro quidem indicio sine theor. fund. ipso demonstrari
nequent, via quam ingressus est, ad scopum deducere
non posse videtur, nostraque demonstratio pro prima
erit habenda.
C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticæ , Art. 151
L’omissió de Legendre a la qual Gauss fa referència és un cas particular
del que esdevindria el teorema de Dirichlet de la progressió
aritmètica (cf. Cap. II, 2.1 d’aquest treball).
En els articles 291-293 de les Disquisitiones, Gauss demostra novament,
fent ús de la teoria de les formes quadràtiques ternàries, que tot
enter de la forma 8n + 3 és suma de tres quadrats senars i calcula, a
més, el nombre de maneres diferents en què un enter n pot ésser expressat
com a suma de nombres triangulars. En última instància, aquest
nombre depèn del nombre de factors primers de n i del nombre h de
classes de formes quadràtiques binàries de determinant −n. Aquestes
recerques de Gauss foren prosseguides per Dirichlet, Eisenstein i Jacobi,
i donaren origen a una de les moltes aplicacions de la teoria de les
funcions el·líptiques.

La primera demostració de l’afirmació de Fermat relativa a que tot
nombre natural és suma de m nombres m-gonals fou donada per Cauchy
en els anys 1813-1815. La demostració de Cauchy fou simplificada per
Legendre. Legendre demostrà, a més, que tot enter n > 28(m − 2) 3
és suma de quatre nombres m-gonals, quan m és senar, i que tot enter
n > 7(m − 2) 3 ho és de cinc, quan m és parell.
2. La fonamentació per Euler de la teoria analítica de
nombres
2.1. La introducció de la funció zeta.
Si ex serie numerorum primorum sequens formetur expressio
2 n
(2 n − 1) ·
3 n
(3 n − 1) ·
5 n
(5 n − 1) ·
7 n
(7 n − 1) ·
erit eius valor aequalis summae huius seriei
1 + 1 1 1 1 1
+ + + + + etc.
2n 3n 5n 6n 7n 17
11n (11n etc
·
− 1) etc ,
L. Euler [Eu1737], Theorema 8
Dels cursos de càlcul, tots recordem que la sèrie harmònica
∞ 1
ns n=1
és convergent per a s > 1 i divergent en el cas contrari. Anticipant-nos
a la notació introduïda per Riemann, definim
∞ 1
ζ(s) = ,
ns n=1
sense precisar de moment on pertany la variable s.
El càlcul de ζ(2) aparegué proposat el 1650 en un text de Pietro
Mengoli titulat Novae Quadrature Arithmeticæ . Wallis, Leibniz, els
Bernoulli, Goldbach i Stirling s’ocuparen d’aquest problema, donantne
tots ells solucions aproximades. En una carta adreçada a Daniel

18 PILAR BAYER
Bernoulli, Goldbach li comunicà que podia demostrar que
1 16
25
= 1.64 < ζ(2) < 12
3
= 1.66.
Euler i Daniel Bernoulli havien conviscut a Sant Petersburg en el
període comprès entre 1727 i 1733. Podria ser que Euler esdevingués
interessat en aquest problema a través de D. Bernoulli. En aquesta
época, per manipulació de la sèrie
∞
Euler arribà a la identitat
log(1 − x)
x
= −
ζ(2) = (log 2) 2 +
n=1
∞
n=1
x n−1
n ,
1
2 n n 2
(cf. [Eu1736a]). L’avantatge d’aquesta darrera expressió es troba en què
∞
la sèrie 1/(2 n n 2 ) convergeix més de pressa que la sèrie que defineix
n=1
ζ(2). Mitjançant les expressions
log 2 = − log(1 − 1
) =
2
∞
n=1
∞
n=1
1
n2 ∼ 0.951787 . . . ,
2n 1
∼ 0.693147 . . . ,
n2n Euler obtingué al valor aproximat ζ(2) ∼ 1, 644934 . . .
En el treball Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali
[Eu1736b], publicat el 1736 però anterior probablement al 1734,
Euler obté l’aproximació correcta
a partir de la descomposió
ζ(2) = 1.64493406684822643647 . . .
ζ(2) =
10
n=1
1
+
n2 ∞
n=11
1
.
n2

Calculà a mà la suma dels primers termes i aproximà la resta mitjançant
una fórmula deduïda per ell per al càlcul de
n
m k , k ≥ 1.
m=1
En aquesta darrera fórmula intervenen els nombres de Bernoulli, Bn,
definits per la funció generatriu
x
ex − 1 =
∞ Bnxn , |x| < 2π.
n!
n=0
El resultat més brillant d’Euler en aquestes qüestións fou obtingut
sin x
en el treball [Eu1734]. Partint de la funció f(x) = 1 − , on α és
sin α
fix i diferent d’un múltiple enter de π, i mitjaçant el desenvolupament
del sin x, escriu:
f(x) = 1 − x x3
+ − · · ·
sin α 3! sin α
Tot seguit, Euler considera el terme de la dreta com un polinomi de
grau infinit i el descompon tenint en compte les seves arrels. Si aquestes
són a1, a2, · · · , an, · · · , escriu
f(x) =
1 − x
a1
1 − x
a2
· · · 1 − x
· · · =
an
De la definició de f(x), se segueix que les arrels són
2πn + α
x =
2πn + π − α.
n=−∞
∞
k=1
19
1 − x
per a n = 0, ±1, ±2, · · · . Per tant,
f(x) =
∞
x
x
1 −
1 −
= 1 −
2πn + α 2πn + π − α
x
·
α
∞
n=1
1 −
x
1 +
(2n − 1)π − α
x
1 −
(2n − 1)π + α
ak
.
x
1 +
2nπ + α
x
.
2nπ − α

20 PILAR BAYER
Per a calcular el terme de la dreta, Euler introdueix funcions elementals
simètriques d’infinits termes
σm =
ai1 · · · aim.
i1···im
Si Sm := ∞
i=1 am i , i per analogia amb les fórmules de Newton, escriu
S1 = σ1, S2 = σ 2 1 − 2σ2, S3 = σ 3 1 − 3σ1σ2 + 3σ3, . . .
Tenint en compte que en el seu cas és σ2 = 0, obté que
1
sin α =
1
α +
∞
n=1
1
sin 2 α =
∞ 1
+
α2 n=1
1
(2n − 1)π − α −
1
sin3 α −
1
2 sin α =
∞ 1
+
α3 n=1
1
+
((2n − 1)π − α) 2
1
−
((2n − 1)π − α) 3
1
(2n − 1)π + α +
1
2nπ + α −
1
+
((2n − 1)π + α) 2
1
+
((2n − 1)π + α) 3
1
2nπ − α ,
1
+
(2nπ + α) 2
1
−
(2nπ + α) 3
En prendre α = π/2, Euler dedueix les identitats
4
1 −
π
1
1
+ + . . . = 1,
3 5
8
π2
1 + 1
1
+ + . . . = 1,
32 52 32
π3
1 − 1
1 1
+ − + . . . = 1.
33 53 73 En observar que
ζ(2) = 1 + 1
1
+ + · · · +
32 52 1
4 ζ(2),
1
(2nπ − α) 2
1
(2nπ − α) 3
,
.

la segona de les identitats abans esmentades li permet finalment arribar
al resultat exacte
ζ(2) = π2
6 .
Amb arguments similars dedueix així mateix que ζ(4) = π4
90 .
Daniel Bernoulli criticà en dos punts la demostració anterior. D’una
banda, féu notar que no era evident que tots els zeros de la funció
sin x = sin α fossin reals i, de l’altra, no acceptava que les sèries infinites
poguessin ésser tractades com si fossin polinomis.
La qüestió relativa als zeros fou provada posteriorment per Euler.
Pel que fa referència a les objeccions fetes sobre el seu mètode, Euler en
reafirmà la validesa l’any 1740. D’aquesta manera s’inicià en l’anàlisi
l’ús de productes infinits i de factoritzacions de funcions transcendents.
L’any 1737, i després d’haver aconseguit calcular ζ(2), Euler insistí
de nou sobre les propietats de la funció ζ(s). En el treball modestament
titulat Variæ observationes circa series infinitas [Eu1737], Euler
proporcionà la fórmula
ζ(s) =
2 s · 3 s · 5 s · 7 s · 11 s · · ·
(2 s − 1)(3 s − 1)(5 s − 1)(7 s − 1)(11 s − 1) · · · ,
coneguda com a descomposició de la funció zeta en producte d’Euler.
Aquesta notable descomposició és important en tant que estableix
un lligam entre els nombres primers i la funció ζ. D’algunes de les
conseqüències que d’ella se’n deriven, i que arriben fins als nostres
dies, en parlarem una mica més endavant.
La demostració d’Euclides de l’existència d’infinits nombres primers
és ben coneguda. Però, en l’estudi de la teoria de nombres, ha estat
igualment remarcable la demostració donada per Euler d’aquest fet.
L’any 1748, en el text Introductio in analysis infinitorum (cf. [Eu1748]),
Euler procedí de la manera següent per a provar novament el teorema
d’Euclides. Atès que
∞
n=1
1
n
=
p
1 − 1
−1 ,
p
21

22 PILAR BAYER
on, en el producte, p descriu tots els primers (afirmació que resulta
de la descomposició de tot nombre natural en producte de primers, de
manera única), si el conjunt dels primers fos finit, aleshores el terme
de la dreta representaria una quantitat finita, mentre que el de l’esquerra,
una infinita. Aquesta prova, conceptualment més difícil que
la d’Euclides, té l’encís d’establir un lligam entre un fet de natura algebraica:
l’existència d’infinits primers, i un fet de natura analítica:
la divergència de la sèrie harmònica. Esdevingué la idea germinal que
conduí a la utilització de tècniques analítiques en teoria de nombres.
Com a primera aplicació de les idees introduïdes per Euler, esmentem
la demostració del teorema de la progressió aritmètica, obtinguda
anys més tard per Dirichlet. En el seu Opuscula analytica, Euler
havia afirmat que tota progressió aritmètica que comenci per 1 conté
infinits nombres primers. En una pretesa demostració de la llei de
reciprocitat quadràtica, i tal com havia posat Gauss de manifest en les
Disquisitiones, Legendre havia tanmateix fet servir que tota progressió
aritmètica {a + dm} en la qual mcd(a, m) = 1 conté infinits primers.
Dirichlet arribaria a aquest resultat demostrant la divergència de la
sèrie
p≡a (modp)
Per a tal fi, Dirichlet introduí unes funcions aritmètiques complexes,
anomenades caràcters, que en la terminologia actual corresponen als
caràcters del grup abelià finit (Z/mZ) ∗ . Donat un caràcter χ, Dirichlet
considerà la sèrie
L(χ, s) =
∞
s=1
p
1
p .
χ(n)
, ℜ(s) > 1,
ns i demostrà que aquesta admet una descomposició en producte d’Euler:
L(χ, s) =
1 − χ(p)
ps −1 .
La part més difícil de la demostració del teorema de progressió aritmètica
esdevé la prova que L(χ, 1) = 0, quan χ és un caràcter real
diferent del caràcter unitat. Dirichlet obtingué aquest resultat a partir
de la teoria de classes de formes quadràtiques binàries de Gauss, en

elacionar el valor en el 1 de la sèrie L amb el nombre de classes de
formes.
2.2. L’equació funcional de la zeta.
Peut-on penser quelque chose de plus affreux que dire que
0 = 1 − 2 n + n −4 n + etc., où n est un entier positif?
23
N. Abel
En el treball Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances
tant directes que réciproques [Eu1761], presentat per Euler a
l’Acadèmia de Berlín, intuí l’equació funcional satisfeta per la funció
ζ, anticipant-se d’aquesta manera més de cent anys a les idees de Riemann.
Els passos seguits per Euler en aquesta ocasió són tan bells i
agosarats que val la pena detallar-los una mica. A partir de la identitat
1 + x + x 2 + · · · + x n + · · · = 1
, |x| < 1,
1 − x
en prendre x = −1 (fora, per tant, del domini de convergència), Euler
dedueix que
1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1
2 .
En aplicar a la sèrie anterior l’operador x d
, obté
dx
x + 2x 2 + 3x 3 x
+ · · · = ,
(1 − x) 2
i, en prendre x = −1,
1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 1
4 .
En aplicar novament el mateix operador a la sèrie anterior, obté
i, en prendre x = −1,
x + 2 2 x 2 + 3 2 x 3 + · · · =
1 − 2 2 + 3 2 − · · · = 0.
x(1 + x)
,
(1 − x) 3

24 PILAR BAYER
D’altra banda, tenint en compte els valors de ζ(2) i ζ(4), dedueix que
1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 1
4
2
=
π2
1 + 1
1
+ + . . . ,
32 52 1 − 2 3 + 3 3 − 4 3 + . . . = − 1
8
23
= −
π4
1 + 1
3
A partir d’aquí, Euler dedueix les identitats següents:
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · ·
1 − 1 1 1 1 1
+ − + − + · · ·
22 32 42 52 62 1 2 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + 5 2 − 6 2 + · · ·
1 − 1 1 1 1 1
+ − + − + · · ·
23 33 43 53 63 1 3 − 2 3 + 3 3 − 4 3 + 5 3 − 6 3 + · · ·
1 − 1 1 1 1 1
+ − + − + · · ·
24 34 44 54 64 1 4 − 2 4 + 3 4 − 4 4 + 5 4 − 6 4 + · · ·
= 1 · (22 − 1)
,
(2 − 1)π2 = 0,
1 − 1
= 0,
1 1 1 1
+ − + − + · · ·
25 35 45 55 65 i conjectura que la funció
∞
Φ(s) :=
n=1
(−1) n
n s ,
1
+ + · · · .
4 54 = − 1 · 2 · 3 · (24 − 1)
(23 − 1)π4 ,
satisfà l’equació funcional
Φ(1 − n)
Φ(n) =
⎧
⎨
⎩
0, si n és senar,
(−1) (n/2)+1 (2 n − 1)(n − 1)!
(2 n−1 − 1)π n , si n és parell,
per a tot n ≥ 2. Per a n = 1, considera que
1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
1 − 1 1 1
+ − + · · ·
2 3 4
= 1
2 ln 2 .

Les fórmules anteriors són interpretades novament mitjaçant la fórmula
única
Φ(1 − n)
Φ(n) = −(n − 1)!(2n − 1)
(2n−1 − 1)πn cos πn
2 .
Aleshores, Euler conjectura que l’equació funcional
Φ(1 − s)
Φ(s) = −Γ(s)(2s − 1)
(2s−1 πs
cos
− 1)πs 2
és certa per a tot s. (Cette conjecture paroîtra sans doute fort hardie...)
Observa que, per a s → 1, la fórmula de la dreta té límit 1/2 ln 2
i comprova que ambdós termes coincideixen per a s = 1 3
i s =
2 2 .
(Notem que Φ(s) convergeix per a s > 0.) Atès que
Φ(s) = (1 − 2 1−s )ζ(s),
la fórmula predita per Euler es pot escriure com
ζ(1 − s) = π −s 2 1−s Γ(s) cos πs
2 ζ(s).
Ens adonem que en aquestes fórmules hi intervé la funció gamma, una
altra creació típicament euleriana.
2.3. Un incís en la funció gamma.
Quamobrem huius progressiones 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.
terminus generalis est
dx(−lx) n .
25
L. Euler, [Eu1730]
En un treball de 1730, Euler estengué la funció factorial, n!, definida
per als nombres naturals n, a tots el nombres reals > −1. Per a això,
observà que
n! =
1
0
(− log x) n dx,
i que la integral de la dreta convergeix per a tot nombre real n > −1. En
un treball anomenat Circa seriem infinitam, Gauss introduí la notació
Π(s) =
∞
e
0
−x x s dx, s > −1,

26 PILAR BAYER
per expressar la integral euleriana anterior. De fet, Π(s) està definida
per a tot nombre complex s tal que ℜ(s) > 1.
La representació següent de la funció Π era també familiar a Euler:
n!(n + 1)
Π(s) = lim
n→∞
s
(s + 1)(s + 2) · · · (s + n) .
L’avantatge d’aquesta fórmula és la d’ésser vàlida per a tot s, real o
complex, llevat dels valors de s que anul·len el denominador. Amb
altres paraules, l’expressió
Π(s) =
∞
1 + s
−1
1 +
n
1
s n
n=1
estén la funció en una funció meromorfa del pla, sense zeros, i amb
pols en els enters negatius s = −1, −2, −3, . . . Aquesta funció satisfà
l’equació funcional
Π(s) = sΠ(s − 1)
i, a més, l’anomenada relació de Legendre:
Π(s) = 2 s
s
s − 1
Π Π Π
2 2
−1/2 .
La notació Γ(s) per a representar la funció Π(s − 1) és deguda a Legendre
i s’imposà a la fi del segle XIX.
2.4. La memòria de Riemann. L’any 1859, amb motiu del seu nomenament
de membre corresponent de l’Acadèmia de Ciències de Berlín
en la branca de Físiques i Matemàtiques, Bernhard Riemann (1826-
1866) presentà a l’acadèmia una memòria titulada Ueber die Anzahl
der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse [Ri1859]. En ella, establí
les bases de l’estudi de la funció zeta com a funció de variable complexa
i posà de relleu la importància d’aquesta funció per a l’estudi de les
lleis que regeixen la distribució dels nombres primers.
Partint de la descomposició en producte obtinguda per Euler,
∞ 1
= 1 −
ns 1
ps −1 ,
n=1

Riemann representa per ζ(s) la funció de variable complexa definida
per als valors de s que fan convergents la suma i el producte; és a dir,
els valors complexos de s per als quals ℜ(s) > 1.
En substituir nx per x en la representació integral de la funció Γ,
obté que
∞
Γ(s)
= e
ns 0
−nx x s−1 dx,
per a s > 0, n = 1, 2, 3 . . . En sumar aquestes expressions per a tot n,
Riemann arriba a l’expressió
Γ(s)ζ(s) =
∞
0
x s−1
e x − 1 dx,
per a s > 1. A partir d’aquí, i del càlcul de la integral
+∞
+∞
(−x) s−1
e x − 1 dx
al llarg del camí indicat en la figura 4, Riemann troba la relació
2i sin(πs)Γ(s)ζ(s) =
la qual es transforma fàcilment en
ζ(s) =
Γ(1 − s)
2πi
+∞
+∞
+∞
+∞
(−x) s−1
e x − 1 dx,
(−x) s−1
e x − 1 dx.
Les fórmules anteriors son vàlides per a tot s. En efecte, com que
Figura 4. Domini d’integració
e x creix molt més de pressa del que ho fa x s quan x → ∞, la integral
és convergent per a tot s, real o complex, i la convergència és
27

28 PILAR BAYER
uniforme sobre els compactes. La funció ζ definida ara mitjançant la
representació integral anterior és una funció analítica del pla complex,
llevat potser dels punts s = 1, 2, 3, . . . , on la funció Γ(1 − s) té pols.
Com que aquesta funció coincideix amb ∞
n=1 n−s per als valors reals
de s > 1, ho fa, per prolongació analítica, per a tot s situat en el semiplà
ℜ(s) > 1. Atès que l’expressió de ζ(s) en producte d’Euler posa
en evidència que ζ(s) no té cap singularitat per a ℜ(s) > 1, i, d’altra
banda, lims→1 ζ(s) = ∞, veiem que ζ(s) és una funció meromorfa del
pla complex que té un únic pol en el punt s = 1, simple, ja que el de
la funció Γ ho era. La funció així obtinguda és coneguda avui amb el
nom de funció zeta de Riemann.
El procés descrit de prolongació analítica, més semblant a l’emprat
en el cas de la funció Γ i diferent del procés propi de Weierstrass, que
és fet a trossos, permet a Riemann substituir les manipulacions d’Euler
amb sèries divergents per càlculs amb funcions veritablement definides.
Val a dir, però, que altres intents per explicar els resultats d’Euler,
potser més propers al seu esperit, foren fets per mitjà de tècniques
d’anàlisi no estàndard.
La representació integral de la funció ζ, canviant ara el sentit del
camí d’integració i tenint en compte que les úniques singularitats de
la integral es troben en els punts x = ±2πin, i la fórmula integral de
Cauchy proporcionen a Riemann la igualtat
2 sin(πs)Γ(s)ζ(s) = (2π) s n s−1 [(−i) s−1 + i s−1 ].
Riemann prova així que, per a tot s,
ζ(s) = Γ(1 − s)(2π) s−1
πs
2 sin ζ(1 − s),
2
que és l’equació funcional predita per Euler.
Si prenem, d’acord amb Riemann,
ξ(s) := s(s − 1)π −s/2
s
Γ ζ(s),
2
obtenim que ξ(s) és una funció entera que satisfà l’equació funcional
ξ(s) = ξ(1 − s).
Mitjançant l’equació funcional, veiem que ζ(s) s’anul·la per a s = −2n,
n natural, i que ζ(s) = 0 per a tot altre valor de s situat en el semiplà

ℜ(s) < 0. En conseqüencia, els únics zeros de la funció ζ, a més dels
trivials, es troben a la franja 0 ≤ ℜ(s) ≤ 1, anomenada la banda crítica,
i es troben situats simètricament respecte de la recta ℜ(s) = 1/2.
En la seva memòria sobre els nombres primers, Riemann afirmà que
probablement tots els zeros no trivials de la funció ζ tenen part real
igual a 1/2. Com sabem, aquesta afirmació de Riemann es coneix amb
el nom de hipòtesi de Riemann i encara no ha pogut ésser demostrada.
G. H. Hardy demostrà que la funció ζ té una infinitat de zeros amb
part real 1/2. L’any 1974, N. Levinson provà que almenys una tercera
part dels zeros de la funció zeta a la banda crítica tenen la part real
predita per Riemann. 1
2.5. La funció zeta i el teorema dels nombres primers.
Summa seriei reciprocae numerorum primorum
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + etc
2 3 5 7 11 13
est infinite magna, infinities tamen minor quam summa
seriei harmonicae
1 + 1 1 1 1
+ + + + etc.
2 3 4 5
Atque illius summa est huius summae quasi logarithmus.
L. Euler, [Eu1737], Theorema 19
L’any 1737, Euler demostra la divergència de la sèrie formada pels
1
recíprocs dels nombres primers, . D’altra banda, com que la sèrie
p
1
convergeix, Euler fa el comentari que hi ha més primers que
n2 quadrats en el conjunt de tots els nombres (sequitur infinities plures
esse numeros primos quam quadratos in serie omnium omnino numerorum).
1 Per a avenços més recents produïts en relació a la hipòtesi de Riemann, es pot
consultar [Ba2007].
29

30 PILAR BAYER
Però l’afirmació d’Euler va més enllà de la simple divergència de la
sèrie p−1 . De la igualtat
∞ 1
= 1 −
n 1
−1 ,
p
Euler dedueix que
∞
1
log
n
n=1
n=1
p
= log(1 − p −1 ) −1
=
= 1
p −1 + 1
+ conv.
p
En prendre x = 1 en el desenvolupament
log
1
1 − x
= x + x2
2
2 p−2 + 1
+ x3
3
3 p−3
+ · · ·
+ · · · ,
obté que
1
1 1
log = log ∞ = 1 + + + · · ·
1 − 1 2 3
Així, la sèrie 1
“divergeix com el logaritme” i Euler escriu
n
1 1 1 1 1
+ + + + + · · · = log(log +∞).
2 3 5 7 11
Si interpretem aquesta igualtat en la forma
1
∼ log(log x), x → ∞,
p
p

útils per al seu estudi futur. En la introducció del seu treball [Eu1750],
escriví:
Les mathématiciens on tâché jusqu’ici en vain de découvrir
quelque ordre dans la progression des nombres premiers,
et l’on a lieu de croire que c’est un mystère auquel
l’esprit humain ne saurait jamais pénétrer. Pour s’en
convaincre, on n’à qu’à jeter les yeux sur les tables des
nombres premiers que quelques-uns se sont donné la peine
de continuer au-delà de cent mille et l’on s’apercevra
d’abord qu’il n’y règne aucun ordre ni règle.
L. Euler
En el seu Essai sur la théorie des nombres de l’any 1785, Legendre
introduí la notació π(x) =
p≤x 1 per a representar la funció x que
compta el nombre de nombres primers inferiors o iguals a un nombre
real donat x i emeté la conjectura
x
π(s) ∼
log x − 1, 08366 .
L’any 1792, Gauss, que aleshores comptava quinze anys, suggerí que la
densitat mitjana dels nombres primers a l’entorn d’un nombre x seria
1/ log x, proposant la fórmula
per a la funció π(x).
x
2
du
log u
= Li(x) − Li(2)
En ambdós casos, no es precisa quin era el significat que aquests
autors donaven a l’expressió una “fórmula per a π(x)”. Una integració
per parts proporciona
x
2
du
log u
x x
= + O
log x
log 2 x
i, per tant, les aproximacions donades per Gauss i Legendre són asimptòticament
equivalents. L’esforç de càlcul necessari per a arribar a les
conjectures anteriors degué ser considerable. Així, se sap que Gauss
construí una taula dels primers fins a 3 × 10 6 , comptà quants n’hi
havia en cada miler i comparà els resultats obtinguts amb els valors
corresponents de la funció Li(x) (cf. [Ga1849]).
,
31

32 PILAR BAYER
Txebixev, en els dos treballs [Tx1852a], [Tx1852b], demostrà que
d’existir el límit
π(x) log x
lim ,
x→∞ x
aleshores necessàriament havi d’ésser igual a 1 i, a més, que, incondicionalment,
existien constants A, B tals que
A x
x
≤ π(x) ≤ B
log x log x ,
per a tot x suficientment gran.
L’afirmació
π(x) ∼ x
, x → ∞,
log x
o la seva equivalent π(x) ∼ Li(x), coneguda com el teorema dels
nombres primers, no esdevingué un teorema fins a l’any 1896 en què
Hadamard i de la Vallée Poussin en proporcionaren dues demostracions
de manera independent.
Riemann [Ri1859] fou el primer en descobrir la connexió existent
entre la ditribució de zeros de la funció ζ i el comportament de la
funció π(x). Si, d’acord amb Riemann, definim
J(x) = 1
2
p n

Fent ús de l’anàlisi de Fourier, Riemann arriba a la fórmula següent
per a J(x):
J(x) = Li(x) +
Li(x ρ ∞
du
) − log 2 +
u(u2 , x > 1,
− 1) log u
ϱ
on el sumatori s’estén a tots els zeros ρ de la funció ζ situats a la banda
crítica; l’ordre de sumació és el donat per |ℑρ| creixent, i cal tenir-lo
en compte, atès que la sèrie no és absolutament convergent.
L’aproximació suggerida per Riemann,
∞ µ(n)
π(x) ∼ Li(x) +
n Li(x1/n ),
n=2
que s’obté per substitució dels valors de J en la fórmula de π(x), és
molt més precisa que la donada per π(x) ∼ Li(x). Tot i que Riemann
sabia que
π(x) −
N
n=1
µ(n)
n Li(x1/n ) =
x
33
N
Li(x ρ/n ) + (termes més petits),
n=1
ρ
no pogué donar cap estimació del que ell anomenà “termes periòdics ”:
N
Li(x ρ/n ).
n=1
ρ
De totes maneres, la deducció de Riemann de la fórmula per a J(x)
i, per tant, per a π(x), contenia dos punts foscos dels quals Riemann
n’era conscient (cf. [Ed1974], Ch. 1). La demostració correcta d’aquest
resultat no fou aconseguida fins a quaranta anys després.
Hadamard [Ha1893] publicà un treball sobre la representació de funcions
enteres mitjançant productes infinits. Aplicant-ne els resultats a
la funció ξ demostrà la fórmula
ξ(s) = ξ(0)
p
1 − s
,
ρ
on ρ descriu tots el zeros de ξ o bé, equivalentment, tots els zeros de
ζ continguts a la banda crítica. Per al càlcul del producte infinit s’ha
d’aparellar cada arrel ρ amb l’arrel 1 − ρ.

34 PILAR BAYER
Dos anys després, von Mangoldt [vM1895] utilitzà la descomposició
anterior d’Hadamard de la funció ξ per a demostrar la fórmula
on
ψ(x) = x − x ρ
ρ + x−2n 2n
ψ(x) =
log p
p n 1,
és l’anomenada funció de Txebixev. L’ordre de sumació de la sèrie
xρ és donat per |ℑρ| creixent. A partir de la fórmula anterior,
ρ
aconseguí demostrar que la fórmula de Riemann per a J(x) és correcta.
Això no obstant, cal observar que ni la fórmula de von Mangoldt ni la
de Riemann no eren suficients per a establir el teorema dels nombres
primers de manera independent de la hipòtesis de Riemann.
Les demostracions posteriors d’Hadamard i de la Vallé Poussin del
teorema dels nombres primers donades l’any 1896, parteixen de la
fórmula de Mangoldt i contenen com a resultat bàsic la prova que
ζ(1 + it) = 0, per a tot t ∈ R, t = 0.
A l’article [dVP1899], de la Vallée Poussin demostrà que
π(x) − Li(x) = O(x exp(−c log x)),
essent c > 0 una constant; per a això exhibí una regió de la banda
crítica lliure de zeros i suficientment gran.
Es pot provar també (cf. [Ed1974], Ch. 5, §5) que si θ és un nombre
real per al qual ζ(s) = 0 per a tot s del semiplà ℜ(s) > θ, aleshores
π(x) − Li(x) = O(x θ+ε ),
per a tot ε > 0. Tenint en compte el teorema d’Hardy, cal que sigui
1
≤ θ ≤ 1. Si θ = 1, la relació anterior no aporta res de nou, però
2
si es pogués provar que θ < 1, proporcionaria un estimació del terme
d’error considerablement millor que les obtingudes fins ara. D’ésser
certa la hipòtesis de Riemann, es podria prendre θ = 1
. D’aquesta
2
manera, comprovem que els zeros de la funció zeta regeixen el nombre
de primers que hi ha per sota d’una quantitat donada.

2.6. Retorn a Euler. En invertir la fórmula del producte per a ζ(s),
s’obté que
1
ζ(s)
=
1 −
p
1
ps
= 1 − 1
=
1 1 1
− − + − · · ·
2s 3s 5s 6s ∞ µ(n)
, ℜ(s) > 1,
ns n=1
on µ(n) denota la funció de Möbius. Euler [Eu1748] proporcionà la
igualtat
0 = 1 − 1 1 1 1 1 1 1 1
− − + − + − − + · · · ,
2 3 5 6 7 10 11 13
que resultaria de la identitat anterior si hi fos vàlida la substitució s =
1. En una demostració força elaborada, von Mangoldt (cf. [vM1897])
obtingué la convergència d’aquesta sèrie i que la seva suma és zero. De
la Vallé Poussin [dVP1899] demostrà, a més, que
µ(n) 1
= O ,
n log x
n

36 PILAR BAYER
aleshores, el resultat predit per Euler resulta de l’equació funcional.
Si bé Riemann en la seva memòria sobre els primers no donà cap expressió
per als valors ζ(−n), hi esmentà que ζ(−2) = ζ(−4) = · · · = 0,
la qual cosa resulta de l’anul·lació dels nombres de Bernoulli implicats.
Dels valors que pren la funció zeta en els enters positius senars se’n
sap molt poca cosa, llevat del fet que ζ(3) és un nombre irracional.
Els resultats d’Euler sobre els valors especials de la funció zeta de
Riemann foren generalitzats per Siegel ([Sie1937], [Sie1969]) als valors
especials de les funcions zeta dels cossos de nombres totalment reals.
Siegel demostrà que aquestes funcions prenen sempre valors racionals
en els enters negatius i que aquests són nuls si, i només si, −n és parell.
D’aquí se’n deduïren propietats de congruència entre aquests valors.
Per interpolació dels mateixos, Kubota i Leopoldt construïren funcions
zeta p-àdiques en el cas abelià [Ku1964], i Serre [Se1973], en el cas
general.
Direm finalment que l’estudi dels valors de les funcions zeta en els
enters parells estrictament positius i en els enters senars més petits que
zero s’emmarca en la teoria general de motius de Grothendieck i de
Deligne [De1979], i en el de les conjectures de Beilinson.
3. Els orígens de la teoria de particions
Qui autem actu omnes partitiones dinumerare voluerit,
non solum in immensum laborem se immergit, sed omni
etiam attentione adhibita vix cavebit, ne turpiter decipiatur.
L. Euler, [Eu1750]
L’any 1669, Leibniz preguntà en una carta a Bernoulli si s’havia
preocupat mai d’investigar el nombre de maneres diferents en què un
nombre natural pot ésser escrit com a suma de dos, tres o més nombres
naturals, afegint-hi que el problema semblava difícil però que el considerava
important. El problema fascinà Euler. L’estudià en el treball
De partitione numerorum [Eu1750] i en un sèrie de treballs posteriors.
Euler obtingué en aquest context una sèrie d’identitats remarcables i
és considerat per a aquest fet el fundador de la teoria de particions.

Donat un enter positiu n, sigui p(n) el nombre de de maneres en
què n s’escriu com a suma d’enters positius. Per exemple, atès que
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1,
5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1,
és p(4) = 5, p(5) = 7. Definim p(0) = 1.
Euler considerà la sèrie ∞
n=0 p(n)xn i s’adonà que
∞
m=1
1
=
1 − xm ∞
p(n)x n , |x| < 1.
n=0
La igualtat anterior es comprova formalment de la manera següent. En
desenvolupar el producte infinit mitjançant sèries de potències, s’obté
∞
n=1
1
1 − x m = (1 + x + x2 + · · · )(1 + x 2 + x 4 + · · · )(1 + x 3 + x 6 + · · · ) · · ·
En multiplicar els termes de la dreta i agrupar-los segons les potències
de x, s’obté una sèrie 1+ ∞ k=1 a(k)xk . Si suposem que prenem el terme
xk1 2k2 mkm
de la primera sèrie, el terme x de la segona, . . . , el terme x
de la m-èsima, el seu producte és igual a
x k1 x 2k2 · · · · · x mkm = x k ,
on k = k1 + 2k2 + · · · + mkm. Aquesta igualtat pot ésser escrita en la
forma
k = (1 + 1+ (k1
· · · +1) + (2 + 2+ (k2
· · · +2) + · · · + (m + m+ (km
· · · +m).
Veiem d’aquesta manera que cada partició de k dóna lloc a un sumand
x k ; per tant, el coeficient a(k) de x k coincideix amb p(k).
Com a consqüència d’una fórmula similar a l’anterior, Euler descobrí
la relació de recurrència següent per al càlcul de p(n):
p(n) − p(n − 1) − p(n − 2) + p(n − 5) + p(n − 7) + · · · = 0.
En invertir el producte considerat, s’obté
∞
(1 − x m ∞
) = 1 + (p1(n) − p0(n))x n ,
m=1
n=1
37

38 PILAR BAYER
on p1(n) denota el nombre de particions de n en un nombre parell de
parts desiguals, i p0(n) el nombre de particions de n en un nombre
senar de parts desiguals.
Euler demostrà que la desigualtat p1(n) = p0(n) estava estretament
relacionada amb els nombres pentagonals. Si ω(n) = 3n2 − n
denota
2
el nombre pentagonal n-èsim i definim ω(−n) = 3n2 + n
, aleshores el
2
teorema d’Euler sobre els nombres pentagonals s’expressa mitjançant
la igualtat
∞
m=1
(1 − x m ) = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + · · ·
= 1 + ∞
n=1 (−1)n x ω(n) + x ω(−n)
=
∞
−∞
(−1) n x ω(n) .
Com moltes altres funcions aritmètiques, per exemple la funció τ(n)
de Ramanujan, els coeficients c(n) de la funció j de Klein, la funció
σk(n) donada per les sumes de potències k-èsimes dels divisors d’un
nombre, els valors ζ(−2n − 1), etc., la funció de partició p(n) pot ésser
definida per mitjà dels coeficients de formes modulars. Per exemple, la
funció eta de Dedekind
η(z) = e πiz/12
∞ 2πimz
1 − e , ℑ(z) > 0,
m=1
és una funció analítica en el semiplà superior que satisfà l’equació funcional
az + b
η = ω
cz + d
√ cz + d η(z),
a b
per a ℑ(z) > 0, essent una matriu de coeficients enters i de
c d
determinant igual a 1, i ω una arrel 24-èsima de la unitat que depèn
de a, b, c i d, però que no depèn de z (cf. [Ay1963]). A menys de
productes per escalars, la funció η(24z) és l’única forma parabòlica de

pes 1/2 i de nivell < 900. La funció de partició es recupera mitjançant
el desenvolupament
η −1 ∞
(z) = p(n)e 2πi[n−1/24]z .
n=0
L’any 1917, G. H. Hardy i S. Ramanujan, mitjançant l’anomenat
mètode del cercle, feren una estimació de la integral
p(n) = 1
F (z)
dz,
2πi zn+1 on F (z) := ∞
m=1 (1 − zm ) −1 , i Cr és la circumferència de radi r < 1, i
obtingueren així la fórmula asimptòtica:
p(n) = eK√ n
4n √ 3
Cr
1 + O
1
√n .
El mètode del cercle fou posteriorment emprat per Hardy i Littlewood
en relació amb el problema de Waring. Una fórmula exacta per a p(n)
fou obtinguda per Rademacher (cf. [Ra1937]).
Una de les descobertes més importants de Ramanujan sobre la funció
de partició és la relativa a les congruències satisfetes per p(n). Per
mitjà de la fórmula d’Euler per al càlcul recurrent de p(n), MacMahon
havia construït una taula amb els valors de p(n) per a n ≤ 200. Per
observació directa de la taula, Ramanujan intuí que les congruències
havien de satisfer-se per a tot m.
p(5m + 4) ≡ 0 (mod 5),
p(7m + 5) ≡ 0 (mod 7),
p(11m + 6) ≡ 0 (mod 11),
Fent servir d’una banda la funció generatriu donada per Euler per
a p(n) i, de l’altra, la fórmula obtinguda per Jacobi
∞
∞
m=1
(1 − x m ) 3 = 1
2
−∞
(−1) n (2n + 1)x n(n+1)/2 ,
39

40 PILAR BAYER
on els índexs 1
n(n + 1) descriuen tots els nombres triangulars, Ra-
2
manujan aconseguí demostrar les dues primeres congruències.
Més endavant, Ramanujan formulà la conjectura següent: si δ =
5 a · 7 b · 11 c i 24λ ≡ 1 (mod δ), aleshores
p(mδ + λ) ≡ 0 (mod δ).
Un moment de reflexió posa en evidència que n’hi ha prou a provar la
conjectura per als valors de δ = 5 a , 7 b i 11 c .
L’any 1938, la conjectura anterior fou lleugerament corregida per
Watson, car l’afirmació corresponent de Ramanujan no és correcta per a
δ = 7 b . En la seva forma definitiva, les congruències quedaren finalment
demostrades en el treball de O. L. Atkin [At1967].
La recerca de congruències entre els valors de funcions aritmètiques
ha estat una constant des dels temps de Ramanujan (cf., per exemple,
[LeV1974]). L’any 1967, Serre enuncià una conjectura, més endavant
estudiada
per Deligne, que associava a certes formes parabòliques f =
∞
n=1 τ(n)e2πinz de pes enter k un sistema de representacions ℓ-àdiques:
de manera que
ρℓ : Gal(Kℓ|Q) → GL2(Zℓ),
Tr(ρℓ(Fp)) = τ(p),
det(ρℓ(Fp)) = p k−1 ,
per a tot primer p = ℓ. Ací Kℓ indica l’extensió maximal de Q no
ramificada fora de ℓ i Fp l’element de Frobenius en p. Un estudi de la
imatge de ρℓ, i en particular de les seves reduccions mòdul ℓ, permeteren
a Swinnerton-Dyer [SwD1973] explicar els motius de les congruències
de certes funcions (cas de la τ), caracteritzant els primers per als quals
n’hi podia haver.
En relació amb la teoria de particions, una altra relació fou descoberta
i provada per Euler referent a la funció suma de divisors. Euler
[Eu1751] havia observat que la funció n, igual a la suma dels divisors

positius d’un nombre n, satisfà la igualtat:
n = (n − 1) + (n − 2) − (n − 5) − (n − 7)
+ (n − 12) + (n − 15) − (n − 22) − (n − 26)
+ (n − 35) + (n − 40) − (n − 51) − (n − 57)
+ (n − 70) + (n − 77) − (n − 92) − (n − 100) + etc.,
on 0 es pren igual a n sempre que surt a la fórmula. Euler percep la
semblança d’aquesta expressió amb el seu teorema sobre els nombres
pentagonals:
(1 − x n ) = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 +
+x 22 + x 26 − x 35 − x 40 + etc.
Partint de la certesa de la fórmula per a n, es dedica a obtenir una
sèrie de notables identitats i formula el comentari següent:
Ce raisonnement, quoi qu’il soit encore fort éloigné d’une
démonstration parfaite, ne laisera pas pourtant de lever
plusieurs doutes sur la forme bizarre de l’expression que
je viens d’expliquer.
Tres anys després, Euler [Eu1754] pogué demostrar que la fórmula
per a n és, efectivament, correcta. El seu treball, curt però de difícil
contingut, fou qualificat com ein Meisterstück per Jacobi.
Referències
[Ap1976] Apostol, Tom M.: Introduction to analytic number theory. Undergraduate
Texts in Mathematics. Springer, New York-Heidelberg, 1976.
xii+338 pp. MR0434929 (55 #7892).
[At1967] Atkin, A. O. L.: Proof of a conjecture of Ramanujan. Glasgow Math. J.
8(1967), 14–32. MR0205958 (34 #5783).
[Ay1963] Ayoub, Raymond: An introduction to the analytic theory of numbers.
M athematical Surveys, No. 10. American Mathematical Society, Providence,
R.I. 1963. xiv+379 pp. MR0160743 (28 #3954).
[Ay1974] Ayoub, Raymond: Euler and the zeta function. Amer. Math. Monthly
81(1974), 1067–1086. MR0360116 (50 #12566).
[Ba1976] Bayer, P.: El Teorema de Fermat. Pub. Mat. U.A.B 2(1976), 94–110.
[Ba2007] Bayer, P.: La hipòtesi de Riemann. En el llibre, J. Quer (ed.) El set
problemes del mil·leni. Aula de Ciència i Cultura, 25. Fundació Caixa
Sabadell. Sabadell, 2007. ISBN: 978-84-95166-67-8.
41

42 PILAR BAYER
[Ca1603] Cataldi, P. A.: Trattato de numeri perfetti di Pietro Antonio Cataldo.
Bologna, 1603.
[Da1959] Davis, Philip J.: Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the
gamma function. Amer. Math. Monthly 66(1959), 849–869. MR0106810
(21 #5540).
[dVP1896] de la Vallée Poussin, C. J.: Recherches analytiques sur la théorie des
nombres (première parti). Ann. Soc. Sci. Bruxelles 20(1896), 183–256.
[dVP1899] de la Vallée Poussin, C.J.: Sur la fonction ζ(s) de Riemann et le nombre
de nombres premiers inférieurs a une limite donnée. Mém. Courronnes
et Autres Mém. Publ. Acad. Roy. Sci., des Lettres Beaux-Arts Belg. 59
(1899-1900).
[De1979] Deligne, P.: Valeurs de fonctions L et périodes d’intégrales. With
an appendix by N. Koblitz and A. Ogus. Proc. Sympos. Pure Math.,
XXXIII, Automorphic forms, representations and L-functions (Proc.
Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part
2, pp. 313–346, Amer. Math. Soc.. Providence, R.I., 1979. MR0546622
(81d:12009).
[Di1966] Dickson, Leonard Eugene.: History of the theory of numbers. Vol. I:
Divisibility and primality. Chelsea Publishing Co. New York, 1966.
xii+486 pp. MR0245499 (39 #6807a).
[Die1978a] Dieudonné, J. (editor): Abrégé d’histoire des mathématiques 1700–
1900. Tome I. Algèbre, analyse classique, théorie des nombres. Hermann.
Paris, 1978. x+392 pp. ISBN: 2-7056-5870-X. 2-7056-5859-9.
MR0504182 (80k:01002a).
[Die1978b] Dieudonné, J. (editor): Abrégé d’histoire des mathématiques 1700–
1900. Tome II. Fonctions elliptiques, analyse fonctionnelle, topologie,
géométrie différentielle, probabilités, logique mathématique. Hermann.
Paris, 1978. vii+469 pp. ISBN: 2-7056-5870-X, 2-7056-5859-9.
MR0504183 (80k:01002b).
[Dir1868] Dirichlet, P. G. Lejeune: Vorlesungen über Zahlentheorie. Herausgegeben
und mit Zusätzen versehen von R. Dedekind. Vierte, umgearbeitete
und vermehrte Auflage. Chelsea Publishing Co. New York, 1968
xvii+657 pp. MR0237283 (38 #5573).
[Ed1974] Edwards, H. M.: Riemann’s zeta function. Pure and Applied Mathematics,
Vol. 58. Academic Press, New York-London, 1974. xiii+315 pp.
MR0466039 (57 #5922).
[El1975] Ellison, William John: Les nombres premiers. En collaboration avec
Michel Mèndes France. Publications de l’Institut de Mathématique
de l’Université de Nancago, No. IX. Actualités Scientifiques et Industrielles,
No. 1366. Hermann, Paris, 1975. xiv+442 pp. MR0417077 (54
#5138).
[Eu1730] Euler, L.: De progressionibus transcendentibus seu quarum termini
generales algebraice dari nequeunt. Comentarii academiae scientiarum

Petropolitanae 5 (1730/1), 1738, p.36-57. Opera Omnia, Series I, v.
XIV: Commentationes Analyticae, p. 1–24.
[Eu1732] Euler, L.: Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque
ad numeros primos spectantibus. Comment. acad. scient. Petrop. 6
(1732/3), 1738, 103-107. Opera Omnia, Series I, v. II: Commentationes
Arithmeticæ , p.1–5.
[Eu1734] Euler, L.: De summis serierum reciprocarum. Comment.
acad. scient. Petrop. 7 (1734/5), 1740, p. 123–134.
[Eu1736a] Euler, L.: Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium
demonstratio. Comment. acad. scient. Petrop. 8 (1736), 1741, p. 141–
146. Opera Omnia, Series I, v. II: Comment. Arith., p. 33–37.
[Eu1736b] Euler, L.: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali.
Comment. acad. scient. Petrop. 8 (1736), 1741, p. 9–22. Opera Omnia,
Series I, v. XIV: Comment. Arith., p. 108–123.
[Eu1737] Euler, L.: Variæ observationes circa series infinitas. Comment.
acad. scient. Petrop. 9 (1737), 1744, p. 160–188. Series I, v. XIV:
Comment. Anal., p. 216–244.
[Eu1747] Euler, L.: Theoremata circa divisores numerorum. Novi comment.
acad. scient. Petrop. 1 (1747/8), 1750, p. 20–48. Opera Omnia,
Series I, v.II: Comment. Arith., p. 62–85.
[Eu1748] Euler, L.: Introductio in Analysin Infinitorum. Lausanne, 1748. Opera
Omnia, Series I, v. VIII. Introduction à l’analyse infinitésimale. Bachelier,
Paris, 1835.
[Eu1749] Euler, L.: Carta a Goldbach. Abril 12, 1749. Novi comment.
acad. scient. Petrop. 5 (1741), 1754–5. Opera Omnia, Series I,
v.II: Comment. Arith., p.210.
[Eu1750] Euler, L.: De partitione numerorum. Novi comment. acad. scient.
Petrop. 3 (1750/51), 1753, p. 125–169. Opera Omnia, Series I, v. II:
Comment. Arith., p. 254–294.
[Eu1751] Euler, L.: Découverte d’une loi tout extraordinaire des nombres par
rapport à la somme de leurs diviseurs. Bibliothèque impartiale 3, 1751,
p. 10–31. Opera Omnia, Series I, vol II: Comment. Arith.,p. 254–294.
[Eu1754] Euler, L.: Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum
observatum. Novi comment. acad. scient. Petrop. 5 (1754/5), 1760,
p. 75–83. Opera Omnia, Series I, v. II: Comment. Arith. p. 390–398.
[Eu1755] Euler, L.: Instituiones calculi differentialis. Acad. imp. scient. Petrop.
St. Petersburg, 1755. Opera Omnia, Series I, v. X.
[Eu1760] Euler, L.: Theoremata arithmetica novo methodo demonstrata. Novi
comment. acad. scient. Petrop. 8 (1760/1), 1763, p. 74–104. Opera Omnia,
Series I, v. II: Comment. Arith., p. 531–555.
[Eu1761] Euler, L.: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances
tant directes que réciproques. Mémoires de l’acad. des sciences
43

44 PILAR BAYER
de Berlin 17(1761), 1768, p. 83–106. Opera Omnia, Series I, v. XV,
p. 70–90.
[Eu1770] Euler, L.: Vollständige Anleitung zur Algebra. St. Petersburg, 1770.
Opera Omnia, Series I, v. I.
[Eu1783a] Euler, L.: De criteriis aequationis fx 2 + gy 2 = hz 2 utrumque resolutionem
admittat necne. Opuscula analytica. St. Petersburg, 1783.
[Eu1783b] Euler, L.: Opuscula analytica. St. Petersburg, 1783.
[Eu1849a] Euler, L.: De numeris amicabilibus. Comm. Arith. 2, 1849, p. 630.
Opera postuma 1, p. 14–15.
[Eu1849b] Euler, L.: Tractatus de numerorum doctrina. Comm. Arith., 2, p. 514.
Opera postuma 1, p. 14–15.
[Fe1891a] Fermat, P.: Varia Opera Math. d. Petri de Fermat. Tolosae, 1679.
Œuvres de Fermat, I, II. Paris, 1891, 1894.
[Ga1801] Gauss, C. F.: Disquisitiones arithmeticæ . Leipzig, 1801. Untersuchungen
über höhere Arithmetik. Chelsea, 1889; reimp. 1965. Disquisicions
aritmètiques. Traducció G. Pascual Xufré. Societat Catalana de
Matemàtiques. Barcelona, 1996. ISBN: 84-7283-313-5.
[Ga1849] Gauss, C. F.: Carta a Enke del 24 de Des. 1849. Werke II, 444–447.
[Ha1893]
Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Hadamard, J.: Étude sur les propriétés des fonctions entières et en
particulier d’une fonction consideérée par Riemann. J. Math. Pures
Appl. 9(1893), 171–215.
[Ha1896] Hadamard, J.: Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et
ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France 24(1896), 199–
220.
[Har1938] Hardy, G. H., Wright, E.M.: An introduction to the Theory of Numbers.
Clarendon Press, Oxford, 1938.
[Har1940] Hardy, G. H.: Ramanujan: twelve lectures on subjects suggested by his
life and work. Chelsea, New York, 1940.
[Ku1964] Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang.: Eine p-adische Theorie
der Zetawerte. I. J. Reine Angew. Math. 214/215(1964), 328–339.
MR0163900 (29 #1199).
[La1770] Lagrange, J.L: Réflexions sur la résolution algébrique des équations.
Akad. Wiss., Berlin, 1770–71.
[Le1798] Legendre, A.M.: Essai sur la Théorie des Nombres. Duprat, Paris,
1798. Blanchard, Paris, 1955.
[LeV1974] Le Veque, W.J.: Reviews in Number Theory 4. AMS, Rhode Island,
1974.
[Ra1937] Rademacher, H.: On the partition function p(n). Proc. London
[Ri1859]
Math. Soc. 43(1937), 241–254.
Riemann, B.: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen
Grösse. Monatsber. Akad. Berlin(1859), 671–680.

[Ro1981] Rosen, Michael: Abel’s theorem on the lemniscate. Amer. Math.
Monthly 88(1981), no. 6, 387–395. MR0622954 (82g:14041).
[Se1973] Serre, Jean-Pierre: Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques.
[Sha1962]
Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School,
Univ. Antwerp, 1972), pp. 191–268. Lecture Notes in Math., Vol. 350,
Springer, Berlin, 1973. MR0404145 (53 #7949a).
Shanks, Daniel: Solved and unsolved problems in number theory. Third
edition. Chelsea Publishing Co., New York, 1985. xiv+304 pp. ISBN:
0-8284-1297-9. MR0798284 (86j:11001).
[Sie1937] Siegel, Carl Ludwig: Über die analytische Theorie der quadratischen
Formen, III. Ann. of Math.(2) 38(1937), no. 1, 212–291. MR1503335.
[Sie1969] Siegel, Carl Ludwig: Berechnung von Zetafunktionen an ganzzahligen
Stellen. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1969, 87–102.
MR0252349 (40 #5570).
[SwD1973] Swinnerton-Dyer, H. P. F.: On l-adic representations and congruences
for coefficients of modular forms. Modular functions of one variable,
III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), pp. 1–55.
Lecture Notes in Math., Vol. 350, Springer, Berlin, 1973. MR0406932
(53 #10717a).
[Tx1852a] Txebixev, P. L.: Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres
premiers inferieurs à une limite donnée (1848). J. Math. Pures Appl.
17(1852).
[Tx1852b] Txebixev, P. L.: Mémoire sur les nombres premiers (1850).
[Ve1970]
J. Math. Pures Appl. 17(1852).
Vera, F.(ed.): Científicos Griegos I, II. Traducción F. Vera. Aguilar.
Madrid, 1970.
[vM1895] von Mangoldt, H.: Zu Riemann’s Abhandlung “Ueber die Anzahl
der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”. J. Reine Angew. Math.
[vM1897]
114(1895), 255–305.
von Mangoldt, H.: Beweis der Gleichung ∞ k=1 u(k)/k
S. B. Kgl. Preuss. Akad Wiss. Berlin (1897), 835–852.
= 0.
P. Bayer. Facultat de Matemàtiques. Universitat de Barcelona.
Gran Via de les Corts Catalanes 585. E-08007, Barcelona
E-mail address: bayer@ub.edu
45