VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

32 PILAR BAYER
Txebixev, en els dos treballs [Tx1852a], [Tx1852b], demostrà que
d’existir el límit
π(x) log x
lim ,
x→∞ x
aleshores necessàriament havi d’ésser igual a 1 i, a més, que, incondicionalment,
existien constants A, B tals que
A x
x
≤ π(x) ≤ B
log x log x ,
per a tot x suficientment gran.
L’afirmació
π(x) ∼ x
, x → ∞,
log x
o la seva equivalent π(x) ∼ Li(x), coneguda com el teorema dels
nombres primers, no esdevingué un teorema fins a l’any 1896 en què
Hadamard i de la Vallée Poussin en proporcionaren dues demostracions
de manera independent.
Riemann [Ri1859] fou el primer en descobrir la connexió existent
entre la ditribució de zeros de la funció ζ i el comportament de la
funció π(x). Si, d’acord amb Riemann, definim
J(x) = 1
2
p n