VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

36 PILAR BAYER
aleshores, el resultat predit per Euler resulta de l’equació funcional.
Si bé Riemann en la seva memòria sobre els primers no donà cap expressió
per als valors ζ(−n), hi esmentà que ζ(−2) = ζ(−4) = · · · = 0,
la qual cosa resulta de l’anul·lació dels nombres de Bernoulli implicats.
Dels valors que pren la funció zeta en els enters positius senars se’n
sap molt poca cosa, llevat del fet que ζ(3) és un nombre irracional.
Els resultats d’Euler sobre els valors especials de la funció zeta de
Riemann foren generalitzats per Siegel ([Sie1937], [Sie1969]) als valors
especials de les funcions zeta dels cossos de nombres totalment reals.
Siegel demostrà que aquestes funcions prenen sempre valors racionals
en els enters negatius i que aquests són nuls si, i només si, −n és parell.
D’aquí se’n deduïren propietats de congruència entre aquests valors.
Per interpolació dels mateixos, Kubota i Leopoldt construïren funcions
zeta p-àdiques en el cas abelià [Ku1964], i Serre [Se1973], en el cas
general.
Direm finalment que l’estudi dels valors de les funcions zeta en els
enters parells estrictament positius i en els enters senars més petits que
zero s’emmarca en la teoria general de motius de Grothendieck i de
Deligne [De1979], i en el de les conjectures de Beilinson.
3. Els orígens de la teoria de particions
Qui autem actu omnes partitiones dinumerare voluerit,
non solum in immensum laborem se immergit, sed omni
etiam attentione adhibita vix cavebit, ne turpiter decipiatur.
L. Euler, [Eu1750]
L’any 1669, Leibniz preguntà en una carta a Bernoulli si s’havia
preocupat mai d’investigar el nombre de maneres diferents en què un
nombre natural pot ésser escrit com a suma de dos, tres o més nombres
naturals, afegint-hi que el problema semblava difícil però que el considerava
important. El problema fascinà Euler. L’estudià en el treball
De partitione numerorum [Eu1750] i en un sèrie de treballs posteriors.
Euler obtingué en aquest context una sèrie d’identitats remarcables i
és considerat per a aquest fet el fundador de la teoria de particions.