VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...
VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...
VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
30 PILAR BAYER<br />
Però l’afirmació d’Euler va més enllà de la simple divergència de la<br />
sèrie p−1 . De la igualtat<br />
∞ 1 <br />
<br />
= 1 −<br />
n 1<br />
−1 ,<br />
p<br />
Euler dedueix que<br />
<br />
∞<br />
<br />
1<br />
log<br />
n<br />
n=1<br />
n=1<br />
p<br />
= log(1 − p −1 ) −1<br />
= <br />
= 1<br />
p −1 + 1<br />
+ conv.<br />
p<br />
En prendre x = 1 en el desenvolupament<br />
log<br />
1<br />
1 − x<br />
= x + x2<br />
2<br />
2 p−2 + 1<br />
+ x3<br />
3<br />
3 p−3 <br />
+ · · ·<br />
+ · · · ,<br />
obté que<br />
1<br />
1 1<br />
log = log ∞ = 1 + + + · · ·<br />
1 − 1 2 3<br />
Així, la sèrie 1<br />
“divergeix com el logaritme” i Euler escriu<br />
n<br />
1 1 1 1 1<br />
+ + + + + · · · = log(log +∞).<br />
2 3 5 7 11<br />
Si interpretem aquesta igualtat en la forma<br />
1<br />
∼ log(log x), x → ∞,<br />
p<br />
p