VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

More documents

Recommendations

Info

8 PILAR BAYER prova. L’any 1654, Fermat encarregà a B. Pascal (1623-1662) l’estudi d’aquesta qüestió. L’any 1729, Christian Goldbach (1690-1764) cridà l’atenció d’Euler sobre l’afirmació de Fermat relativa als nombres Fn. Euler demostrà primerament que si a i b són nombres enters relativament primers, aleshores tot divisor de a2n +b2n o bé és 2, o bé és de la forma 2n+1k+1. D’aquesta manera, qualsevol possible factor de F5 seria de la forma 64k + 1; en prendre k = 10, Euler [Eu1732] proporcionà la descomposició F5 = 2 32 + 1 = 641 · 6700417, en contra de l’opinió de Fermat. Fins avui, no s’ha pogut trobar cap altre nombre de Fermat que sigui primer. Com és ben sabut, els nombres de Fermat juguen un paper especial en les construccions amb regle i compàs. Segons un resultat descobert i provat per Gauss, tot polígon regular de Fn costats, amb Fn primer, és construïble amb l’únic ajut d’aquests instruments. Gauss afirmà, sense demostrar-ho, que el recíproc també és cert, amb la qual cosa, per a que un polígon de m costats sigui construïble amb regla i compàs és condició necessària i suficient que m sigui producte d’una potència de dos (possiblement igual a 1) per primers Fn, dos a dos diferents. Gauss basa la seva demostració en l’estudi dels anomenats períodes de les equacions ciclotòmiques. En la introducció a l’article 7 de les Disquisitiones, Gauss afirma que els principis en els quals es basa la seva teoria s’apliquen no solament a les funcions circulars (sin, cos, etc.) sinó també a moltes altres (“sed pari successu ad multas alias functiones transscendetes applicari possunt, e.g. ad eas quae ab integrali dx √ 1 − x 4 pendent”). Vint-i-cinc anys deprés, N. Abel i C. G. J. Jacobi donaren un fort impuls a l’estudi de les funcions el·líptiques. D’aquesta manera, Abel pogué precisar i demostrar (en els números 2 i 3 del Journal de Crelle) el resultat intuït per Gauss: si m = 2 a p1 · ... · pt, on a ≥ 0 i pi, 1 ≤ i ≤ t, són primers de Fermat dos a dos diferents, aleshores la lemniscata pot ésser dividida en m parts iguals fent ús únicament del regle i del compàs. El teorema d’Abel sobre la divisió de la lemniscata està estretament relacionat amb l’estudi d’extensions abelianes de cossos quadràtics imaginaris. Com en el cas dels polígons inscrits en
una circumferència, el recíproc d’aquest teorema també és cert. Rosen [Ro1981] en publicà una demostració en un article que constitueix una deliciosa introducció a l’estudi de l’aritmètica de les corbes el·líptiques. Una altra contribució remarcable d’Euler a la teoria elemental de nombres és la relacionada amb el teorema de Wilson. L’any 1770, E. Waring fou el primer en enunciar que 1 + (p − 1)! sempre és divisible per p i atribuí aquesta descoberta a Sir John Wilson (1741-1793). En els manuscrits de Leibniz, es trobà també una afirmació equivalent. El primer en publicar una demostració de l’anomenat teorema de Wilson fou Lagrange, que el demostrà a partir del Petit teorema de Fermat. L’any 1773, Euler publicà una demostració del teorema de Wilson que, si bé no és del tot completa, és molt interessant. En ella, Euler emprà per primera vegada una arrel primitiva mòdul p, la qual en el llenguatge actual correspon a un generador del grup multiplicatiu del cos finit Fp de p elements. El concepte d’arrel primitiva havia estat introduït per Lambert, però la denominació d’arrel primitiva és deguda a Euler. Suposant l’existència d’una tal arrel, a, Euler procedí així per a demostrar el teorema de Wilson: quan dividim 1, a, a 2 , . . . , a p−2 per p, obtenim els residus 1, 2, 3, . . . , p − 1, en un determinat ordre. Així, a (p−1)(p−2)/2 té el mateix residu mòdul p que (p − 1)!. Suposem que p > 2, i sigui p = 2n + 1. Atès que el residu de a n és −1, aleshores a n(2n−1) i, per tant, (p − 1)!, tenen residu −1. L’any 1772, Euler afirmà que no coneixia cap regla general per al càlcul d’arrels primitives mòdul p, però en calculà una taula per a tot primer p ≤ 41. En les Disquisitiones Arithmeticæ , Gauss donà dues demostracions de l’existència d’arrels primitives mòdul un nombre primer i demostrà que un mòdul m admet arrels primitives si, i només si, m és igual a 2, 4, p α , 2p α , on p denota un primer senar. Un resultat curiós diu que si Fn = 22n+1 és primer (n ≥ 1), aleshores 3 és una arrel primitiva per a Fn. Una conjectura no demostrada, formulada per Emil Artin, afirma que tot enter a = −1, no quadrat, és una arrel primitiva per a infinits primers. Una forma més precisa d’aquesta conjectura, deguda també a Artin, diu que si a = b n per a n > 1, i si νa(N) indica el nombre de 9
Page 1 and 2: VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES I
Page 3 and 4: Val a dir que molts conceptes matem
Page 5 and 6: són els únics nombres de Mersenne
Page 7: primer p, i obté en conseqüència
Page 11 and 12: x y + √ A > 2 √ A. En escriure
Page 13 and 14: quadrats perfectes. Així mateix, p
Page 15 and 16: Basant-se en idees d’Euler, Lagra
Page 17 and 18: La primera demostració de l’afir
Page 19 and 20: Calculà a mà la suma dels primers
Page 21 and 22: la segona de les identitats abans e
Page 23 and 24: elacionar el valor en el 1 de la s
Page 25 and 26: Les fórmules anteriors són interp
Page 27 and 28: Riemann representa per ζ(s) la fun
Page 29 and 30: ℜ(s) < 0. En conseqüencia, els
Page 31 and 32: útils per al seu estudi futur. En
Page 33 and 34: Fent ús de l’anàlisi de Fourier
Page 35 and 36: 2.6. Retorn a Euler. En invertir la
Page 37 and 38: Donat un enter positiu n, sigui p(n
Page 39 and 40: pes 1/2 i de nivell < 900. La funci
Page 41 and 42: positius d’un nombre n, satisfà
Page 43 and 44: Petropolitanae 5 (1730/1), 1738, p.
Page 45: [Ro1981] Rosen, Michael: Abel’s t

VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?