VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

26 PILAR BAYER
per expressar la integral euleriana anterior. De fet, Π(s) està definida
per a tot nombre complex s tal que ℜ(s) > 1.
La representació següent de la funció Π era també familiar a Euler:
n!(n + 1)
Π(s) = lim
n→∞
s
(s + 1)(s + 2) · · · (s + n) .
L’avantatge d’aquesta fórmula és la d’ésser vàlida per a tot s, real o
complex, llevat dels valors de s que anul·len el denominador. Amb
altres paraules, l’expressió
Π(s) =
∞
1 + s
−1
1 +
n
1
s n
n=1
estén la funció en una funció meromorfa del pla, sense zeros, i amb
pols en els enters negatius s = −1, −2, −3, . . . Aquesta funció satisfà
l’equació funcional
Π(s) = sΠ(s − 1)
i, a més, l’anomenada relació de Legendre:
Π(s) = 2 s
s
s − 1
Π Π Π
2 2
−1/2 .
La notació Γ(s) per a representar la funció Π(s − 1) és deguda a Legendre
i s’imposà a la fi del segle XIX.
2.4. La memòria de Riemann. L’any 1859, amb motiu del seu nomenament
de membre corresponent de l’Acadèmia de Ciències de Berlín
en la branca de Físiques i Matemàtiques, Bernhard Riemann (1826-
1866) presentà a l’acadèmia una memòria titulada Ueber die Anzahl
der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse [Ri1859]. En ella, establí
les bases de l’estudi de la funció zeta com a funció de variable complexa
i posà de relleu la importància d’aquesta funció per a l’estudi de les
lleis que regeixen la distribució dels nombres primers.
Partint de la descomposició en producte obtinguda per Euler,
∞ 1
= 1 −
ns 1
ps −1 ,
n=1