VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

6 PILAR BAYER
Fent ús novament del Petit teorema de Fermat, el resultat anterior
pot ésser refinat; es pot veure així que tot divisor de Mp, per a p > 2,
és del tipus 8k ± 1 (cf. [Sha1962], Ch.1, Th.19).
En una carta de l’any 1772, Euler comunicà a un dels Bernoulli
que havia pogut establir el caràcter primer de M31 i que, per tant,
P31 = 2 30 M31 és el vuitè nombre perfecte. Per a obtenir aquest resultat,
Euler havia examinat tots els primers dels tipus 248n+1 o bé 248n+63
més petits que 46 339. Per a copsar fins a quin punt l’ús del Petit
teorema de Fermat facilità a Euler la recerca d’aquest nombre perfecte
podem fer el càlcul següent:
Definim Mp := 2 p −1 i sp := [ Mp]. Siguin cp = π(sp) el nombre de
primers més petits o iguals que una quantitat donada sp, fp = π2p,1(sp)
el de primers més petits o iguals que sp continguts a la progressió
aritmètica {1 + t2p}, i ep el nombre de primers de la forma anterior
que, a més, poden ésser escrits com 8k ± 1. D’entrada, el nombre de
divisions (no elementals) que Euler hauria necessitat per a establir el
caràcter primer de M31 hauria estat c31 = π(46 340) = 4 792. El treball
del 1747 li permeté restringir-se a un total de f31 = 157, mentre que
en el procediment que finalment seguí li’n bastaren e31 = π248,1(s31) +
π248,63(s31) = 84.
Avui, en què la tasca de fer operacions aritmètiques ha esdevingut
incomparablement més fàcil, es coneixen únicament 44 nombres perfectes.
El darrer correspon a p = 232 582 657 i té 19 616 714 dígits.
En el treball [Eu1760], Euler donà la seva celebrada generalització
del Petit teorema de Fermat. El teorema 10 diu:
Exponents minimae potestatis x ν , quae per numerum N
ad x primum divisa unitatem relinquit, vel est aequalis
numero partium ad N primarum vel huius numeri semissis
aliave eins pars aliquota.
L. Euler, [Eu1760]
Escrivim, d’acord amb la notació introduïda posteriorment per Gauss
en les Disquisitiones, ϕ(N) per a indicar el nombre d’enters positius
primers amb N més petits que N. En el mateix treball, Euler demostra
que ϕ és una funció multiplicativa, que ϕ(p m ) = p m−1 (p − 1), per a tot