VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

More documents

Recommendations

Info

18 PILAR BAYER Bernoulli, Goldbach li comunicà que podia demostrar que 1 16 25 = 1.64 < ζ(2) < 12 3 = 1.66. Euler i Daniel Bernoulli havien conviscut a Sant Petersburg en el període comprès entre 1727 i 1733. Podria ser que Euler esdevingués interessat en aquest problema a través de D. Bernoulli. En aquesta época, per manipulació de la sèrie ∞ Euler arribà a la identitat log(1 − x) x = − ζ(2) = (log 2) 2 + n=1 ∞ n=1 x n−1 n , 1 2 n n 2 (cf. [Eu1736a]). L’avantatge d’aquesta darrera expressió es troba en què ∞ la sèrie 1/(2 n n 2 ) convergeix més de pressa que la sèrie que defineix n=1 ζ(2). Mitjançant les expressions log 2 = − log(1 − 1 ) = 2 ∞ n=1 ∞ n=1 1 n2 ∼ 0.951787 . . . , 2n 1 ∼ 0.693147 . . . , n2n Euler obtingué al valor aproximat ζ(2) ∼ 1, 644934 . . . En el treball Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali [Eu1736b], publicat el 1736 però anterior probablement al 1734, Euler obté l’aproximació correcta a partir de la descomposió ζ(2) = 1.64493406684822643647 . . . ζ(2) = 10 n=1 1 + n2 ∞ n=11 1 . n2
Calculà a mà la suma dels primers termes i aproximà la resta mitjançant una fórmula deduïda per ell per al càlcul de n m k , k ≥ 1. m=1 En aquesta darrera fórmula intervenen els nombres de Bernoulli, Bn, definits per la funció generatriu x ex − 1 = ∞ Bnxn , |x| < 2π. n! n=0 El resultat més brillant d’Euler en aquestes qüestións fou obtingut sin x en el treball [Eu1734]. Partint de la funció f(x) = 1 − , on α és sin α fix i diferent d’un múltiple enter de π, i mitjaçant el desenvolupament del sin x, escriu: f(x) = 1 − x x3 + − · · · sin α 3! sin α Tot seguit, Euler considera el terme de la dreta com un polinomi de grau infinit i el descompon tenint en compte les seves arrels. Si aquestes són a1, a2, · · · , an, · · · , escriu f(x) = 1 − x a1 1 − x a2 · · · 1 − x · · · = an De la definició de f(x), se segueix que les arrels són 2πn + α x = 2πn + π − α. n=−∞ ∞ k=1 19 1 − x per a n = 0, ±1, ±2, · · · . Per tant, f(x) = ∞ x x 1 − 1 − = 1 − 2πn + α 2πn + π − α x · α ∞ n=1 1 − x 1 + (2n − 1)π − α x 1 − (2n − 1)π + α ak . x 1 + 2nπ + α x . 2nπ − α
Page 1 and 2: VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES I
Page 3 and 4: Val a dir que molts conceptes matem
Page 5 and 6: són els únics nombres de Mersenne
Page 7 and 8: primer p, i obté en conseqüència
Page 9 and 10: una circumferència, el recíproc d
Page 11 and 12: x y + √ A > 2 √ A. En escriure
Page 13 and 14: quadrats perfectes. Així mateix, p
Page 15 and 16: Basant-se en idees d’Euler, Lagra
Page 17: La primera demostració de l’afir
Page 21 and 22: la segona de les identitats abans e
Page 23 and 24: elacionar el valor en el 1 de la s
Page 25 and 26: Les fórmules anteriors són interp
Page 27 and 28: Riemann representa per ζ(s) la fun
Page 29 and 30: ℜ(s) < 0. En conseqüencia, els
Page 31 and 32: útils per al seu estudi futur. En
Page 33 and 34: Fent ús de l’anàlisi de Fourier
Page 35 and 36: 2.6. Retorn a Euler. En invertir la
Page 37 and 38: Donat un enter positiu n, sigui p(n
Page 39 and 40: pes 1/2 i de nivell < 900. La funci
Page 41 and 42: positius d’un nombre n, satisfà
Page 43 and 44: Petropolitanae 5 (1730/1), 1738, p.
Page 45: [Ro1981] Rosen, Michael: Abel’s t

VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?