VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

28 PILAR BAYER
uniforme sobre els compactes. La funció ζ definida ara mitjançant la
representació integral anterior és una funció analítica del pla complex,
llevat potser dels punts s = 1, 2, 3, . . . , on la funció Γ(1 − s) té pols.
Com que aquesta funció coincideix amb ∞
n=1 n−s per als valors reals
de s > 1, ho fa, per prolongació analítica, per a tot s situat en el semiplà
ℜ(s) > 1. Atès que l’expressió de ζ(s) en producte d’Euler posa
en evidència que ζ(s) no té cap singularitat per a ℜ(s) > 1, i, d’altra
banda, lims→1 ζ(s) = ∞, veiem que ζ(s) és una funció meromorfa del
pla complex que té un únic pol en el punt s = 1, simple, ja que el de
la funció Γ ho era. La funció així obtinguda és coneguda avui amb el
nom de funció zeta de Riemann.
El procés descrit de prolongació analítica, més semblant a l’emprat
en el cas de la funció Γ i diferent del procés propi de Weierstrass, que
és fet a trossos, permet a Riemann substituir les manipulacions d’Euler
amb sèries divergents per càlculs amb funcions veritablement definides.
Val a dir, però, que altres intents per explicar els resultats d’Euler,
potser més propers al seu esperit, foren fets per mitjà de tècniques
d’anàlisi no estàndard.
La representació integral de la funció ζ, canviant ara el sentit del
camí d’integració i tenint en compte que les úniques singularitats de
la integral es troben en els punts x = ±2πin, i la fórmula integral de
Cauchy proporcionen a Riemann la igualtat
2 sin(πs)Γ(s)ζ(s) = (2π) s n s−1 [(−i) s−1 + i s−1 ].
Riemann prova així que, per a tot s,
ζ(s) = Γ(1 − s)(2π) s−1
πs
2 sin ζ(1 − s),
2
que és l’equació funcional predita per Euler.
Si prenem, d’acord amb Riemann,
ξ(s) := s(s − 1)π −s/2
s
Γ ζ(s),
2
obtenim que ξ(s) és una funció entera que satisfà l’equació funcional
ξ(s) = ξ(1 − s).
Mitjançant l’equació funcional, veiem que ζ(s) s’anul·la per a s = −2n,
n natural, i que ζ(s) = 0 per a tot altre valor de s situat en el semiplà