VARIÆ OBSERVATIONES CIRCA SERIES INFINITAS Índex ...

38 PILAR BAYER
on p1(n) denota el nombre de particions de n en un nombre parell de
parts desiguals, i p0(n) el nombre de particions de n en un nombre
senar de parts desiguals.
Euler demostrà que la desigualtat p1(n) = p0(n) estava estretament
relacionada amb els nombres pentagonals. Si ω(n) = 3n2 − n
denota
2
el nombre pentagonal n-èsim i definim ω(−n) = 3n2 + n
, aleshores el
2
teorema d’Euler sobre els nombres pentagonals s’expressa mitjançant
la igualtat
∞
m=1
(1 − x m ) = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + · · ·
= 1 + ∞
n=1 (−1)n x ω(n) + x ω(−n)
=
∞
−∞
(−1) n x ω(n) .
Com moltes altres funcions aritmètiques, per exemple la funció τ(n)
de Ramanujan, els coeficients c(n) de la funció j de Klein, la funció
σk(n) donada per les sumes de potències k-èsimes dels divisors d’un
nombre, els valors ζ(−2n − 1), etc., la funció de partició p(n) pot ésser
definida per mitjà dels coeficients de formes modulars. Per exemple, la
funció eta de Dedekind
η(z) = e πiz/12
∞ 2πimz
1 − e , ℑ(z) > 0,
m=1
és una funció analítica en el semiplà superior que satisfà l’equació funcional
az + b
η = ω
cz + d
√ cz + d η(z),
a b
per a ℑ(z) > 0, essent una matriu de coeficients enters i de
c d
determinant igual a 1, i ω una arrel 24-èsima de la unitat que depèn
de a, b, c i d, però que no depèn de z (cf. [Ay1963]). A menys de
productes per escalars, la funció η(24z) és l’única forma parabòlica de