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El Problema Planteamiento del Problema
Funciones que mapean de C a C n×n , tales como la función de transferencia
f(t) = B(tI − A) −1 C, para B ∈ C n×m , A ∈ C m×m y C ∈ C m×n .
Entre las funciones de matrices más usuales, podemos hallar la función
exponencial, la cual tiene especial importancia debido a su relación con la
resolución de ecuaciones diferenciales que modelan fenómenos físicos, químicos,
biológicos, económicos, etc. La función signo matricial, junto a la exponencial de
una matriz, resulta ser una de las funciones matriciales que durante más tiempo y
con mayor profundidad se ha investigado, posee un amplio rango de aplicaciones
en teoría de control, descomposición en valores propios y teoría espectral [7]. Una
de las funciones de matrices que comúnmente se encuentra en diversas aplicaciones
es la raíz cuadrada de una matriz, generalmente proveniente dentro del contexto
de matrices simétricas positivas definidas [6], por ejemplo, el escalado utilizado en
el cálculo de la función logarítmica, se puede realizar utilizando la identidad
log(A) = 2 j log(A (1/2)j
), j = 1, 2, · · · (1.1)
en la que aparecen raíces cuadradas de matrices.
La raíz cuadrada de una matriz A, denotada por X = A 1/2 , está definida como la
solución de la ecuación matricial cuadrática
F (X) ≡ X 2 − A = 0 (1.2)
donde A ∈ C n×n . Una solución de la ecuación (1.2) es llamada la raíz cuadrada
de la matriz A. Si la matriz A posee autovalores reales no negativos, entonces la
ecuación (1.2) posee una única solución X, denotada por A 1/2 y es denominada
raíz cuadrada principal de A [8].
De esta manera, se puede encontrar la necesidad de computar la raíz p-ésima de
una matriz, como por ejemplo en el análisis y diseño de sistemas de control, así
mismo la función raíz de una matriz está asociada a otras funciones tales como
la función signo de una matriz y la función sector, las cuales son empleadas para
resolver la ecuación matricial de Lyapunov y de Riccati [9]. Al igual que ocurre
en el caso particular de raíces cuadradas, la raíz p-ésima de una matriz puede
no existir o tener una o más soluciones. Extendiendo la formulación dada en la
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