Ver/Abrir - Memoria Cientifica y Academica de la Universidad de ...

Marco Teórico Raíz p-ésima de una matriz
Dado X0 = In
αk =
Xk+1 = 1
2
√ traza(A)
XkF
para k = 0, 1, 2, . . .
, αk > 0
αkXk + (α −1
k X−T
k )A
2.3. Raíz p-ésima de una matriz
(2.17)
El cálculo la raíz p-ésima de una matriz A simétrica y definida positiva, se puede
obtener en base al método de Newton como en el caso de la raíz cuadrada, en este
caso aplicado al problema F (X) = X p − A = 0, siguiendo el esquema iterativo:
Xk+1 = Xk − F ′ (Xk) −1 F (Xk), k = 0, 1, 2, . . .
Considerando la expansión de Taylor para F alrededor de X, se tendría que:
F (X + H) = F (X) + F ′ (X)H + O(H 2 )
donde F ′ (X) es la derivada de Fréchet, y al igual que en el caso de la raíz cuadrada,
es un operador lineal, como viene definido en [3, 10]:
F ′ p−1
(X)H =
i=0
X p−1−i HX i
De esta manera, el método clásico de Newton se puede escribir de la siguiente
manera:
p−1
X p−1−i
k HkX i k = A − X p
k
i=0
Xk+1 = Xk + Hk
Resolver para Hk
15
⎫
⎪⎬
⎪⎭
k = 0, 1, 2, . . . (2.18)