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Capítulo 2 MARCO TEÓRICO Este capítulo pretende exponer los conceptos y definiciones necesarias para la comprensión de los aspectos principales del cálculo de funciones matriciales en particular y de manera general se describen teorías, métodos y consideraciones necesarias para la realización de este trabajo; también se detallarán las principales definiciones en las cuales se basan todos los principios del cálculo de la raíz de una matriz. 2.1. Antecedentes A continuación se muestran diversos trabajos que otorgan aportes importantes para el desarrollo de este trabajo, sirviendo de orientación para la planificación y desarrollo del mismo. Newton’s Method for the Matrix Square Root Trabajo desarrollado por N. J. Higham, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester, Inglaterra [1]. En este trabajo el autor plantea el cómputo de la raíz cuadrada de una matriz A mediante el método de Newton aplicado a la ecuación cuadrática matricial F (X) ≡ X 2 − A = 0. En este trabajo el autor hace notar que resolver la ecuación 7
Marco Teórico Antecedentes involucra el cálculo de una descomposición de Schur y así asegurar la estabilidad del método. Computing Real Square Roots of a Real Matrix Trabajo desarrollado por N. J. Higham, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester, Inglaterra [11]. En este trabajo se presenta un método desarrollado por Björck y Hammarling para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz A, calculando inicialmente una descomposición de Schur Q ∗ AQ = T , donde Q es una matriz unitaria y T es una matriz triangular superior, para luego determinar una matriz triangular superior U como la raíz cuadrada de T , la cual vendría dada por X = QUQ ∗ . En este trabajo se generaliza el método de Schur el cual permite calcular la raíz cuadrada de una matriz A ∈ R n×n con aritmética real. Así mismo se realiza el estudio importante sobre el condicionamiento y la estabilidad de la factorización real de Schur. Stable iterations for the matrix square root Trabajo desarrollado por N. J. Higham, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester, Inglaterra [13]. En este trabajo se muestran diversos métodos para obtener la raíz cuadrada de una matriz, entre ellos se nombra la descomposición de Schur como método de referencia y se muestra en [11] que los cálculos pueden ser efectuados en una aritmética real, sin embargo las iteraciones de matrices de la forma Xk+1 = g(Xk) son alternativas altamente atractivas ya que se pueden implementar en términos de construcción por bloques, además de ser potencialmente adecuadas para la computación paralela. A Schur Algorithm For Computing Matrix P th Roots Trabajo desarrollado por Matthew Smith, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester, Inglaterra [10]. En este trabajo se presenta un algoritmo de Schur para calcular la p-ésima raíz de una matriz, el cual generaliza el método presentado por Björck y Hammarling y el presentado por Higham para el cálculo de la raíz cuadrada. Este algoritmo calcula la p-ésima raíz de una matriz quasi-triangular recursivamente. En este trabajo se muestra que el método es numéricamente estable. 8
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Bibliografía [1] N. J. Higham. New
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