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Marco Teórico Raíz Cuadrada de una Matriz
Una manera sencilla de simplificar la ecuación (2.3), dado que X conmuta con A =
X 2 dependiendo del iterado inicial X0, es asumir la relación de commutatividad
cuyo teorema y demostración se encuentra en [1], dicha relación de conmutatividad
viene dada por:
XkHk = HkXk
y se logra obtener de esta manera para la ecuación (2.3):
2HkXk = 2XkHk = A − X 2 k
(2.4)
(2.5)
De esta forma se obtienen dos nuevas iteraciones para la ecuación (2.3), las cuales
se presentan a continuación:
Xk+1 = 1
Xk + X
2
−1
k A
Xk+1 = 1
2
Xk + AX −1
k
(2.6a)
(2.6b)
El problema de estas dos iteraciones es que son numéricamente inestables tal como
se demuestra en [1]. En este mismo artículo Higham demuestra que si se utilizan
las iteraciones acopladas:
Yk+1 = 1
Yk + Z 2
−1
k
Zk+1 = 1
Zk + Y 2
−1
k
Y0 = A, Z0 = In
k = 0, 1, 2, . . . (2.7)
basadas en las iteraciones de Denman-Beavers (DB) [13], entonces se obtiene un
algoritmo numéricamente estable. Si la matriz A no tiene valores propios reales
negativos y todas las iteraciones están bien definidas, se puede demostrar que
Yk → A 1/2 , Zk → A −1/2 , cuando k → ∞
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