Ver/Abrir - Memoria Cientifica y Academica de la Universidad de ...

Universidad de Carabobo
Facultad Experimental de Ciencias y Tecnología
Departamento de Matemáticas
Algunos Métodos de Punto Fijo para el
Cálculo de la Raíz P -ésima de una Matriz
Real Simétrica Positiva Definida.
Autor: Prof. José Luis Ramírez B.
Trabajo presentado por el Profesor José Luis Ramírez B. ante la ilustre
Universidad de Carabobo como credencial de mérito para ascender en el
escalafón a la Categoría de Profesor Agregado.
Valencia, Venezuela
Noviembre de 2011.

Resumen
En esta investigación se desarrollan esquemas numéricos de Punto Fijo para el
cálculo de la raíz p-ésima de una matriz simétrica positiva definida, con el objetivo
de hacer un estudio comparativo de su comportamiento con respecto a métodos
ya estudiados como por ejemplo el método de Newton tanto en su forma clásica
como en su esquema estable. Los esquemas de Punto Fijo desarrollados en este
trabajo están basados en un método de Newton simplificado para el cálculo de la
raíz cuadrada de una matriz simétrica positiva definida, donde en cada iteración se
define un factor αk que busca acelerar la convergencia del método. La comparación
se basa principalmente en el orden de convergencia de los métodos ideados para
calcular la raíz p-ésima de una matriz real simétrica positiva definida, para ello
se emplearon distintas matrices para diversos valores de p y así poder observar su
comportamiento.
Palabras Claves: Iteraciones de Matrices, Método de Newton, Raíz p-ésima de
una matriz, Matriz Simétrica Positiva Definida.

Índice general
1. EL PROBLEMA 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Formulación del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Objetivos de la Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. MARCO TEÓRICO 7
2.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Raíz Cuadrada de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2. Iteración de Newton Simplificada . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Raíz p-ésima de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Convergencia y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
iii

3. MARCO METODOLÓGICO 19
3.1. Tipo y Diseño de la Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Modalidad de la Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Técnicas e Instrumentos para Recolectar la Información . . . . . . 21
3.4. Fases Metodológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.1. Fase I: Analizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2. Fase II: Diseñar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.3. Fase III: Comparar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. RESULTADOS 24
4.1. FASE I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. FASE II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1. Algoritmos Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3. FASE III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1. Plataforma Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 46
5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iv

A. Programas Principales 48
A.1. Raíz Cuadrada de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.2. Raíz p-ésima de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.3. Raíz p-ésima Estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B. Rutinas Principales 56
B.1. Newton Clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B.2. IASMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
B.3. Newton Mejorado Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B.4. Punto Fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.5. Punto Fijo Mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
B.6. Newton Estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
B.7. Newton Mejorado Estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
v

Índice de cuadros
3.1. Fases Metodológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1. Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz de Poisson. . . . . . . 44
4.2. Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz de Hilbert. . . . . . . . 44
4.3. Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz Prolate. . . . . . . . 45
4.4. Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz gcdmat. . . . . . . . . 45
4.5. Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz Toeppd. . . . . . . . . 45
vi

Índice de figuras
4.1. Comparación del error para √ A con A matriz de Poisson 225 × 225 33
4.2. Comparación del error para √ A con A matriz de Hilbert 15 × 15 . 34
4.3. Comparación del error para √ A con A matriz de Hilbert 100 × 100 35
4.4. Comparación del error para 3√ A con A matriz de Poisson 225 × 225 36
4.5. Comparación del error para 3√ A con A matriz de Hilbert 15 × 15 . 37
4.6. Comparación del error para 5√ A con A matriz de Poisson 225 × 225 38
4.7. Comparación del error para 10√ A con A matriz gcdmat 50 × 50 . . 39
4.8. Comparación del error para 10√ A con A matriz gcdmat 50 × 50 . . 40
4.9. Comparación del error para 10√ A con A matriz de Poisson 225 × 225 41
4.10. Comparación del error para 10√ A con A matriz de Hilbert 15 × 15 42
4.11. Comparación del error para 10√ A con A matriz gcdmat 50 × 50 . . 43
vii

Capítulo 1
EL PROBLEMA
1.1. Introducción
En este trabajo son desarrollados diversos algoritmos basados en el método de
Punto Fijo para el cálculo de la raíz p-ésima de una matriz con las características
de ser simétrica y positiva definida, para resolver este problema de forma
aproximada se pueden emplear técnicas basada en el método de Newton como
se pueden observar en [1, 2], en los últimos años han sido ideadas nuevas
técnicas numéricas que permiten resolver el problema de hallar la raíz de una
matriz obteniendo soluciones a un buen nivel de exactitud, [2, 3], los métodos
de Punto Fijo desarrollados parten de la idea obtenida en [4] para obtener una
iteración alternativa simplificada del método de Newton denotado IASMN, el cual
permite obtener la raíz cuadrada de una matriz real simétrica definida positiva
y que resulta atractiva tanto por su convergencia y en términos computacionales
bastante económica.
Los algoritmos desarrollados buscan acelerar la convergencia mediante el uso
de un parámetro de aceleración αk, el cual busca ser óptimo para los métodos
implementados en el trabajo, tal como es implementado en [4].
La organización de este documento se hace en base a 5 capítulos. En el primer
capítulo se presenta el planteamiento del problema a resolver, los objetivos
propuestos y la justificación de la investigación. El segundo capítulo presenta
1

El Problema Planteamiento del Problema
el marco teórico sobre el cual se basan los algoritmos para obtener la raíz p-ésima
de una matriz haciendo énfasis en aquellos métodos estilo Newton. En el tercer
capítulo se exponen las características del enfoque metodológico, explicando cada
una de las fases involucradas en esta investigación. El cuarto capítulo presenta
los resultados obtenidos al aplicar los algoritmos desarrollados en el capítulo dos
para obtener la raíz p-ésima de una matriz, realizando comparaciones del error
para el estudio de la convergencia. Por último, en el quinto capítulo se presentan
las conclusiones y recomendaciones obtenidas al culminar la investigación.
1.2. Planteamiento del Problema
Problemas que involucran la necesidad de evaluar una función f(A) ∈ C n×n de
una matriz A ∈ C n×n pueden ser hallados en un amplio y creciente número de
aplicaciones en ciencias y en la ingeniería, por ejemplo, en trabajos recientes se han
enfocado en identificar medidas computables que cuantifiquen las características
de una red [5], donde dichas medidas son expresadas generalmente en términos de
las matrices que definen al grafo de la red. La función exponencial de una matriz
y el logaritmo de una matriz poseen roles importantes en modelos de Markov, los
cuales son usados en una variedad de distintas aplicaciones [6].
Es importante tomar en cuenta que la presencia de f(A) en una ecuación puede
surgir de forma natural y útil desde un punto de vista teórico, esto no significa
que sea útil o deseable computar f(A), como por ejemplo f(A) = A −1 . Existen
interpretaciones distintas para f(A), algunas de ellas pudiesen ser:
f(A) es una función elemento a elemento sobre la matriz A, como por
ejemplo cos(A) = cos(ai,j). Sin embargo esta interpretación no encaja
directamente dentro de la teoría del álgebra lineal [6].
f(A) es una función que produce como resultado un valor escalar, como
por ejemplo, la traza, el cálculo del determinante, el número de condición
κ(A) = AA −1 .
Funciones que mapean de C n×n a C m×m que no provienen de funciones
escalares, como por ejemplo, la adjunta de una matriz, la traspuesta de una
matriz, etc.
2

El Problema Planteamiento del Problema
Funciones que mapean de C a C n×n , tales como la función de transferencia
f(t) = B(tI − A) −1 C, para B ∈ C n×m , A ∈ C m×m y C ∈ C m×n .
Entre las funciones de matrices más usuales, podemos hallar la función
exponencial, la cual tiene especial importancia debido a su relación con la
resolución de ecuaciones diferenciales que modelan fenómenos físicos, químicos,
biológicos, económicos, etc. La función signo matricial, junto a la exponencial de
una matriz, resulta ser una de las funciones matriciales que durante más tiempo y
con mayor profundidad se ha investigado, posee un amplio rango de aplicaciones
en teoría de control, descomposición en valores propios y teoría espectral [7]. Una
de las funciones de matrices que comúnmente se encuentra en diversas aplicaciones
es la raíz cuadrada de una matriz, generalmente proveniente dentro del contexto
de matrices simétricas positivas definidas [6], por ejemplo, el escalado utilizado en
el cálculo de la función logarítmica, se puede realizar utilizando la identidad
log(A) = 2 j log(A (1/2)j
), j = 1, 2, · · · (1.1)
en la que aparecen raíces cuadradas de matrices.
La raíz cuadrada de una matriz A, denotada por X = A 1/2 , está definida como la
solución de la ecuación matricial cuadrática
F (X) ≡ X 2 − A = 0 (1.2)
donde A ∈ C n×n . Una solución de la ecuación (1.2) es llamada la raíz cuadrada
de la matriz A. Si la matriz A posee autovalores reales no negativos, entonces la
ecuación (1.2) posee una única solución X, denotada por A 1/2 y es denominada
raíz cuadrada principal de A [8].
De esta manera, se puede encontrar la necesidad de computar la raíz p-ésima de
una matriz, como por ejemplo en el análisis y diseño de sistemas de control, así
mismo la función raíz de una matriz está asociada a otras funciones tales como
la función signo de una matriz y la función sector, las cuales son empleadas para
resolver la ecuación matricial de Lyapunov y de Riccati [9]. Al igual que ocurre
en el caso particular de raíces cuadradas, la raíz p-ésima de una matriz puede
no existir o tener una o más soluciones. Extendiendo la formulación dada en la
3

El Problema Planteamiento del Problema
ecuación (1.2), se denota a X como la raíz p-ésima de una matriz A ∈ C n×n si
X p = A, de esta manera la raíz p-ésima de una matriz es la solución de la ecuación
matricial dada por:
F (X) ≡ X p − A = 0 (1.3)
Para resolver el problema presentado en la ecuación (1.3) se han ideado diversos
métodos numéricos, como por ejemplo la descomposición real de Schur de una
matriz [10, 11, 12, 13].
Por otro lado, problemas que involucren el cálculo de una función matricial pueden
ser abordados mediante el uso de la técnica de iteraciones matriciales, donde
se genera una sucesión de matrices solución de la función f(A), que idealmente
dicha sucesión tendería a converger a la solución del problema. La técnica de
iteraciones matriciales consiste entonces en seleccionar una función g que podría
o no depender de A y a partir de un iterado inicial X0, usualmente X0 = I o
X0 = A, generar dicha sucesión de aproximaciones.
Xk+1 = g(Xk) (1.4)
Una manera simple de generar iteraciones de matrices es aplicar el método de
Newton a una ecuación algebraica que satisface f(A) y seleccionar X0 de manera
tal que la fórmula de iteración es simplificada [6]. Usando esta idea la ecuación
(1.2) ha sido abordada por [1, 8, 11, 13], quedando que:
Xk+1 = 1
2
Xk + AX −1
k
(1.5)
es la iteración de Newton para la ecuación X 2 − A = 0. Si A posee autovalores no
negativos, entonces, los iterados generados por la ecuación (1.5) están definidos y
Xk converge cuadráticamente a A 1/2 [1].
De manera similar, para dar solución a la ecuación (1.3), se sigue el esquema
iterativo
Xk+1 = 1
p
(p − 1)Xk + AX 1−p
k
4
(1.6)

El Problema Planteamiento del Problema
La iteración anterior se basa en el método de Newton, que permite calcular la raíz
p-ésima de una matriz A. Sin embargo, como se demuestra en [10], dicha iteración
es inestable, a menos que A esté extremadamente bien condicionada. Esta técnica
de aplicar la ecuación (1.6) para resolver el problema dado por la ecuación (1.3) ha
sido abordado por diversos autores, ideando algoritmos lo suficientemente estables,
entre ellos encontramos [3, 12, 14].
De esta manera, lo anteriormente planteado, permite aplicar métodos numéricos
basados en iteraciones de matrices para el cálculo de la raíz p-ésima de una matriz.
1.2.1. Formulación del Problema
¿Se podrán obtener resultados competitivos al calcular mediante métodos
numéricos usando iteraciones de matrices tipo Punto Fijo para obtener la raíz
p-ésima de una matriz real simétrica positiva definida?
1.2.2. Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Desarrollar diversos algoritmos basados en el método de Punto Fijo por medio de
generalizaciones de los métodos clásicos de Newton para calcular la raíz p-ésima
de una matriz real simétrica positiva definida.
Objetivos Específicos
1. Realizar un estudio exhaustivo de las técnicas clásicas para el cálculo
aproximado de la raíz p-ésima de una matriz real.
2. Diseñar algoritmos utilizando el método de Punto Fijo basándose en un
método de Newton mejorado para la raíz cuadrada de una matriz real
simétrica positiva definida.
5

El Problema Planteamiento del Problema
3. Comparar los algoritmos obtenidos en el objetivo 2 por medio del estudio
numérico de la convergencia.
4. Generalizar el algoritmo obtenido en el objetivo 2 para el cálculo de la raíz
p-ésima de una matriz real simétrica positiva definida.
5. Comparar los algoritmos desarrollados en el objetivo 4 por medio del estudio
numérico de la convergencia.
1.2.3. Justificación
La importancia de esta investigación es realizar un aporte al área del Álgebra
Lineal Numérica, desarrollando algoritmos para el cálculo de la raíz p-ésima de
una matriz real simétrica positiva definida.
Por ello el valor agregado de la misma será bajo las siguientes razones:
Teórico: El desarrollo de algoritmos bajo el esquema de iteraciones de
matrices permitirá explotarlos para poder resolver problemas que involucren
el cálculo de una función matricial.
Metodológico: Obtener la raíz p-ésima de una matriz mediante iteraciones de
matrices, permitirá que los estudios en esta área tomen mayor importancia,
ya que al obtener resultados fiables en una aplicación numérica y con un buen
tiempo de ejecución les permitirá su uso en aplicaciones donde se necesite
su cálculo.
Social: Esta investigación se enmarca dentro del área Álgebra Lineal
Numérica, tópico de la Unidad Académica Análisis Numérico del
Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias y Tecnología,
de esta manera el trabajo será un aporte a dicha Unidad y por lo tanto a
los estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas.
De esta forma la presente investigación estará centrada en la recolección de
información, estudio y análisis de técnicas que permitan obtener la raíz p-ésima
de una matriz real simétrica positiva definida.
6

Capítulo 2
MARCO TEÓRICO
Este capítulo pretende exponer los conceptos y definiciones necesarias para la
comprensión de los aspectos principales del cálculo de funciones matriciales en
particular y de manera general se describen teorías, métodos y consideraciones
necesarias para la realización de este trabajo; también se detallarán las principales
definiciones en las cuales se basan todos los principios del cálculo de la raíz de
una matriz.
2.1. Antecedentes
A continuación se muestran diversos trabajos que otorgan aportes importantes
para el desarrollo de este trabajo, sirviendo de orientación para la planificación y
desarrollo del mismo.
Newton’s Method for the Matrix Square Root Trabajo desarrollado por
N. J. Higham, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester,
Inglaterra [1].
En este trabajo el autor plantea el cómputo de la raíz cuadrada de una matriz
A mediante el método de Newton aplicado a la ecuación cuadrática matricial
F (X) ≡ X 2 − A = 0. En este trabajo el autor hace notar que resolver la ecuación
7

Marco Teórico Antecedentes
involucra el cálculo de una descomposición de Schur y así asegurar la estabilidad
del método.
Computing Real Square Roots of a Real Matrix Trabajo desarrollado por
N. J. Higham, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester,
Inglaterra [11].
En este trabajo se presenta un método desarrollado por Björck y Hammarling
para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz A, calculando inicialmente una
descomposición de Schur Q ∗ AQ = T , donde Q es una matriz unitaria y T es una
matriz triangular superior, para luego determinar una matriz triangular superior
U como la raíz cuadrada de T , la cual vendría dada por X = QUQ ∗ . En este
trabajo se generaliza el método de Schur el cual permite calcular la raíz cuadrada
de una matriz A ∈ R n×n con aritmética real. Así mismo se realiza el estudio
importante sobre el condicionamiento y la estabilidad de la factorización real de
Schur.
Stable iterations for the matrix square root Trabajo desarrollado por N.
J. Higham, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester,
Inglaterra [13].
En este trabajo se muestran diversos métodos para obtener la raíz cuadrada de
una matriz, entre ellos se nombra la descomposición de Schur como método de
referencia y se muestra en [11] que los cálculos pueden ser efectuados en una
aritmética real, sin embargo las iteraciones de matrices de la forma Xk+1 = g(Xk)
son alternativas altamente atractivas ya que se pueden implementar en términos
de construcción por bloques, además de ser potencialmente adecuadas para la
computación paralela.
A Schur Algorithm For Computing Matrix P th Roots Trabajo
desarrollado por Matthew Smith, del Departamento de Matemáticas de la
Universidad de Manchester, Inglaterra [10].
En este trabajo se presenta un algoritmo de Schur para calcular la p-ésima raíz de
una matriz, el cual generaliza el método presentado por Björck y Hammarling y el
presentado por Higham para el cálculo de la raíz cuadrada. Este algoritmo calcula
la p-ésima raíz de una matriz quasi-triangular recursivamente. En este trabajo se
muestra que el método es numéricamente estable.
8

Marco Teórico Raíz Cuadrada de una Matriz
Algorithms for the Matrix pth root Trabajo desarrollado por D. Bini, N.
Higham y B. Meini, en el Centro de Matemática Computacional de la Universidad
de Manchester, Inglaterra [2].
En este trabajo son presentados resultados teóricos acerca de la p-ésima raíz
principal de una matriz. Estos resultados son usados en el diseño y análisis de
diversos algoritmos para el cálculo numérico de la raíz p-ésima. Así mismo se
analizan propiedades de convergencia y estabilidad delo método dse Newton para
la inversa de la raíz p-ésima.
On Newton’s method and Halley’s method for the principal pth root
of a matrix Trabajo desarrollado por Chun-Hua Guo, del Departamento de
Matemáticas y Estadística de la Universidad de Regina, Canada [15].
En este trabajo se presentan nuevos resultados con respecto a la convergencia del
método de Newton y se obtienen propiedades interesantes tanto para el método de
Newton como para el método de Halley en terminos de expansión de series. De esta
manera, ambos métodos son mejorados en cuanto a su convergencia cuando los
autovalores de A son conocidos o cuando A es una matriz singular. En este trabajo
el método de Newton y el método de Halley es aplicado a matrices especiales de
modo tal de no usar la descomposición de Schur.
Un Método Simplificado de Newton para Calcular la Raíz Cuadrada
de una Matriz Real Simétrica Definida Positiva Trabajo desarrollado
por Alfredo Mendoza Mexía y Oscar Rubén Gómez Aldama en el Centro de
Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada, México [4].
En este trabajo se presenta el desarrollo de un método para calcular la raíz
cuadrada de una matriz real simétrica positiva definida denominado Iteración
Alternativa Simplificada del Método de Newton (IASMN por sus siglas). El
método planteado por estos autores inserta el cálculo de un factor de escala αk
cuya finalidad es disminuir el tiempo de convergencia del método planteado.
9

Marco Teórico Raíz Cuadrada de una Matriz
2.2. Raíz Cuadrada de una Matriz
El cálculo de la raíz cuadrada de una matriz A mediante el método de Newton,
no es más que obtener la solución de la ecuación cuadrática matricial F (X) ≡
X 2 − A = 0. Para cualquier función F : C n×n → C n×n , el método clásico de
Newton para hallar la solución del problema F (X) = 0 dado un iterado inicial
X0, está definido por la relación de recurrencia:
Xk+1 = Xk − F ′ (Xk) −1 F (Xk), k = 0, 1, 2, . . . (2.1)
donde F ′ denota la derivada de Fréchet de F . De esta manera:
F (X + H) = X 2 − A + (XH + HX) + H 2
Mediante un desarrollo de Taylor para F se observa que F ′ (X) es un operador
lineal, como se puede observar en [1, 3], el cual vendría definido por:
F ′ (X)H = XH + HX (2.2)
De esta manera el método de Newton para calcular la raíz cuadrada de una matriz
se puede escribir de la siguiente manera:
XkHk + HkXk = A − X 2 k
Xk+1 = Xk + Hk
k = 0, 1, 2, . . . (2.3)
El análisis de convergencia local para el método de Newton establece que converge
a la raíz de A si X − X0 es suficientemente pequeño y si A no posee autovalores
negativos entonces los iterados definidos en la ecuación (2.3) están bien definidos
y el método converge cuadráticamente como lo establece [13], además, si A es
simétrica y positiva definida, cada nuevo iterado Xk también lo es, sin embargo,
para asegurar la estabilidad y eficiencia del método, se involucra el cálculo de una
descomposición de Schur de la matriz Xk.
10

Marco Teórico Raíz Cuadrada de una Matriz
Una manera sencilla de simplificar la ecuación (2.3), dado que X conmuta con A =
X 2 dependiendo del iterado inicial X0, es asumir la relación de commutatividad
cuyo teorema y demostración se encuentra en [1], dicha relación de conmutatividad
viene dada por:
XkHk = HkXk
y se logra obtener de esta manera para la ecuación (2.3):
2HkXk = 2XkHk = A − X 2 k
(2.4)
(2.5)
De esta forma se obtienen dos nuevas iteraciones para la ecuación (2.3), las cuales
se presentan a continuación:
Xk+1 = 1
Xk + X
2
−1
k A
Xk+1 = 1
2
Xk + AX −1
k
(2.6a)
(2.6b)
El problema de estas dos iteraciones es que son numéricamente inestables tal como
se demuestra en [1]. En este mismo artículo Higham demuestra que si se utilizan
las iteraciones acopladas:
Yk+1 = 1
Yk + Z 2
−1
k
Zk+1 = 1
Zk + Y 2
−1
k
Y0 = A, Z0 = In
k = 0, 1, 2, . . . (2.7)
basadas en las iteraciones de Denman-Beavers (DB) [13], entonces se obtiene un
algoritmo numéricamente estable. Si la matriz A no tiene valores propios reales
negativos y todas las iteraciones están bien definidas, se puede demostrar que
Yk → A 1/2 , Zk → A −1/2 , cuando k → ∞
11

Marco Teórico Raíz Cuadrada de una Matriz
2.2.1. Estabilidad
La estabilidad del método de Newton para el cálculo de la raíz cuadrada de una
matriz ha sido estudiado por diversos autores, cuando se emplean técnicas que
involucran iteraciones de matrices, la estabilidad se puede definir de la siguiente
manera [5]:
Definición 2.1. Considere la iteración Xk+1 = g(Xk) con punto fijo X,
asumiendo que g es Fréchet diferenciable en X. La iteración es estable en un
entorno de X si las potencias de la derivada de Fréchet Lg(X) están acotadas, es
decir, existe constante c tal que L i g(X) ≤ c ∀ i > 0.
Para asegurar la estabilidad de las ecuaciones (2.6a) y (2.6b) se demuestra en
[1, 5, 6] que la propagación del error debe estar acotado por 1, en particular, se
requiere que:
1
1 − λ
2
1/2
i λ−1/2 j
donde λi son los autovalores de la matriz A.
≤ 1 1 ≤ i, j ≤ n (2.8)
Sin embargo, en [14], se establece que la inestabilidad de las ecuaciones (2.6a) y
(2.6b) se debe principalmente a la pre o post multiplicación de X −1
k por A. Por
otro lado, como A conmuta con Xk la iteración puede ser reescrita de la siguiente
manera [8]:
Xk+1 = Xk + A 1/2 X −1
k A1/2
2
(2.9)
la cual es estable, como se muestra en [8], sin embargo, esta iteración posee la
desventeja de tener que calcular la raíz cuadrada de A, lo que la hace inutil.
Introduciendo una nueva variable Yk = A −1/2 XkA −1/2 = A −1 Xk = XkA −1 , se
obtiene la iteración de Denman y Beavers [1, 8].
12

Marco Teórico Raíz Cuadrada de una Matriz
2.2.2. Iteración de Newton Simplificada
Como se mencionó anteriormente, una simplificación de las iteraciones obtenidas
en la ecuación (2.3), es suponer la conmutación del producto entre Hk y Xk
generando las ecuaciones (2.6a) y (2.6b). Si A ∈ R n×n es una matriz simétrica
y positiva definida, la ecuación (1.2) se puede reescribir de la siguiente manera
tomando en cuenta que X = X T y por tanto X(X) = X T (X)
F (X) ≡ X T X − A = 0 (2.10)
Construyendo las iteraciones de Newton a partir de la ecuación (2.10), se tendría
que la ecuación (2.2) vendría definida como:
y la perturbación Hk viene definida como:
F ′ (X)H = X T H + H T X (2.11)
Hk = Xk+1 − Xk
(2.12)
De esta manera, combinando las ecuaciones (2.10), (2.11) y (2.12), se obtienen las
iteraciones de Newton dada en [4].
Dado X0 = αIn α > 0
X T k Hk + H T k Xk = A − X T k Xk
Xk+1 = Xk + Hk
para k = 0, 1, 2, . . .
(2.13)
El siguiente teorema, el cual está demostrado en [4], establece que las iteraciones
dadas por la ecuación (2.13) convergen de forma cuadrática a la raíz de A.
Teorema 2.1. Sea A ∈ R n×n una matriz real simétrica definida positiva, si X−X0
es lo suficientemente pequeño y la transformación lineal F ′ (X) es no singular
entonces las iteraciones {Xk} proporcionadas por la ecuación (2.13) convergen a
X cuando k → ∞.
13

Marco Teórico Raíz Cuadrada de una Matriz
Siguiendo los resultados del teorema anterior, las iteraciones dadas por la ecuación
(2.13) se puede calcular la raíz cuadrada de una matriz A real simétrica definida
positiva, mediante la siguiente expresión.
Dado X0 = αIn α > 0
Xk+1 = 1
2
Xk + X −T
k A
para k = 0, 1, 2, . . .
(2.14)
lo cual permite establecer mediante el siguiente colorario, que las matrices
generadas por este método preservan las características de ser simétricas y
positivas definidas.
Colorario 2.1. Sea A ∈ R n×n una matriz real simétrica definida positiva, si la
solución inicial en (2.14) es de la forma X0 = αIn con α > 0, entonces todas
las iteraciones {Xk} proporcionadas por (2.14) son reales simétricas definidas
positivas.
Factor de Escala α
Con la finalidad de disminuir el tiempo de convergencia de las iteraciones dadas
en (2.14), cada una de las iteraciones Xk será multiplicada por un factor de escala
αk > 0, de tal manera que se minimice:
A − α 2 kX T k Xk
2 para k = 0, 1, 2, . . . (2.15)
F
En [4] se establece que el factor de escala αk que minimiza la ecuación (2.15) viene
dado por:
αk =
traza(A)
, αk > 0 para k = 0, 1, 2, . . . (2.16)
XkF
Entonces las iteraciones de Newton dadas en la ecuación (2.14) se pueden reescribir
de la siguiente manera, incluyendo el factor de escala
14

Marco Teórico Raíz p-ésima de una matriz
Dado X0 = In
αk =
Xk+1 = 1
2
√ traza(A)
XkF
para k = 0, 1, 2, . . .
, αk > 0
αkXk + (α −1
k X−T
k )A
2.3. Raíz p-ésima de una matriz
(2.17)
El cálculo la raíz p-ésima de una matriz A simétrica y definida positiva, se puede
obtener en base al método de Newton como en el caso de la raíz cuadrada, en este
caso aplicado al problema F (X) = X p − A = 0, siguiendo el esquema iterativo:
Xk+1 = Xk − F ′ (Xk) −1 F (Xk), k = 0, 1, 2, . . .
Considerando la expansión de Taylor para F alrededor de X, se tendría que:
F (X + H) = F (X) + F ′ (X)H + O(H 2 )
donde F ′ (X) es la derivada de Fréchet, y al igual que en el caso de la raíz cuadrada,
es un operador lineal, como viene definido en [3, 10]:
F ′ p−1
(X)H =
i=0
X p−1−i HX i
De esta manera, el método clásico de Newton se puede escribir de la siguiente
manera:
p−1
X p−1−i
k HkX i k = A − X p
k
i=0
Xk+1 = Xk + Hk
Resolver para Hk
15
⎫
⎪⎬
⎪⎭
k = 0, 1, 2, . . . (2.18)

Marco Teórico Raíz p-ésima de una matriz
Empleando la relación dada en la ecuación (2.4), la iteración de Newton dado en
la ecuación (2.18), se puede reescribir de las siguientes manera:
Yk+1 = 1
p
Zk+1 = 1
p
(p − 1)Yk + AY 1−p
k
(p − 1)Zk + Z 1−p
k A
(2.19a)
(2.19b)
Un importante resultado que se obtiene para las iteraciones (2.18), (2.19a) y
(2.19b) a partir de la ecuación (2.4) viene dado por el siguiente teorema, el cual
se puede ver en [1, 3, 10].
Teorema 2.2. Considerese las iteraciones dadas en (2.18), (2.19a) y (2.19b).
Suponiendo que X0 = Y0 = Z0 conmuta con A y que todos los iterados de Newton
Xk están bien definidos. Se cumple entonces que:
1. AXk = XkA ∀k ≥ 0
2. Xk = Yk = Zk ∀k ≥ 0
2.3.1. Convergencia y Estabilidad
La convergencia y estabilidad de las iteraciones de Newton, son aspectos
importantes de estudio. Se sabe que si A es una matriz simétrica positiva definida
entonces Xk converge a A 1/p , como lo establece [2], el siguiente teorema dado en
[15] muestra dicha convergencia.
Teorema 2.3. Si todos los autovalores de A están en {z : |z − 1| ≤ 1} y todos
los autovalores nulos (en caso de haber) son semisimples, entonces la secuencia
de Newton con X0 = I converge a A 1/p .
Además las iteraciones de Newton (2.18), (2.19a) y (2.19b) convergen
cuadráticamente si A posee autovalores no nulos.
Para que las iteraciones de Newton sean numéricamente estable, análogamente
con la raíz cuadrada, se requiere que los autovalores de Lg(A 1/p ), donde g(X) =
p −1 [(p − 1)X + X 1−p A] no excedan a 1 en módulo [2, 6, 10, 12], es decir:
16

Marco Teórico Raíz p-ésima de una matriz
1
p
p−1
(p
− 1) −
r=1
donde λi son los autovalores de A.
λi
λj
r/p ≤ 1 1 ≤ i, j ≤ n (2.20)
La convergencia definida en el Teorema 2.3 puede fracasar en una aritmética
de presición finita, esto debido a que la iteración de Newton definida por las
ecuaciones (2.18), (2.19a) y (2.19b) son numéricamente inestables [10] a menos que
A esté extremadamente bien condicionada. De acuerdo con [14, 16] y en términos
de la definición 2.1, una iteración Xk+1 = f(Xk) es estable en un entorno de la
solución X = f(X), si el error Ek = Xk − X satisface la siguiente relación:
Ek+1 = L(Ek) + O(Ek 2 )
donde L es un operador lineal que tiene sus potencias acotadas, es decir, existe
constante c tal que para todo p > 0 y E arbitraria de norma unitaria, L p (E) ≤ c.
En otras palabras, esto significa que pequeñas perturbaciones introducidas en
algún paso no serán magnificadas en subsiguientes iteraciones.
Con el objetivo de estabilizar las iteraciones dadas en (2.19a) y (2.19b), se reescribe
la iteración de una forma más simétrica, empleando el hecho de que Xk conmuta
con A 1/p , se tendría que:
Xk+1 = 1
(p − 1) Xk + A
p
1/p X −1
k A1/pX −1
k · · · A 1/p X −1
k A1/p
= 1
p
(p − 1)Xk + A 1/p X −1
k
p−1 A 1/p
(2.21)
esta iteración es estable, como se muestra en [6], sin embargo, se busca reescribir
la iteración de modo que no involucre el cálculo de A1/p . Como se mencionó en
la sección §2.2.1, la inestabilidad es debida a la multiplicación de A en alguno
de los lados de X −1
k , introduciendo una nueva variable Nk = AX −p
k y tomando
como valores iniciales X0 = I y N0 = A, se puede probar que cada Xk, Nk y A
conmutan con el resto [14]. De esta manera se obtiene la siguiente variante a la
iteración dada en la ecuación (2.21):
17

Marco Teórico Raíz p-ésima de una matriz
X0 = I, N0 = A
(p − 1)I + Nk
Xk+1 = Xk
p
−p (p − 1)I + Nk
Nk+1 =
p
Nk
⎫
⎪⎬
⎪⎭
k = 0, 1, 2, . . . (2.22)
Se puede observar que en esta iteración no aparece A de forma explícita, así
mismo, como denota [14], mientras Xk converge a A 1/p , la secuencia Nk converge
a la matriz identidad. El costo de las iteraciones dadas en la ecuación (2.22) es de
(θ log 2 p + 14/3)n 3 operaciones de punto flotante donde θ ∈ [1, 2] como se señala
en [6, 10, 12], lo cual es menor que O(pn 3 ) el cual es el costo del método de Schur
si p es grade y no se requieren muchas iteraciones.
18

Capítulo 3
MARCO METODOLÓGICO
3.1. Tipo y Diseño de la Investigación
El nivel de profundidad de la investigación es de tipo exploratoria y descriptiva:
1. Exploratoria: el estudio está orientado a definir un marco conceptual
relacionado con las teorías del cálculo de la raíz p-ésima de una matriz real
simétrica positiva definida, mediante el método de iteraciones de matrices
tipo Punto Fijo, así como el estudio de su comportamiento. En tal sentido, se
realizará una mezcla de conceptos relacionados con la finalidad de analizar
el impacto que tienen dichas teorías sobre el cálculo de la raíz de una matriz,
lo cual permitirá obtener información relevante para construir los algoritmos
computarizados necesarios para desarrollar el estudio planteado.
2. Descriptiva: el estudio está orientado a realizar el análisis de las teorías del
cálculo de la raíz de una matriz, con el método de Punto Fijo basado en el
método de Newton, así como de los algoritmos involucrados. Posteriormente,
el estudio contempla el análisis comparativo de los resultados obtenidos.
Como producto de estos estudios se obtendrá información que soportará la
construcción de los algoritmos computarizados que permitan la obtención
de la raíz de una matriz real simétrica positiva definida.
En tal sentido, Hernández [17] indica que “los estudios descriptivos miden de
manera más bien independiente los conceptos o variables a los que se refieren.
19

Marco Metodológico Técnicas e Instrumentos para Recolectar la Información
Aunque pueden integrar las mediciones de cada una de dichas variables para decir
cómo es y cómo se manifiesta el fenómeno de interés...”
3.2. Modalidad de la Investigación
La investigación que indicará el nivel de profundidad que se desea obtener en
este estudio y que está reflejada en los objetivos de este trabajo estará concebida
dentro de la modalidad de Investigación de Campo, como lo muestra el manual
de Trabajos de Grado y Maestría de la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador [18], ya que contempla la investigación bibliográfica de conceptos
relacionados con las teorías ya mencionadas, las cuales serán sometidas a un
proceso de estudio y evaluación, lo que sentará las bases para la construcción
de los algoritmos computarizados que apoyen el cálculo de la raíz de una matriz.
Algunas veces una investigación puede incluir elementos de distintos tipos de
estudios, como es señalado por Hernández [17]. Ésta, estará basada en un tipo
de estudio exploratorio, dado que se necesita avanzar en el conocimiento de las
técnicas existentes para el cálculo de la raíz de una matriz, esto con el fin de reunir
información para posteriores desarrollos.
También se utilizarán elementos de una investigación comparativa, lo cual
permitirá establecer diferencias y semejanzas entre las distintas técnicas para
calcular la raíz de una matriz, sin establecer correlaciones o causalidades entre
ellos. Finalmente se hará uso de elementos de una investigación evaluativa, con
la cual se estudiarán los resultados obtenidos de las descripciones, análisis y
comparaciones hechas a las distintas técnicas para el cálculo de la raíz, entre
ellas las que son motivo de este estudio, el método de las iteraciones matriciales
tipo Punto Fijo.
Además la realización de esta investigación implica el desarrollo e implementación
de rutinas de software específicas, en el contexto de manipular computacionalmente
problemas relacionados con el álgebra lineal, entre ellos, el problema del cálculo
de la raíz p-ésima de una matriz real simétrica positiva definida.
20

Marco Metodológico Fases Metodológicas
3.3. Técnicas e Instrumentos para Recolectar la
Información
La recolección de la presente investigación se realizará por medio de consultas a
fuentes de información primarias y secundarias:
1. Información primaria: Para este fin se utilizarán las técnicas de observación
y la de recopilación y análisis bibliográfico.
a) Observación: Esta técnica sirve de apoyo en todas las fases de
la investigación para recopilar, analizar, construir y comparar los
resultados obtenidos.
b) Recopilación y análisis bibliográfico: considera la búsqueda de
información relativa a las diferentes teorías planteadas como marco
referencial para el cálculo de la raíz de una matriz, así como su
análisis, con la finalidad de seleccionar la información clave referencial
al momento de profundizar el estudio y desarrollo de los algoritmos
computarizados.
c) Entrevistas a expertos en el área del álgebra lineal numérica, los cuales
ofrecerán información relativa sobre la aplicación del cálculo de la raíz
de una matriz en esta área de interés.
3.4. Fases Metodológicas
La metodología a utilizar estará enfocada a la resolución de problemas de índole
matemático y computacional, ya que se plantea la resolución del cálculo de la
raíz de una matriz aplicando métodos numéricos, como lo es, el método de las
iteraciones de matrices tipo Punto Fijo y sus variantes para el cálculo de la raíz
de una matriz real simétrica positiva definida.
En tal sentido, se han estructurado tres fases, cada una de las cuales se completa
una vez que se tienen ciertos productos, los cuales son utilizados como elementos
de la siguiente fase. En el cuadro 3.1 se muestra una descripción general de las
tres fases y los productos que se obtendrán en cada una de ellas.
21

Marco Metodológico Fases Metodológicas
Cuadro 3.1: Fases Metodológicas
FASES PRODUCTOS
Analizar: Estudiar las teorías
relacionadas al cálculo de la raíz
de una matriz, sus antecedentes y
resultados previos
Diseñar: Desarrollar los algoritmos
computarizados que permitan la
obtención de la raíz de una matriz
Comparar: Desarrollar el análisis
respectivo sobre el desarrollo de los
algoritmos basados en cálculo de
la raíz de una matriz, aplicados en
distintas matrices
• Teoría de iteraciones de matrices.
• Método de Newton.
• Método de Punto Fijo.
• Diseñar los algoritmos computari-
zados basados en los elementos
mencionados.
• Probar los algoritmos computariza-
dos en el ambiente computacional
MATLAB .
• Determinar el grado de exactitud
de las respuestas dadas por los
algoritmos.
Seguidamente, se presentan las tres fases de la metodología a seguir para el
desarrollo de la presente investigación:
3.4.1. Fase I: Analizar
La finalidad de esta fase es entender el problema, recopilando información sobre
el tema de estudio de modo tal de profundizar en los aspectos teóricos del mismo.
Dentro de esta fase se considerarán las siguientes actividades:
1. Estudio de conceptos claves: considera el estudio en profundidad de todo el
marco conceptual de las teorías asociadas con el cálculo de la raíz de una
matriz en términos de: sus bases conceptuales, su algoritmo de resolución,
casos de excepción, entre otros aspectos.
22

Marco Metodológico Fases Metodológicas
2. Determinar los elementos a considerar en el diseño de los algoritmos
computarizados.
3.4.2. Fase II: Diseñar
Esta fase considera el diseño de un software orientado al cálculo de la raíz de una
matriz. Para ello se ejecutarán las siguientes actividades:
1. Diseño del software para el cálculo de la raíz de una matriz
a) Evaluar la herramienta a utilizar para desarrollar el software en
cuestión.
b) Diseño general de los algoritmos a considerar en el software.
c) Programación del software.
2. Ejecución de pruebas al software diseñado.
3.4.3. Fase III: Comparar
En esta fase se compararán los resultados numéricos en función al orden de
convergencia y tiempos de ejecución de los distintos algoritmos implementados
para obtener la raíz p-ésima de una matriz, algoritmos que fueron diseñados en la
fase anterior.
23

Capítulo 4
RESULTADOS
4.1. FASE I
En esta primera fase se realizó una revisión teórica de los distintos métodos para
el cálculo de la raíz p-ésima de una matriz, buscando sus principales ventajas y
desventajas en función al objetivo general planteado en el capítulo §1. De esta
forma, realizando un estudio comparativo de los distintos métodos que permiten
calcular la raíz de una matriz, se pretende establecer el método numérico que
permite obtenerla.
De esta forma, realizando un estudio comparativo de los distintos métodos que
permiten calcular la raíz p-ésima matriz, se pretende establecer cual es el método
numérico a seguir para calcular la raíz de una matriz simétrica positiva definida.
Entre los mismos, se encuentran:
Iteración clásica de Newton.
Iteración Alternativa Simplificada del Método de Newton.
Iteración Acoplada de Newton sin la presencia de A.
24

Resultados FASE II
4.2. FASE II
En función a los resultados obtenidos en la Fase I, se procedió a la implementación
de los algoritmos para calcular la raíz p-ésima de matrices simétricas positivas
definidas según las definiciones y algoritmos dados en el capítulo §2. Se busca
entonces idear iteraciones de Newton para el cálculo de la raíz p-ésima de una
matriz siguiendo la idea dada en [4].
A continuación se realiza una breve descripción de la plataforma computacional
empleada para el desarrollo y pruebas de los algoritmos desarrollados, así mismo
se muestran las técnicas iterativas estudiadas y desarrolladas en el trabajo.
4.2.1. Algoritmos Desarrollados
A continuación se presenta el desarrollo de las técnicas numéricas basada en los
resultados de la Fase I para resolver el problema F (X) ≡ X p − A = 0 siguiendo
los resultados y estudios obtenidos en la Fase I.
Siguiendo la teoría definida en el capítulo §2 se implementó el algoritmo clásico
de Newton para el cálculo de la raíz cuadrada que viene dado por las iteraciones
dadas en las ecuaciones (2.6a) y (2.6b), y el algoritmo clásico de Newton para el
cálculo de la raíz p-ésima de una matriz dada por las iteraciones definidas en las
ecuaciones (2.19a) y (2.19b).
Así mismo se implementó el algoritmo desarrollado en [4] que viene dado por las
iteraciones de la ecuación (2.14) que permiten calcular la raíz cuadrada de una
matriz simétrica positiva definida.
De forma similar, dado la inestabilidad que presenta el método de Newton por la
pre o post multiplicación de X por A, se implementó el algoritmo desarrollado en
[14] para el cálculo de la raíz p-ésima de una matriz, el cual viene dado por las
iteraciones dadas en la ecuación (2.22).
25

Resultados FASE II
Iteración de Punto Fijo Mejorado para la p-ésima raíz de una matriz
A continuación se muestran los algoritmos ideados con la técnica de Punto Fijo
bajo iteraciones de matrices, tomando como base los algoritmos presentados en el
capítulo §2.
En principio, se buscó generalizar el método presentado por [4] de modo de obtener
la raíz p-ésima de una matriz simétrica positiva definida. Para ello, se planteó que:
dado Y p = A con Y p = α p X p , al igual que [4] considerando que α > 0, mediante
algunas manipulaciones algebraicas, se sigue que:
α p X p = A ⇒ α p X p X 1−p = AX 1−p ⇒ α p X = AX 1−p
dividiendo en ambos lados de la ecuación por α p−1 se obtendría que:
⇒ α p α 1−p X = α 1−p AX 1−p ⇒ αX = α 1−p AX 1−p ⇒ αX
p = A(αp−1X p−1 ) −1
p
igualando a cero y sumando αX en ambos lados de la ecuación se obtiene que:
⇒ αX = αX − αX
p + A(αp−1X p−1 ) −1
p
generando así el siguiente esquema iterativo:
p − 1
⇒ αX = α X +
p
1
p A α p−1 X p−1−1 αk+1Xk+1 = 1
αk (p − 1) Xk + α
p
1−p
k AX1−p
k
(4.1)
donde el valor de αk es definido en cada iteración como se muestra en [4], y se
puede mostrar que para p > 2 quedaría definido de la siguiente manera:
26

Resultados FASE II
αk+1 = p
traza(A)
X p/2
k 2 F
De las definiciones anteriores se genera el siguiente algoritmo:
Algoritmo 1: (IASMN Generalizado)
Dado X0 = I
Para k = 0, 1, 2, . . .
traza(A)
αk+1 = p
X p/2
k 2 F
αk (p − 1) Xk + α 1−p AX 1−p
k
Xk+1 = 1
p
Calcular el error para Xk+1
Fin_Para
Continuando con la técnica de Punto Fijo, se ideó un algoritmo tomando en
consideración el hecho de que p = 2n por lo tanto se tiene que Y p se puede
reescribir como Y n Y n y tomando en cuenta la simetría de Y se puede escribir que
(Y n ) T Y n = A, por lo tanto Y n = α n X n
Mediante algunas manipulaciones algebraicas se tiene que:
(Y n ) T Y n = A ⇒ (α n X n ) T α n X n = A ⇒ (α n X n ) −T (α n X n ) T (α n X n ) = (α n X n ) −T A
De esta última expresión, se puede observar que (α n X n ) −T (α n X n ) T = I y por lo
tanto
⇒ α n X n = (α n X n ) −T A ⇒ α n X 1−n X n = X 1−n (α n X n ) −T A
dividiendo en ambos lados de la ecuación por p = 2n se obtendría que:
⇒ αnX 2n = (Xn−1 ) −1
(α
2n
n X n ) −T A
igualando a cero y sumando αX en ambos lados de la ecuación se obtiene que:
⇒ αX = αX − αnX 2n + (Xn−1 ) −1
(α
2n
n X n ) −T A
27

Resultados FASE II
Reacomodando los términos se llega al esquema de Punto Fijo
⇒ αX = 1
n−1 −n n−1 −1 n −T
α(2n − α )X + α (X ) (X ) A
2n
generando así el siguiente esquema iterativo:
Yk+1 = αk+1Xk+1 = 1
2n
αk(2n − α n−1
k )Xk + α −n
k (Xn−1
k
) −1 (X n k ) −T A
(4.2)
donde el valor de αk, al igual que en el algoritmo 1, viene dado por la siguiente
expresión.
α 2n
k+1 = traza(A)
Xn k 2 F
Dado que αk tiende a 1 como se muestra en [4], se realiza un escalamiento de
la ecuación (4.2), el nuevo iterado es dividido entre al valor de αk actual. De las
definiciones anteriores se genera el siguiente algoritmo:
Algoritmo 2: (Punto Fijo)
Dado X0 = I
Para k = 0, 1, 2, . . .
traza(A)
αk+1 = p
Yk+1 = 1
2n
X n k 2 F
Xk+1 = Yk+1/αk+1
αk(2n − α n−1
k )Xk + α −n
Calcular el error para Yk+1
Fin_Para
k (Xn−1
k
) −1 (X n k ) −T A
El siguiente esquema iterativo está basado en la ecuación (4.2), obviando el
escalamiento realizado en el algoritmo 2, de esta manera el algoritmo 2 se reescribe
como sigue:
28

Resultados FASE II
Algoritmo 3: (Punto Fijo Modificado)
Dado X0 = I
Para k = 0, 1, 2, . . .
traza(A)
αk+1 = p
X n k 2 F
Xk+1 = 1
αk(2n − α
2n
n−1
k )Xk + α −n
Calcular el error para Xk+1
Fin_Para
k (Xn−1
k
) −1 (X n k ) −T A
Tomando en cuenta la consideración realizada por [14], donde la inestabilidad
del Método de Newton viene dada por la pre o post multiplicación de A, se
reescribieron las iteraciones definidas en la ecuación (4.1). Recordemos que el
esquema iterativo para solventar el problema de Y p = A viene dado por:
Yk+1 = 1
p
αk(p − 1)Yk + α 1−p
k
AY 1−p
k
Tomando en cuenta que A conmuta con Yk la iteración se puede escribir como
sigue:
Definiendo Nk = AY −p
k
Yk+1 = Yk
p
se sigue que:
Yk+1 = Yk
p
dado que Nk+1 = AY −p
k+1 y conocido Yk+1
αk(p − 1)I + α 1−p
k
AY −p
k
αk(p − 1)I + α 1−p
k Nk
Yk
Nk+1 = A αk(p − 1)I + α
p
1−p
k Nk
−p 29

Resultados FASE II
la cual se puede simplificar tomando en cuenta la definición de Nk, quedando que:
Nk+1 =
1
αk(p − 1)I + α
p
1−p
k Nk
−p Nk
De esta manera se sigue el siguiente esquema iterativo, el cual evita la
manipulación directa del producto de A con Y .
Y0 = I, N0 = A
Yk+1 = Yk
Nk+1 =
αk(p − 1)I + α 1−p
k Nk
p
αk(p − 1)I + α 1−p
k Nk
−p
p
Nk
⎫
⎪⎬
⎪⎭
k = 0, 1, 2, . . . (4.3)
donde el valor de αk, al igual que en el algoritmo 1, viene dado por la siguiente
exporesión
αk+1 = p
traza(A)
X p/2
k 2 F
De las definiciones anteriores se obtiene el siguiente algoritmo:
Algoritmo 4: (Iannazzo Modificado)
Dado Y0 = I, N0 = A
Para k = 0, 1, 2, . . .
traza(A)
αk+1 = p
Xn k 2 F
αk(p − 1)I + α 1−p
k Nk
Z =
Yk+1 = YkZ
Nk+1 = Z −p Nk
Calcular el error para Yk+1
Fin_Para
p
30

Resultados FASE III
Los códigos de los algoritmos implementados se pueden ver en el apéndice B y el
codigo desarrollado que invoca a los algoritmos descritos los podemos hallar en el
apéndice A.
4.3. FASE III
En esta última fase, se muestran los resultados obtenidos luego de haber
implementados los algoritmos necesarios para calcular la raíz p-ésima, resultados
obtenidos en la Fase II. Se llevaron a cabo las pruebas sobre un grupo de matrices
de prueba que permitan verificar los resultados obtenidos en las fases previas, y
así poder realizar la comparación de los resultados obtenidos entre los distintos
métodos, tanto para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz como para el
cálculo de la raíz p-ésima.
El criterio de parada establecido en cada método viene definido por el error
relativo R(X) = Xp − AF /AF , donde AF es la norma Frobenius de A y
viene definida como AF = ( n i,j=1 a2i,j) 1/2 . Los algoritmos desarrollados fueron
comparados con la función rootm encontrada en [19], esta función implementa el
algoritmo de Smith [10].
4.3.1. Plataforma Computacional
Los códigos fueron desarrollados y probados en el entorno computacional
MATLAB 7 (R2009a) bajo el sistema operativo Linux en un máquina cuyo
procesador es un INTEL CORE 2 DUO 3GHz con 1GB de memoria principal.
4.3.2. Resultados Numéricos
Para las pruebas realizadas en este trabajo se emplearon un conjunto de matrices
provenientes del Matrix Computation Toolbox [19], en especial matrices simétricas
positivas definidas con distintos valores de n y p, donde n es el orden de la matriz
y p indica el índice de la raíz a obtener.
31

Resultados FASE III
Para cada tipo de prueba se han elegido ejemplos característicos que permitan
determinar, por un lado, la precisión de los algoritmos implementados y, por otro
lado determinar la eficiencia de los mismos.
Para cada algoritmo implementado se obtuvieron resultados de número de
iteraciones vs error y de manera similar tiempo vs error, de esta manera se puede
observar como el error disminuye por iteración y el tiempo que toma cada iteración
obtener la solución planteada y como disminuye el error.
Raíz Cuadrada
Inicialmente se compararon las iteraciones definidas en las ecuaciones (2.19b) y
(2.13) con los algoritmos 2 y 3, con el objetivo de determinar la eficiencia de estos
métodos de Punto Fijo para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz. El código
principal que invoca a estos 4 métodos se puede ver en el apéndice A. El iterado
inicial viene por la matriz X0 = mI con m > 0 como se muestra en [1, 4] y para
observar el comportamiento de los distintos métodos la tolerancia a medir para el
criterio de parada viene dada por el valor 10 −16 y con un número máximo de 40
iteraciones.
Para la primera prueba realizada en este experimento se utilizó la matriz de
Poisson, la cual es una matriz tridiagonal por bloques con diagonales constantes,
proviene de la discretización a cinco puntos del problema de Dirichlet homogéneo
y es una matriz bien condicionada.
Los resultados obtenidos se muestran en las figuras 4.1(a) y 4.1(b). De acuerdo con
los residuales obtenidos todos los métodos proporcionan muy buena exactitud en
el resultado, a excepción del método de Newton clásico que pierde la estabilidad.
Con el objetivo de determinar el comportamiento de los métodos implementados,
la segunda prueba se realizó empleando la matriz de Hilbert, la cual es un ejemplo
clásico de matrices mal condicionadas. Los elementos de la matriz de Hilbert
vienen dados por la siguiente relación:
Hi,j =
1
i + j − 1
32
i, j = 1, 2, . . . , n

Resultados FASE III
Newton
IASMN
PF
PF Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN
PF
PF Modificado
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.1: Comparación del error para √ A con A matriz de Poisson 225 × 225
Los resultados obtenidos se muestran en las figuras 4.2(a) y 4.2(b). Como se puede
observar el método de Newton clásico fracasa en alcanzar la convergencia mucho
antes que el método IASMN [4], y por los métodos propuestos en este trabajo.
Dada la característica de la matriz de Hilbert con respecto a su condicionamiento
33

Resultados FASE III
Newton
IASMN
PF
PF Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
1 1.5 2 2.5 3 3.5
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Newton
IASMN
PF
PF Modificado
Figura 4.2: Comparación del error para √ A con A matriz de Hilbert 15 × 15
a medida que n es grande, se realizó una tercera prueba con un valor de n mayor,
los resultados obtenidos se pueden observar en las figuras 4.3(a) y 4.3(b).
34
x 10 −3

Resultados FASE III
Newton
IASMN
PF
PF Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN
PF
PF Modificado
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.3: Comparación del error para √ A con A matriz de Hilbert 100 × 100
Raíz p-ésima
Para las siguientes pruebas se emplearon los algoritmos 1, 2 y 3 con el objetivo
de determinar el comportamiento de tales esquemas. El algoritmo 1 es una
generalización del algoritmo IASMN desarrollado en [4] para la obtención de la
35

Resultados FASE III
raíz p-ésima de una matriz simétrica positiva definida.
IASMN Generalizado
PF Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
2 4 6 8 10
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
Figura 4.4: Comparación del error para 3√ A con A matriz de Poisson 225 × 225
El programa que invoca a los algoritmos 1, 2 y 3 junto con el algoritmo de Newton
Clásico lo podemos encontrar en el apéndice A. Como se puede observar en las
figuras 4.4(a) y 4.4(b), el algoritmo 1 presenta una mejor convergencia que los
métodos de Punto Fijo ideados al tratar de obtener la raíz cúbica de la matriz, lo
36

Resultados FASE III
mismo ocurre al observar las figuras 4.5(a) y 4.5(b).
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
4 6 8 10 12 14
x 10 −3
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.5: Comparación del error para 3√ A con A matriz de Hilbert 15 × 15
Con el objetivo de seguir estudiando el comportamiento de estos algoritmos, se
realizaron pruebas para valores de p mayores. En las figuras 4.6(a) y 4.6(b) se
observa dicho comportamiento para p = 5.
37

Resultados FASE III
IASMN Generalizado
PF Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
2 3 4 5 6 7
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.6: Comparación del error para 5√ A con A matriz de Poisson 225 × 225
Una tercera matriz de prueba fué seleccionada para estudiar el comportamiento
de los métodos anterios, esta es la matriz gcdmat, que es la matriz del más
grande común divisor. Para esta prueba se tomó como iterado inicial la matriz
X0 = I, en las figuras 4.7(a) y 4.7(b) se pueden observar como los métodos de
Punto Fijo ideados fracasan, sin embargo IASMN generalizado tiene un buen
38

Resultados FASE III
comportamiento.
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.7: Comparación del error para 10√ A con A matriz gcdmat 50 × 50
Sin embargo, si el iterado inicial es definido como X0 = 2I, se obtienen los
resultados mostrados en las figuras 4.8(a) y 4.8(b), se puede observar que ahora
los métodos de Punto Fijo tienen un mejor comportamiento.
39

Resultados FASE III
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.8: Comparación del error para 10√ A con A matriz gcdmat 50 × 50
Como se puede observar en las distintas pruebas realizadas, la generalización
realizada sobre el método IASMN (Algoritmo 1) presenta un buen
comportamiento, pero no llega a ser un método estable, siguiendo la idea
presentada en [14], el algoritmo 1 es reescrito evitando así el producto con la
matriz A, las figuras 4.9(a), 4.9(b), 4.10(a), 4.10(b), 4.11(a) y 4.11(b) muestran
40

Resultados FASE III
la estabilidad del algoritmo 4 comparado con los restantes algoritmos.
Newton
IASMN Generalizado
PF Modificado
Iannazzo
Iannazzo Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
Iannazzo
Iannazzo Modificado
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.9: Comparación del error para 10√ A con A matriz de Poisson 225 × 225
41

Resultados FASE III
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
Iannazzo
Iannazzo Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
Iannazzo
Iannazzo Modificado
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 −3
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.10: Comparación del error para 10√ A con A matriz de Hilbert 15 × 15
42

Resultados FASE III
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
Iannazzo
Iannazzo Modificado
10 15 20 25 30 35 40
Iteraciones
(a) Iteración vs Error
Newton
IASMN Generalizado
PF
PF Modificado
Iannazzo
Iannazzo Modificado
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Tiempo(s)
(b) Tiempo vs Error
Figura 4.11: Comparación del error para 10√ A con A matriz gcdmat 50 × 50
43

Resultados FASE III
En los siguientes cuadros se muestra comparativamente la técnica de Iannazo,
el método de Newton Mejorado Estable (Algoritmo 4) con la rutina rootm
desarrollado por [10], en estos cuadros se muestra para distintos valores de n
el residual obtenido y el tiempo de ejecución de CPU para distintas matrices de
prueba.
Cuadro 4.1: Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz de Poisson.
Iannazzo Newton Mejorado rootm
n = 25
n = 64
R(Xk)F 2,95 × 10 −14 4,29 × 10 −14 6,12 × 10 −14
CPU (s) 1,83 × 10 −1 2,08 × 10 −1 8,14 × 10 −1
R(Xk)F 5,39 × 10 −14 5,48 × 10 −14 9,69 × 10 −14
CPU (s) 1,34 × 10 +0 1,83 × 10 +0 6,60 × 10 +0
n = 100 R(Xk)F 6,41 × 10 −14 5,01 × 10 −14 1,18 × 10 −13
CPU (s) 4,29 × 10 +0 5,29 × 10 +0 1,98 × 10 +1
Cuadro 4.2: Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz de Hilbert.
Iannazzo Newton Mejorado rootm
n = 10
n = 25
n = 50
R(Xk)F 8,61 × 10 −14 4,02 × 10 −14 3,95 × 10 −14
CPU (s) 1,39 × 10 −2 1,76 × 10 −2 1,16 × 10 −1
R(Xk)F 3,36 × 10 −13 8,96 × 10 −14 5,77 × 10 −14
CPU (s) 4,62 × 10 −2 5,52 × 10 −2 4,58 × 10 +0
R(Xk)F 5,25 × 10 −13 7,49 × 10 −14 1,21 × 10 −13
CPU (s) 9,84 × 10 −2 1,24 × 10 −1 2,35 × 10 +1
n = 100 R(Xk)F 7,56 × 10 −13 1,51 × 10 −13 3,03 × 10 −14
CPU (s) 5,65 × 10 −1 7,10 × 10 −1 1,34 × 10 +2
Como se puede observar en los cuadros 4.1, 4.2 y 4.3, el método de Newton Clásico
escrito como establece Iannazzo y el método de Newton Mejorado (Algoritmo 4)
logran obtener buenos resultados en cuanto al residual y en tiempo, mientras que la
técnica de Smith, a pesar de que se obtiene buen resultado en cuanto al residual,
por ser un método de descomposición a medida que n es mayor, el tiempo de
ejecución se ve incrementado. En los cuadros 4.4 y 4.5, se mantiene la característica
anteriormente señalada en el algoritmo desarrollado y se puede observar como el
44

Resultados FASE III
Cuadro 4.3: Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz Prolate.
Iannazzo Newton Mejorado rootm
n = 10
n = 50
R(Xk)F 1,95 × 10 −14 1,54 × 10 −14 2,76 × 10 −14
CPU (s) 3,42 × 10 −2 3,01 × 10 −2 1,72 × 10 −1
R(Xk)F 1,46 × 10 −13 6,33 × 10 −14 8,37 × 10 −14
CPU (s) 1,38 × 10 −1 1,63 × 10 −1 2,41 × 10 +1
n = 100 R(Xk)F 1,78 × 10 −13 7,85 × 10 −14 7,79 × 10 −14
CPU (s) 5,55 × 10 −1 7,63 × 10 −1 1,38 × 10 +2
método de Newton clásico en su forma de Iannazzo fracasa a medida que n es
grande y el método de Smith conserva la característica mencionada previamente.
Cuadro 4.4: Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz gcdmat.
Iannazzo Newton Mejorado rootm
n = 10
n = 50
R(Xk)F 1,19 × 10 −10 2,20 × 10 −14 4,78 × 10 −14
CPU (s) 1,29 × 10 −2 2,66 × 10 −2 1,16 × 10 −1
R(Xk)F 1,29 × 10 +17 5,75 × 10 −14 8,37 × 10 −14
CPU (s) 9,71 × 10 −2 7,06 × 10 −1 3,64 × 10 +0
n = 100 R(Xk)F 1,94 × 10 +33 7,13 × 10 −14 1,22 × 10 −13
CPU (s) 5,14 × 10 −1 4,41 × 10 +0 1,99 × 10 +1
Cuadro 4.5: Rendimiento al calcular 54√ A con A matriz Toeppd.
Iannazzo Newton Mejorado rootm
n = 10
n = 50
R(Xk)F 1,63 × 10 −12 2,26 × 10 −14 3,91 × 10 −14
CPU (s) 3,11 × 10 −2 2,17 × 10 −2 1,15 × 10 −1
R(Xk)F NAN 4,67 × 10 −14 1,06 × 10 −13
CPU (s) −− 6,52 × 10 −1 3,65 × 10 +0
n = 100 R(Xk)F 3,41 × 10 +19 6,14 × 10 −14 1,46 × 10 −13
CPU (s) 5,69 × 10 −1 4,92 × 10 +0 2,01 × 10 +1
45

Capítulo 5
CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES
5.1. Conclusiones
En este trabajo se han presentado diversas técnicas numéricas basadas en el
método de Punto Fijo para el cálculo de la raíz p-ésima de una matriz simétrica
positiva definida. Los algoritmos fueron implementados en lenguaje MATLAB ,
y en este mismo ambiente se desarrollaron las diversas pruebas.
Para la generación de los algoritmos basados en la técnica de Punto Fijo se
emplearon las definiciones dadas para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz
mediante el método de Newton y el método IASMN. Para el cálculo de la raíz
p-ésima de una matriz se empleó el método de Newton en su formulación clásica
y su formulación estilo Iannazzo donde se evita el producto directo de Xk con
A, de esta manera se generalizó el método IASMN para el cálculo de la raíz pésima
y este mismo algoritmo se reescribió evitando el producto con A y se obtuvo
una versión estable de dicho método. Así mismo se obtuvieron otros dos métodos
mediante la técnica de Punto Fijo, partiendo del problema X p − A = 0.
Se realizó una comparación entre los distintos métodos ideados y los métodos
existentes con el objetivo de medir la eficiencia de los mismos, inicialmente se
comparó la eficiencia de los métodos de Punto Fijo y Punto Fijo Mejorado para el
46

Conclusiones y Recomendaciones Recomendaciones
cálculo de la raíz cuadrada de una matriz simétrica positiva definida, empleando
una matriz bien condicionada (matriz de Poisson) y una matriz mal condicionada
(matriz de Hilbert). Seguidamente, una vez obtenida la generalización del método
IASMN como un método de Punto Fijo, este se comparó en conjunto a los métodos
de Punto Fijo ideados y el método clásico de Newton. Como se muestra en las
distintas gráficas, los métodos de Punto Fijo poseen un buen comportamiento con
respecto a la convergencia. Así mismo se compararon las versiones estables tanto
de Newton como de Newton Mejorado con la rutina de MATLAB y como se
puede observar en los cuadros 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 y 4.5, se obtuvieron resultados
satisfactorios para los distintos métodos ideados.
5.2. Recomendaciones
En el desarrollo de la investigación se presentan diversos métodos de Punto Fijo
para el cálculo de la raíz p-ésima de una matriz simétrica positiva definida. Se
recomienda entonces:
Elaborar técnicas estables basadas en el método de Punto Fijo mejorado
presentado en este trabajo.
Desarrollar otras técnicas numéricas basadas en Punto Fijo para el cálculo
de la raíz p-ésima de una matriz real.
Desarrollar técnicas numéricas basadas en Punto Fijo para el cálculo de la
raíz p-ésima de una matriz compleja.
Estudiar la estabilidad de los algoritmos desarrollados en este trabajo.
Emplear los métodos de Punto Fijo ideados en este trabajo para la solución
de funciones de matrices donde se necesite realizar el cálculo de la raíz pésima
de una matriz simétrica positiva definida.
47

Apéndice A
Programas Principales
A continuación se muestran los códigos en MATLAB que realizan el llamado a
las distintas rutinas generadas en este trabajo. En la sección §A.1 se muestra la
función prueba3 donde se realiza el cálculo y comparación de la raíz cuadrada de
una matriz, en la sección §A.2 se muestra la función prueba4 donde se realiza el
cálculo y comparación de la raíz p-ésima de una matriz y finalmente en la sección
§A.3 se muestra la función prueba5 donde se realiza el cálculo y comparación de
la raíz p-ésima de una matriz en conjunto con el método de Iannazo y los métodos
propuestos en este trabajo.
A.1. Raíz Cuadrada de una Matriz
function prueba3(n,p,iter,tol)
%Calculo de la raiz cuadrada de A
format long
warning(’off’)
clc
disp(’Computing square root of a SPD Matrix’)
%matrices de prueba
A=full(gallery(’poisson’,n));
n=n^2
%A=hilb(n);%Si
%A = gallery(’gcdmat’,n);%Si

Programas Principales Programas Principales
disp(’Condicion de la matriz’)
rcond(A)
X0=eye(n); %iterado inicial
clear X1 err1 T1
disp(’ ’)
disp(’Newton begin’)
t1 = tic;
[X1,err1,T1]=p_raiz_mat(A,X0,iter,tol,p); %Newton Clasico
elapsed_time = toc(t1);
disp(’Newton ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err1));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err1(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 err2 T2
disp(’ ’)
disp(’Newton IASMN begin’)
t2 = tic;
[X2,err2,T2]=raiz_mat_2(A,X0,iter,tol); %IASMN
elapsed_time = toc(t2);
disp(’Newton IASMN ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err2));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err2(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 X3 err3 T3
disp(’ ’)
disp(’Pto Fijo XX begin’)
t3 = tic;
[X3,err3,T3]=p_raiz_mat_pf_3_1(A,X0,iter,tol,p);%Punto Fijo
elapsed_time = toc(t3);
disp(’Pto Fijo XX ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err3));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err3(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time)
clear X1 X2 X3 X4 err4 T4
disp(’ ’)
49

Programas Principales Programas Principales
disp(’Pto Fijo YY begin’)
t4 = tic;
[X4,err4,T4]=p_raiz_mat_pf_3(A,X0,iter,tol,p);%Punto Fijo Mejorado
elapsed_time = toc(t4);
disp(’Pto Fijo YY ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err4));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err4(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
semilogy([1:length(err1)],err1,’-*’,[1:length(err2)],err2,’-o’,...
[1:length(err3)],err3,’-+’,[1:length(err4)],err4,’-x’)
legend(’Newton’,’IASMN’,’PF’,’PF Mejorado’);
axis([0 iter tol 10^10])
xlabel(’Iteraciones’)
ylabel(’$\|R(X)\|_F$’,’Interpreter’,’LaTex’)
figure
semilogy(T1,err1,’-*’,T2,err2,’-o’,T3,err3,’-+’,T4,err4,’-x’)
legend(’Newton’,’IASMN’,’PF’,’PF Mejorado’);
axis([0 W+W/2 tol 10^2])
xlabel(’Tiempo(sg)’)
ylabel(’$\|R(X)\|_F$’,’Interpreter’,’LaTex’)
A.2. Raíz p-ésima de una Matriz
function prueba4(n,p,iter,tol)
format long
warning(’off’)
clc
%matrices de prueba
A=full(gallery(’poisson’,n));
n=n^2
%A=hilb(n);%Si
%A = gallery(’gcdmat’,n);%Si
disp(’Condicion de la matriz’)
50

Programas Principales Programas Principales
b=rcond(A)
X0=1*eye(n); %iterado inicial
clear X1 err1 T1
disp(’ ’)
disp(’Newton begin’)
t1 = tic;
[X1,err1,T1]=p_raiz_mat(A,X0,iter,tol,p); %Newton Clasico
elapsed_time = toc(t1);
disp(’Newton ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err1));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err1(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 err2 T2
disp(’ ’)
disp(’Newton Mejorado begin’)
t2 = tic;
[X2,err2,T2]=p_raiz_mat_2(A,X0,iter,tol,p); %Newton Mejorado
elapsed_time = toc(t2);
disp(’Newton Mejorado ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err2));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err2(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 X3 err3 T3
disp(’ ’)
disp(’Pto Fijo XX begin’)
t3 = tic;
[X3,err3,T3]=p_raiz_mat_pf_3_1(A,X0,iter,tol,p);%Punto Fijo
elapsed_time = toc(t3);
disp(’Pto Fijo XX ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err3));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err3(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time)
clear X1 X2 X3 X4 err4 T4
disp(’ ’)
disp(’Pto Fijo YY begin’)
t4 = tic;
51

Programas Principales Programas Principales
[X4,err4,T4]=p_raiz_mat_pf_3(A,X0,iter,tol,p);%Punto Fijo Mejorado
elapsed_time = toc(t4);
disp(’Pto Fijo YY ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err4));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err4(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
semilogy([1:length(err1)],err1,’-*’,[1:length(err2)],err2,’-o’,...
[1:length(err3)],err3,’-+’,[1:length(err4)],err4,’-s’,...
’linewidth’,2,’MarkerSize’,10)
h_legend=legend(’Newton’,’Newton Mejorado’,’PF’,’PF Mejorado’);
set(h_legend);
axis([0 iter tol 10^10])
h=gca;
set(h,’fontsize’,18);
xlabel(’Iteraciones’,’fontsize’,24)
ylabel(’$\|R(X)\|_F$’,’Interpreter’,’LaTex’,’fontsize’,24);
W=max([T1(end),T2(end),T3(end),T4(end)])
figure
semilogy(T1,err1,’-*’,T2,err2,’-o’,T3,err3,’-+’,T4,err4,’-s’,...
’linewidth’,2,’MarkerSize’,10)
h_legend=legend(’Newton’,’Newton Mejorado’,’PF’,’PF Mejorado’);
set(h_legend);
axis([0 W+W/2 tol 10^2])
h=gca;
set(h,’fontsize’,18);
xlabel(’Tiempo(s)’,’fontsize’,24)
ylabel(’$\|R(X)\|_F$’,’Interpreter’,’LaTex’,’fontsize’,24)
A.3. Raíz p-ésima Estable
function prueba5(n,p,iter,tol)
format long
warning(’off’)
clc
52

Programas Principales Programas Principales
%matrices de prueba
A=full(gallery(’poisson’,n));
n=n^2
%A=hilb(n);%Si
%A = gallery(’gcdmat’,n);%Si
disp(’Condicion de la matriz’)
rcond(A)
X0=1*eye(n); %iterado inicial
clear X1 err4 T4
disp(’ ’)
disp(’Newton begin’)
t1 = tic;
[X1,err1,T1]=p_raiz_mat(A,X0,iter,tol,p); %Newton Clasico
elapsed_time = toc(t1);
disp(’Newton ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err1));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err1(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 err2 T2
disp(’ ’)
disp(’Newton Mejorado begin’)
t2 = tic;
[X2,err2,T2]=p_raiz_mat_2(A,X0,iter,tol,p); %Newton Mejorado
elapsed_time = toc(t2);
disp(’Newton Mejorado ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err2));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err2(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 X3 err4 T4
disp(’ ’)
disp(’Pto Fijo XX begin’)
t3 = tic;
[X3,err3,T3]=p_raiz_mat_pf_3_1(A,X0,iter,tol,p);%Punto Fijo
elapsed_time = toc(t3);
disp(’Pto Fijo XX ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err3));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err3(end));
53

Programas Principales Programas Principales
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time)
clear X1 X2 X3 X4 err4 T4
disp(’ ’)
disp(’Pto Fijo YY begin’)
t4 = tic;
[X4,err4,T4]=p_raiz_mat_pf_3(A,X0,iter,tol,p);%Punto Fijo Mejorado
elapsed_time = toc(t4);
disp(’Pto Fijo YY ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err4));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err4(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 X3 X4 X5 err5 T5
disp(’ ’)
disp(’Newton (Iannazzo) begin’)
t5 = tic;
[X5,err5,T5]=p_raiz_mat_4(A,X0,iter,tol,p); %Newton Iannazzo
elapsed_time = toc(t5);
disp(’Newton (Iannazzo) ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err5));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err5(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 X3 X4 X6 err6 T6
disp(’ ’)
disp(’Iannazzo Modificado begin’)
t6 = tic;
[X6,err6,T6]=p_raiz_mat_3(A,X0,iter,tol,p); %Newton Mejorado Iannazzo
elapsed_time = toc (t6);
disp(’Iannazzo Modificado ready’)
fprintf(’Iteraciones: %d\n’,length(err6));
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err6(end));
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
clear X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 err74
disp(’ ’)
disp(’ROOTM begin’)
t7 = tic;
[X7,err7]=rootm(A,p); %Higham
elapsed_time = toc(t7);
54

Programas Principales Programas Principales
disp(’ROOTM ready’)
fprintf(’Residual:%.12e\n’,err7);
fprintf(’Tiempo de Ejecucion: %.12e\n’,elapsed_time);
semilogy([1:length(err1)],err1,’-*’,[1:length(err2)],err2,’-o’,...
[1:length(err3)],err3,’-+’,[1:length(err4)],err4,’-s’,...
[1:length(err5)],err5,’-d’,[1:length(err6)],err6,’-^’,...
’linewidth’,2,’MarkerSize’,10)
h_legend=legend(’Newton’,’Newton Mejorado’,’PF’,’PF Mejorado’,...
’Iannazzo’,’Iannazzo Modificado’);
set(h_legend,’fontsize’,24);
axis([0 iter tol 10^10])
h=gca;
set(h,’fontsize’,18);
xlabel(’Iteraciones’,’fontsize’,24)
ylabel(’$\|R(X)\|_F$’,’Interpreter’,’LaTex’,’fontsize’,24)
W=max([T1(end),T2(end),T3(end),T4(end),T5(end),T6(end)])
figure
semilogy(T1,err1,’-*’,T2,err2,’-o’,T3,err3,’-+’,T4,err4,’-s’,T5,err5,’-d’,...
T6,err6,’-^’,’linewidth’,2,’MarkerSize’,10)
h_legend=legend(’Newton’,’Newton Mejorado’,’PF’,’PF Mejorado’,...
’Iannazzo’,’Iannazzo Modificado’);
set(h_legend,’fontsize’,24);
axis([0 W+W/2 tol 10^2])
h=gca;
set(h,’fontsize’,18);
xlabel(’Tiempo(s)’,’fontsize’,24)
ylabel(’$\|R(X)\|_F$’,’Interpreter’,’LaTex’,’fontsize’,24)
55

Apéndice B
Rutinas Principales
En este apéndice se muestran los códigos en MATLAB de los distintos algoritmos
desarrollados en la sección §4.2.1, así como también las técnicas clásicas definidas
en la teoría como lo son el Método de Newton Clásico, el Método IASMN y el
Método de Newton según Iannazzo.
B.1. Newton Clásico
function [X,err,time] = p_raiz_mat(A,X0,iter,tol,p)
%Newton’s Method
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Entrada:
%A: matriz a obtener la raiz p-esima
%X0: matriz inicial de iteracion
%iter: numero maximo de iteraciones permitidas
%tol: tolerancia permitida para admitir solucion aproximada
% tal que X^{p}=A
%p: orden de la raiz a computar
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Salida:
%X: Solucion aproximada tal que X^{p}=A
%err: vector que almacena el error obtenido en cada iteracion
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Código de Matlab Código de Matlab
err = [];
tim = [];
X = [];
aux3 = 1/p;
aux4 = 1/norm(A,’fro’);
err(1) = norm(X0^p-A,’fro’)*aux4;
tim(1) = 0;
for k = 2:iter
tstart = tic;
D = inv((X0)^(p-1));
X = (aux3)*((p-1)*X0+A*D);%Formula clasica de Newton
tim(k) = tim(k-1) + toc(tstart);
err(k) = norm(X^p-A,’fro’)*aux4;%calculo del error
if (err(k)

Código de Matlab Código de Matlab
traza = trace(A);
aux4 = 1/norm(A,’fro’);
err(1) = norm(X0^2-A,’fro’)*aux4;
tim(1) = 0;
for k = 2:iter
tstart = tic;
alpha(k) = sqrt(traza)/norm(X0,’fro’);%parametro de aceleracion
D = inv((X0)’);
X = (1/2)*(alpha(k)*X0 + alpha(k)^-1*D*A);
tim(k) = tim(k-1) + toc(tstart);
err(k) = norm(X^2-A,’fro’)*aux4;%Calculo del error
if( err(k) < tol )
return
end
X0 = X;%Actualizacion del siguiente iterado
end
B.3. Newton Mejorado Generalizado
function [X,err,tim] = p_raiz_mat_2(A,X0,iter,tol,p)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Entrada:
%A: matriz a obtener la raiz p-esima, p par o impar
%X0: matriz inicial de iteracion
%iter: numero maximo de iteraciones permitidas
%tol: tolerancia permitida para admitir solucion aproximada
tal que X^{p}=A
%p: orden de la raiz a computar
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Salida:
%X: Solucion aproximada tal que X^{p}=A
%err: vector que almacena el error obtenido en cada iteracion
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
err=[];
X=[];
tim=[];
alpha=[];
traza=trace(A);
58

Código de Matlab Código de Matlab
aux3=1/p;
aux4=1/norm(A,’fro’);
n=p/2;
err(1)=norm(X0^p-A,’fro’)*aux4;
tim(1)=0;
for k=2:iter
tstart = tic;
%Calculo del parametro de aceleracion
alpha(k)=(traza/norm(X0^n,’fro’)^2)^(aux3);
%Formula clasica de Newton acelerada por alpha
X=(aux3)*(alpha(k)*(p-1)*X0 + A*(alpha(k)*X0’)^(1-p));
tim(k) = tim(k-1) + toc(tstart);
err(k)=norm(X^p-A,’fro’)*aux4;%Calculo del error
if(err(k)

Código de Matlab Código de Matlab
alpha=[];
n=p/2;
traza=trace(A);
aux3=1/p;
aux4=1/norm(A,’fro’);
err(1)=norm(X0^p-A,’fro’)*aux4;
tim(1)=0;
tstart = tic;
for k=2:iter
tstart = tic;
%Calculo del parametro de aceleracion
alpha(k)=(traza/norm(X0^n,’fro’)^2)^(aux3);
C=(X0)^(n-1);
B=inv(C);
aux1=(p-alpha(k)^(n-1))*alpha(k);
aux2=alpha(k)^(-n);
D=inv((C*X0)’);
%Formula de punto fijo acelerada por alpha
Y=aux3*(aux1*X0 + aux2*B*D*A);
X=Y/alpha(k);
tim(k) =tim(k-1)+ toc(tstart);
err(k)=norm(Y^p-A,’fro’)*aux4;%Calculo del error
if(err(k)

Código de Matlab Código de Matlab
%p: orden de la raiz a computar
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Salida:
%Y: Solucion aproximada tal que X^{p}=A
%err: vector que almacena el error obtenido en cada iteracion
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
err=[];
tim=[];
Y=[];
[m,m]=size(A);
Id=eye(m);
aux3=1/p;
aux4=1/norm(A,’fro’);
N=A;
err(1)=norm(Y0^p-A,’fro’)*aux4;
tim(1)=0;
for k=2:iter
tstart = tic;
Z=aux3*((p-1)*Id+N);
Y=Y0*Z;
N=inv(Z^p)*N;%Formula clasica de Newton Iannazzo
tim(k) =tim(k-1) + toc(tstart);
err(k)=norm(Y^p-A,’fro’)*aux4;%Calculo del error
if(err(k)

Código de Matlab Código de Matlab
% tal que X^{p}=A
%p: orden de la raiz a computar
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Salida:
%Y: Solucion aproximada tal que X^{p}=A
%err: vector que almacena el error obtenido en cada iteracion
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
err=[];
tim=[];
Y=[];
[m,m]=size(A);
Id=eye(m);
aux3=1/p;
aux4=1/norm(A,’fro’);
N=A;
err(1)=norm(Y0^p-A,’fro’)*aux4;
tim(1)=0;
for k=2:iter
tstart = tic;
Z=aux3*((p-1)*Id+N);
Y=Y0*Z;
N=inv(Z^p)*N;
tim(k) =tim(k-1) + toc(tstart);
err(k)=norm(Y^p-A,’fro’)*aux4;%Calculo del error
if(err(k)

Código de Matlab Código de Matlab
%tol: tolerancia permitida para admitir solucion aproximada
% tal que X^{p}=A
%p: orden de la raiz a computar
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Salida:
%Y: Solucion aproximada tal que X^{p}=A
%err: vector que almacena el error obtenido en cada iteracion
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
err=[];
tim=[];
Y=[];
[m,m]=size(A);
Id=eye(m);
traza=trace(A);
aux3=1/p;
aux4=1/norm(A,’fro’);
n=p/2;
N=A;
err(1)=norm(Y0^p-A,’fro’)*aux4;
tim(1)=0;
for k=2:iter
tstart = tic;
%Calculo del parametro de aceleracion
alpha(k)=(traza/norm(Y0^n,’fro’)^2)^(aux3);
Z=aux3*(alpha(k)*(p-1)*Id+alpha(k)^(1-p)*N);
Y=Y0*Z;
N=inv(Z^p)*N;%Formula clasica de Newton acelerada por alpha
tim(k) =tim(k-1) + toc(tstart);
err(k)=norm(Y^p-A,’fro’)*aux4;%Calculo del error
if(err(k)

Bibliografía
[1] N. J. Higham. Newton’s Method for the Matrix Square Root. Mathematics
of Computations, 46(174):537–549, 1986.
[2] D. A. Bini, N. J. Higham, and B. Meini. Algorithms for the matrix pth root.
Numerical Algorithms, 39(4):349–378, 2005.
[3] B. De Abreu, M. Monsalve, and M. Raydan. Specialized hybrid Newton
schemes for matrix pth roots. Appl. Math, 2(49):2401–2424, 2008.
[4] A. Mendoza and O. R. Gómez. Un método simplificado de Newton para
calcular la raíz cuadrada de una matriz real simétrica definida positiva.
Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño de
Ingeniería, 26:47–53, 2010.
[5] N. J. Higham and A. H. Al-Mohy. Computing Matrix Functions. Acta
Numerica, 19:159–208, 2010.
[6] N. J. Higham. Functions of Matrices: Theory and Computation. Society for
Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, 2008.
[7] A. Frommer and V. Simoncini. Matrix functions. Technical report, 2006.
[8] B. Iannazzo. A note on computing the matrix square root. Calcolo, 40(4):273–
283, 2003.
[9] Ç. K. Koç and M. İnceoğlu. A Parallel Algorithm for Principal nth Roots of
Matrices. Automatica, 33(9):1735–1738, 1997.
[10] M. Smith. A Schur Algorithm For Computing Matrix P th Roots. SIAM J.
Matrix Anal. Appl, 24(4):971–989, 2003.
[11] N. J. Higham. Computing real square roots of a real matrix. Linear Algebra
Appl, 88:405–430, 1987.
64

BIBLIOGRAFÍA
[12] C. Guo and N. J. Higham. A Schur–Newton Method for the Matrix pth
Root and its Inverse. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,
28(3):788–804, 2006.
[13] N. J. Higham. Stable Iterations For The Matrix Square Root. Numerical
Algorithms, 15:227–242, 1997.
[14] B. Iannazzo. On the Newton method for the matrix pth root. SIAM J. Matrix
Anal. Appl., 28(2):503–523, 2006.
[15] C.-H. Guo. On Newton’s method and Halley’s method for the principal pth
root of a matrix. Linear Algebra Appl., 432:1905–1922, 2009.
[16] S. H. Cheng, N. J. Higham, C. S. Kenney, and A. J. Laub. Approximating
the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy. SIAM J. Matrix Anal.
Appl., 22(4):1112–1125, 2001.
[17] R. Hernández, C. Fernández, and P. Baptista. Metodología de la
Investigación. Editorial Mc. Graw Hill, México, 1998.
[18] Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Manual de Trabajos de
Grado de Maestría y Tesis Doctorales. UPEL, Caracas, Venezuela, 1990.
[19] N. J. Higham. The Matrix Computation Toolbox. http://www.ma.man.ac.
uk/~higham/mctoolbox.
65