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Marco Teórico Raíz Cuadrada de una Matriz
2.2.2. Iteración de Newton Simplificada
Como se mencionó anteriormente, una simplificación de las iteraciones obtenidas
en la ecuación (2.3), es suponer la conmutación del producto entre Hk y Xk
generando las ecuaciones (2.6a) y (2.6b). Si A ∈ R n×n es una matriz simétrica
y positiva definida, la ecuación (1.2) se puede reescribir de la siguiente manera
tomando en cuenta que X = X T y por tanto X(X) = X T (X)
F (X) ≡ X T X − A = 0 (2.10)
Construyendo las iteraciones de Newton a partir de la ecuación (2.10), se tendría
que la ecuación (2.2) vendría definida como:
y la perturbación Hk viene definida como:
F ′ (X)H = X T H + H T X (2.11)
Hk = Xk+1 − Xk
(2.12)
De esta manera, combinando las ecuaciones (2.10), (2.11) y (2.12), se obtienen las
iteraciones de Newton dada en [4].
Dado X0 = αIn α > 0
X T k Hk + H T k Xk = A − X T k Xk
Xk+1 = Xk + Hk
para k = 0, 1, 2, . . .
(2.13)
El siguiente teorema, el cual está demostrado en [4], establece que las iteraciones
dadas por la ecuación (2.13) convergen de forma cuadrática a la raíz de A.
Teorema 2.1. Sea A ∈ R n×n una matriz real simétrica definida positiva, si X−X0
es lo suficientemente pequeño y la transformación lineal F ′ (X) es no singular
entonces las iteraciones {Xk} proporcionadas por la ecuación (2.13) convergen a
X cuando k → ∞.
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