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Marco Teórico Raíz p-ésima de una matriz
1
p
p−1
(p
− 1) −
r=1
donde λi son los autovalores de A.
λi
λj
r/p ≤ 1 1 ≤ i, j ≤ n (2.20)
La convergencia definida en el Teorema 2.3 puede fracasar en una aritmética
de presición finita, esto debido a que la iteración de Newton definida por las
ecuaciones (2.18), (2.19a) y (2.19b) son numéricamente inestables [10] a menos que
A esté extremadamente bien condicionada. De acuerdo con [14, 16] y en términos
de la definición 2.1, una iteración Xk+1 = f(Xk) es estable en un entorno de la
solución X = f(X), si el error Ek = Xk − X satisface la siguiente relación:
Ek+1 = L(Ek) + O(Ek 2 )
donde L es un operador lineal que tiene sus potencias acotadas, es decir, existe
constante c tal que para todo p > 0 y E arbitraria de norma unitaria, L p (E) ≤ c.
En otras palabras, esto significa que pequeñas perturbaciones introducidas en
algún paso no serán magnificadas en subsiguientes iteraciones.
Con el objetivo de estabilizar las iteraciones dadas en (2.19a) y (2.19b), se reescribe
la iteración de una forma más simétrica, empleando el hecho de que Xk conmuta
con A 1/p , se tendría que:
Xk+1 = 1
(p − 1) Xk + A
p
1/p X −1
k A1/pX −1
k · · · A 1/p X −1
k A1/p
= 1
p
(p − 1)Xk + A 1/p X −1
k
p−1 A 1/p
(2.21)
esta iteración es estable, como se muestra en [6], sin embargo, se busca reescribir
la iteración de modo que no involucre el cálculo de A1/p . Como se mencionó en
la sección §2.2.1, la inestabilidad es debida a la multiplicación de A en alguno
de los lados de X −1
k , introduciendo una nueva variable Nk = AX −p
k y tomando
como valores iniciales X0 = I y N0 = A, se puede probar que cada Xk, Nk y A
conmutan con el resto [14]. De esta manera se obtiene la siguiente variante a la
iteración dada en la ecuación (2.21):
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