Funciones lineales

Funciones lineales
5A Características de las
funciones lineales
5-1 Cómo identificar funciones lineales
5-2 Cómo usar la intersección
5-3 Tasa de cambio y pendiente
Laboratorio Explorar cambios constantes
5-4 La fórmula de la pendiente
5-5 Variación directa
5B Usar funciones lineales
5-6 Forma de pendiente-intersección
5-7 Forma de punto y pendiente
Laboratorio Representar gráficamente
funciones lineales
5-8 Pendientes de líneas paralelas
y perpendiculares
Laboratorio La familia de las
funciones lineales
5-9 Transformación de funciones lineales
Extensión Funciones de valor absoluto
CLAVE: MA7 ChProj
El Lone Star One es
un avión que fue
diseñado en honor al
estado de Texas.
292 Capítulo 5

Voca
la io
Elige el término de la izquierda que corresponde a cada definición de la derecha.
coeficiente
cambio en el tamaño o posición de una figura
plano cartesiano
que forma ángulos rectos
transformación
sistema bidimensional formado por la intersección de una recta
numérica horizontal y una recta numérica vertical
perpendicular
D par ordenado de números que da la ubicación de un punto
E número multiplicado por una variable
ae ode ado
Representa gráficamente cada punto en el mismo plano cartesiano.
A (2, 5) B (-1, -3) C (-5, 2) D (4, -4)
E (-2, 0) F (0, 3) G (8, 7) H (-8, -7)
Halla a a ia le
Resuelve cada ecuación para la variable indicada.
2x + y = 8; y
5y = 5x - 10; y
2y = 6x - 8; y 10x + 25 = 5y; y
E al a exp e io e
Evalúa cada expresión para el valor dado de la variable.
4g - 3; g =-2 8p - 12; p = 4
4x + 8; x =-2 -5t - 15; t = 1
o ec a el ál e a la pala a
El valor inicial de una acción es $0.05 y aumenta $0.01 cada mes. Escribe una ecuación que
represente el valor de la acción v en cada mes m.
Escribe una situación que se pueda representar con la ecuación b = 100 - s.
Taa aa iaia
Halla cada tasa unitaria.
322 millas con 14 galones de gas $14.25 por 3 libras de fiambre
32 gramos de grasa en 4 porciones 120 fotos en 5 carretes de película
Funciones lineales 293

Vocabulario/Key Vocabulary
Conexiones de vocabulario
constante de variación
familia de funciones
función lineal
intersección con el eje x
intersección con el eje y
líneas paralelas
líneas perpendiculares
transformación
variación directa
constant of variation
family of functions
linear function
x-intercept
y-intercept
parallel lines
perpendicular lines
transformation
direct variation
Considera lo siguiente para familiarizarte con
algunos de los términos de vocabulario del
capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario
o un diccionario si lo deseas.
¿Qué forma tiene la gráfica de una función
lineal en un plano cartesiano
El significado de intersección es similar
al significado de cruce. ¿Qué crees que
significa intersección con el eje x
Pendiente es una palabra que se usa en
la vida diaria y en las matemáticas. ¿Qué
entiendes por pendiente
Una familia es un grupo de personas
emparentadas. Usa este concepto para definir
una familia de funciones.
Álgebra I TEKS
A.1.D a e de la cio e * representar las
relaciones ... usando modelos, tablas,
gráficas, diagramas, descripciones con
palabras, ecuaciones ...
A.5.C cio e li eale * usar, convertir
y relacionar... descripciones ... de las
funciones lineales
A.6.A cio e li eale * desarrollar ...
pendiente como una tasa de cambio
y determinar pendientes ...
A.6.B cio e li eale * interpretar el significado
de la pendiente y de las intersecciones
en determinadas situaciones usando datos,
gráficas o representaciones simbólicas
A.6.C cio e li eale * investigar, describir
y predecir los efectos que producen los
cambios en m y b en la gráfica de
y = mx + b
A.6.D cio e li eale * representar
gráficamente y escribir ecuaciones de
líneas ... a partir de ... dos puntos, un punto
y una pendiente o una pendiente
y la intersección con el eje y
A.6.E cio e li eale * determinar las
intersecciones ... de las funciones lineales ...
A.6.G cio e li eale * relacionar la variación
directa con las funciones lineales
Lecc.
5-1
Lecc.
5-2
Lecc.
5-3
5-3
Lab
de
Álg
Lecc.
5-4
Lecc.
5-5
Lecc.
5-6
Lecc.
5-7
5-7
Lab
de
Téc
Les.
5-8
5-9
Lab
de
Téc
Les.
5-9 Ext.
★ ★ ★ ★
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
★ ★ ★ ★ ★
★ ★ ★ ★
★
★
★ ★ ★
★
★
294 Capítulo 5
* Los conocimientos y destrezas están descritos en detalle en las páginas TX28 a TX35.

Estrategia de estudio: Usa representaciones múltiples
Representar un concepto matemático de más de una forma puede ayudarte a entenderlo
mejor. A medida que leas las explicaciones y problemas de ejemplo de tu libro de texto,
observa el uso de tablas, listas, gráficas, diagramas y símbolos, así como las palabras que
explican un concepto.
De la Lección 4-4:
En este ejemplo del Capítulo 4, la función dada se describe mediante una ecuación, una
tabla, pares ordenados y una gráfica.
gráficamente
Ecuación
genera
puntos
Tabla
Gráfica
Pares ordenados
n Dibuja
Inténtalo
Si un empleado gana $8.00 por hora, y = 8x da el salario total y que ganará el
empleado por trabajar x horas. Para esta ecuación, haz una tabla de pares ordenados
y una gráfica. Explica las relaciones entre la ecuación, la tabla y la gráfica. ¿De qué
manera describe la situación cada una de ellas
¿En qué situaciones una representación sería más útil que otra
Funciones lineales 295

5-1 Cómo identificar funciones lineales
TEKS A.5.C Funciones lineales: utilizar, convertir y relacionar descripciones
algebraicas, tabulares, gráficas o descripciones con palabras de funciones lineales
Objetivos
Identificar funciones
lineales y ecuaciones
lineales
Representar gráficamente
funciones lineales que
representan situaciones
del mundo real y dar su
dominio y rango
Vocabulario
función lineal
ecuación lineal
Ver también A.1.A, A.1.B,
A.1.E, A.3.A, A.3.B, A.4.A,
A.5.B, A.7.A
¿Para qué sirve
Las funciones lineales describen muchas
situaciones del mundo real, como distancias
que se recorren a velocidad constante.
La mayoría de las personas creen que no
existe un límite de velocidad en las autopistas
alemanas. Sin embargo, muchos tramos
tienen una velocidad máxima de 120 km/h.
Si un automóvil viaja continuamente a esa
velocidad, y = 120x da la cantidad de kilómetros
y que recorrerá el automóvil en x horas. Las
soluciones se muestran en la gráfica.
En la gráfica se representa una función porque
cada valor del dominio (valor de x) concuerda
exactamente con un valor del rango (valor de y).
La función cuya representación gráfica forma
una línea recta es una función lineal.
Di a cia ( m)
500
400
300
200
100
Distancia recorrida
0
(3, 360)
(2, 240)
(1, 120)
(4, 480)
1 2 3 4 5
Tiempo (h)
EJEMPLO 1 Identificar una función lineal por su gráfica
Identifica si cada gráfica representa una función. Explica. Si la gráfica
efectivamente representa una función, ¿esa función es lineal
A
B
C
Cada valor dominio
concuerda exactamente
con un valor rango. La
gráfica forma
una línea.
función lineal
Cada valor dominio
concuerda exactamente
con un valor rango. La
gráfica no es una línea.
No es una
función lineal.
El único valor
dominio, 3, concuerda
con muchos valores
diferentes rango.
No es una función.
1a.
Identifica si cada gráfica representa una función. Explica. Si la
gráfica efectivamente representa una función, ¿esa función
es lineal
1b.
1c.
296 Capítulo 5 Funciones lineales

A veces, es posible identificar una función lineal mediante una tabla o una
lista de pares ordenados. En una función lineal, un cambio constante en x es
correspondiente con un cambio constante en y.
x
y
x
y
Si hallas un cambio
constante en
los valores de y,
comprueba si hay un
cambio constante en
los valores de x. Ambos
valores deben ser
constantes para que la
función sea lineal.
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
-2 7
-1 4
0 1
1 -2
2 -5
- 3
- 3
- 3
- 3
En esta tabla, un cambio constante
de +1 en x es correspondiente con un
cambio constante de -3 en y. Estos
puntos satisfacen una función lineal.
Los puntos de esta tabla
están sobre una línea.
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
-2 6
-1 3
0 2
1 3
2 6
- 3
- 1
+ 1
+ 3
En esta tabla, un cambio constante de
+1 en x no es correspondiente con un
cambio constante en y. Estos puntos no
satisfacen una función lineal.
Los puntos de esta tabla no están
sobre una línea.
EJEMPLO 2 Identificar una función lineal usando pares ordenados
Indica si cada conjunto de pares ordenados satisface una función lineal. Explica.
A ⎨
⎧ ⎩ (2, 4) , (5, 3) , (8, 2) , (11, 1) ⎬
⎫ ⎭
+ 3
+ 3
+ 3
x
y
2 4
5 3
8 2
11 1
- 1
- 1
- 1
Escribe los pares ordenados en una
tabla. Busca un patrón.
Un cambio constante de +3 en x es
correspondiente con un cambio
constante de -1 en y.
Estos puntos satisfacen una
función lineal.
B ⎨
⎧ ⎩ (-10, 10) , (-5, 4) , (0, 2) , (5, 0) ⎬
⎫ ⎭
+ 5
+ 5
+ 5
x
y
-10 10
-5 4
0 2
5 0
- 6
- 2
- 2
Escribe los pares ordenados en una
tabla. Busca un patrón.
Un cambio constante de +5 en x
es correspondiente con cambios
distintos en y.
Estos puntos no satisfacen una
función lineal.
⎧ 2. Indica si el conjunto de pares ordenados ⎨ (3, 5) , (5, 4) , (7, 3) ,
⎩
(9, 2) , (11, 1) ⎬
⎫ satisface una función lineal. Explica.
⎭
5-1 Cómo identificar funciones lineales 297

Otra manera de determinar si una función es lineal es observar su ecuación. Una
función es lineal si se describe mediante una ecuación lineal. Una ecuación lineal
es cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma estándar que se muestra
a continuación.
Forma estándar de una ecuación lineal
Ax + By = C donde A, B y C son números reales y A y B no son 0
Observa que cuando una ecuación lineal está escrita en forma estándar
• x e y tienen exponente 1.
• x e y no se multiplican juntos.
• x e y no aparecen en denominadores, exponentes ni signos de radicales.
Li eal
No li eal
3x + 2y = 10
Forma estándar
3xy + x = 1
x e y se multiplican.
y - 2 = 3x
-y = 5x
Se puede escribir como:
3x - y = -2
Se puede escribir como:
5x + y = 0
x 3 + y =-1
x + 6 _
y
= 12
x tiene un exponente
distinto de 1.
y está en un
denominador.
Para dos puntos cualesquiera, siempre existe una línea que contiene a ambos. Esto
significa que necesitas sólo dos pares ordenados para representar gráficamente
una línea.
EJEMPLO 3 Representar gráficamente funciones lineales
• y - x = y + (-x)
• y + (- x) = - x + y
• -x = - x
• y = 1y
Indica si cada función es lineal. Si es así, representa gráficamente la función.
A y = x + 3
y = x + 3 Escribe la ecuación en forma estándar.
- x - x Resta x de ambos lados.
−−− −−−−−
y - x = 3
-x + y = 3 La ecuación está en forma estándar (A = -1, B = 1, C = 3).
Como la ecuación se puede escribir en forma estándar, la función es lineal.
Para representar gráficamente, elige tres valores
de x y genera pares ordenados. (Sólo necesitas
dos, pero si representas gráficamente tres
puntos, haces una buena comprobación).
Marca los puntos
y conéctalos con
una línea recta.
Para más información
sobre representaciones
de funciones lineales,
consulta Modelos
de función en la
página xxiv.
B y = x 2
x y = x + (x, y)
y = + 3 = ( , )
y = + 3 = ( , )
y = + 3 = ( , )
Esta ecuación no es lineal porque x tiene un exponente distinto de 1.
Indica si cada función es lineal. Si es así, representa gráficamente
la función.
3a. y = 5x - 9 3b. y = 12 3c. y = 2 x
298 Capítulo 5 Funciones lineales

Para las funciones lineales cuyas gráficas no sean horizontales, el dominio y el rango
serán todos los números reales. Sin embargo, en muchas situaciones del mundo real, el
dominio y el rango deben restringirse. Por ejemplo, algunas cantidades no pueden ser
negativas, como el tiempo.
A veces, el dominio y el rango se restringen aún más a un conjunto de puntos. Por
ejemplo, una cantidad de personas sólo puede ser un número cabal. En este caso, la
gráfica no está realmente conectada porque no todos los puntos sobre la línea son
una solución. Sin embargo, es posible que encuentres estas gráficas conectadas para
indicar que el patrón lineal, o tendencia, continúa.
EJEMPLO 4 Aplicación a la profesión
Sue alquila un puesto de manicura en un salón de belleza y paga al dueño $5.50
por cada manicura. La cantidad que Sue paga cada día es el resultado de f(x)
= 5.50x, donde x es la cantidad de manicuras. Representa gráficamente esta
función y da su dominio y rango.
Elige varios valores de x y haz
una tabla de pares ordenados. Representa gráficamente los pares ordenados.
x f (x) = x
a o del al
ile
f (x) = y; por lo
tanto, en el Ejemplo
4, representa
gráficamente los
valores de la función
(variable dependiente)
en el eje y.
f ( ) = 5.50 ( ) = 0
f ( ) = 5.50 ( ) = 5.50
f ( ) = 5.50 ( ) = 11.00
f ( ) = 5.50 ( ) = 16.50
f ( ) = 5.50 ( ) = 22.00
f ( ) = 5.50 ( ) = 27.50
a o del al ile ($)
La cantidad de manicuras debe
ser un número cabal; por lo
tanto, el dominio es {0, 1, 2, 3, …}.
El rango es {0, 5.50, 11.00, 16.50, …}.
30
25
20
15
10
5
0
(5, 27.50)
(4, 22.00)
(3, 16.50)
(2, 11.00)
(1, 5.50)
(0, 0)
2 4 6 8
a ic a
Los puntos
individuales son
soluciones en
esta situación.
La línea indica
que la tendencia
continúa.
4. ¿Y si... En otro salón de belleza, Sue puede alquilar un puesto
por $10.00 por día más $3.00 por cada manicura. La cantidad
que debería pagar por día es el resultado de f (x) = 3x + 10,
donde x es la cantidad de manicuras. Representa gráficamente
esta función y da su dominio y rango.
RAZONAR Y COMENTAR
1. Supongamos que te dan cinco pares ordenados que satisfacen una función.
Cuando los representas gráficamente, cuatro están en una línea recta pero
el quinto, no. ¿Es lineal la función ¿Por qué sí o por qué no
2. En el Ejemplo 4, ¿por qué no es cada punto que está sobre la línea
una solución
3. ORGANÍZATE Copia y
completa el organizador
ómo de e mi a i a ció e li eal
gráfico. En cada recuadro,
describe cómo se usa la
Por su Por su Por una lista de
información para identificar una
gráfica ecuación pares ordenados
función lineal. Incluye un ejemplo.
5-1 Cómo identificar funciones lineales 299

5-1
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 2 a 4, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6, 8 a10
CLAVE: MA7 5-1
PRÁCTICA GUIADA
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
Vocabulario La ecuación lineal 3x - 2 = y, ¿está expresada en forma estándar Explica.
VER EJEMPLO 1
pág. 296
Identifica si cada gráfica representa una función. Explica. Si la gráfica representa
efectivamente una función, ¿es una función lineal
VER EJEMPLO 2
pág. 297
VER EJEMPLO 3
pág. 298
VER EJEMPLO 4
pág. 299
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
15–17 1
18–20 2
21–24 3
25 4
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S12
Práctica de aplicación
pág. S32
Indica si los pares ordenados satisfacen una función lineal. Explica.
x 5 4 3 2 1
y 0 2 4 6 8
⎧
⎨
⎩ (0, 5) , (-2, 3) , (-4, 1) , (-6, -1), (-8, -3) ⎬
⎫
⎧
⎭
⎨
⎩ (2, -2), (-1, 0) , (-4, 1) , (-7, 3) , (-10, 6) ⎬
⎫ ⎭
x 1 4 9 16 25
y 1 2 3 4 5
Indica si cada función es lineal. Si es así, representa gráficamente la función.
x
2x + 3y = 5 2y = 8 _
2 + 3
= y
x_
5
5 = _ y 3
Transporte Un tren viaja a una velocidad constante de 75 mi/h. La función
f (x) = 75x da la distancia que el tren recorre en x horas. Representa gráficamente esta
función y da su dominio y rango.
Entretenimiento Una tienda de alquiler de películas cobra una cuota de socio de $6.00
más $2.50 por película. La función f (x) = 2.50x + 6 da el costo del alquiler de x películas.
Representa gráficamente esta función y da su dominio y rango.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Identifica si cada gráfica representa una función. Explica. Si efectivamente representa
una función, ¿es una función lineal
Indica si los pares ordenados satisfacen una función lineal. Explica.
x -3 0 3 6 9
y -2 -1 0 2 4
⎧
⎨
⎩ (3, 4) , (0, 2) , (-3, 0) , (-6, -2), (-9, -4) ⎬
⎫ ⎭
x -1 0 1 2 3
y -3 -2 -1 0 1
300 Capítulo 5 Funciones lineales

Indica si cada función es lineal. Si es así, representa gráficamente la función.
y = 5 4y - 2x = 0
3_
x
+ 4y = 10 5 + 3y = 8
Transporte El tanque de gasolina del automóvil de Tony tiene capacidad para 15
galones. El automóvil puede recorrer 25 millas con un galón de gasolina. Cuando Tony
parte con el tanque lleno, la función f (x) =- __ 1 x + 15 da la cantidad de gasolina f(x) que
25
quedará en el tanque luego de recorrer x millas (sin cargar más gasolina). Representa
gráficamente esta función y da su dominio y rango.
Indica si los pares ordenados satisfacen una función. Si es así, ¿es ésta una función lineal
⎧
⎨
⎩ (2, 5) , (2, 4) , (2, 3) , (2, 2) , (2, 1) ⎬
⎫ ⎭
x -10 -6 -2 2 4
y 0 0.25 0.50 0.75 1
⎧ ⎨
⎩ (-8, 2) , (-6, 0) , (-4, -2), (-2, -4), (0, -6)⎫ ⎬
⎭
x -5 -1 3 7 11
y 1 1 1 1 1
Indica si cada ecuación es lineal. Si es así, escribe la ecuación en forma estándar e indica
los valores de A, B y C.
2x - 8y = 16 y = 4x + 2 2x = _ y 3 - 4 4_
x
= y
_ x + 4
= _ y - 4
x = 7 xy = 6 3x - 5 + y = 2y - 4
2 3
y =-x + 2 5x = 2y - 3 2y = -6 y = √ x
Representa gráficamente cada función lineal.
y = 3x + 7 y = x + 25 y = 8 - x y = 2x
-2y =-3x + 6 y - x = 4 y - 2x =- 3 x = 5 + y
Medición Una pulgada es igual a aproximadamente 2.5 centímetros. Sea x las pulgadas
e y los centímetros. Escribe una ecuación en forma estándar que relacione x e y. Da los
valores de A, B y C.
Salarios Molly gana $8.00 por hora de trabajo.
a Sea x la cantidad de horas que trabaja Molly. Escribe una función usando x y f (x)
para describir la paga de Molly por x horas de trabajo.
Representa gráficamente la función y da su dominio y rango.
Escríbelo Para y = 2x - 1, haz una tabla de pares ordenados y una gráfica. Describe las
relaciones entre la ecuación, la tabla y la gráfica.
Razonamiento crítico Describe una situación del mundo real que se pueda
representar con una función lineal que tenga dominio y rango limitados. Escribe tu
función y da su dominio y rango.
Este problema te ayudará a resolver la Preparación
de varios pasos para TAKS de la página 332.
a Juan corre en una cinta de andar. En la tabla
se muestra la cantidad de calorías que Juan
quema en función del tiempo que corre.
Explica cómo puedes indicar con la tabla
que esta relación es lineal.
Crea una gráfica con los datos.
c ¿Cómo sabes por la gráfica que la relación es lineal
Tiempo (mi ) alo ía
3 27
6 54
9 81
12 108
15 135
18 162
21 189
5-1 Cómo identificar funciones lineales 301

Ciencias físicas Se lanza una pelota de una
altura de 100 metros. En la tabla se indica la altura
de la pelota en metros desde el suelo a diferentes
tiempos luego de la caída. ¿Los pares ordenados
satisfacen una función lineal Explica.
Tiempo ( ) 0 1 2 3
l a (m) 100 90.2 60.8 11.8
Razonamiento crítico ¿Es la ecuación x = 9 una ecuación lineal ¿Describe una
función lineal Explica.
¿Qué función NO es una función lineal
y = 8x y = x + 8 y = _ 8 y = 8 - x
x
La velocidad del sonido en el aire a 0 o es aproximadamente 331 pies por segundo.
¿Qué función se podría usar para describir la distancia en pies d que viajará el sonido en
el aire en s segundos
d = s + 331 d = 331s s = 331d s = 331 - d
Respuesta desarrollada Escribe tu propia función lineal. Demuestra que es una
función lineal al menos de tres maneras. Explica las conexiones que veas entre tus
tres métodos.
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
¿Qué ecuación describe el eje x ¿Y el eje y ¿Estas ecuaciones representan
funciones lineales
Geometría Copia y completa las siguientes tablas. Luego, indica si en la tabla se
muestra una relación lineal.
Perímetro de
un cuadrado
Área de
un cuadrado
Volumen de
un cubo
Lo i d
del lado
eíme
o
Lo i d
del lado
Áea
Lo i d
del lado
Vol me
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
REPASO EN ESPIRAL
Simplifica cada expresión. (Lección 1-4)
8 2 (-1) 3 (-4) 4 _
( 3) 1 Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta. (Lección 2-4)
6m + 5 = 3m - 4 2(t - 4) = 3 - (3t + 1) 9y + 5 - 2y = 2y + 5 - y + 3
Halla el valor de x en cada diagrama. (Lección 2-7)
△ABC ∼△DEF
ABCD ∼ QRST
A
5 pies
C B
3 pies
F
x pies
E
D
15 pies
302 Capítulo 5 Funciones lineales

5-2
Cómo usar la
intersección
TEKS A.6.E Funciones lineales: determinar las intersecciones … de las funciones
lineales … de gráficas, tablas y representaciones algebraicas
Objetivos
Hallar las intersecciones
con el eje x y con el eje y
e interpretar sus
significados en situaciones
del mundo real
Usar las intersecciones
con el eje x y con el
eje y para representar
líneas gráficamente
¿Quién lo usa
Los buzos usan las intersecciones para
determinar el tiempo que tardarán en
realizar un ascenso seguro.
Un buzo exploró el fondo del océano a 120 pies
de la superficie y luego subió a una velocidad de
30 pies por minuto. En la gráfica se muestra la
elevación del buzo por debajo del nivel del mar
durante el ascenso.
Ele ació (pie )
La intersección con el eje x
es 4. Representa el tiempo
que tarda el buzo en llegar
a la superficie o cuando la
profundidad es = 0.
-15
-30
-45
-60
-75
-90
-105
-120
-125
1
2
(0, -120)
3 4 5
(4, 0)
Vocabulario
intersección con el eje x
intersección con el eje y
Ver también A.2.C,
A.3.A, A.4.A, A.5.C, A.6.B
La intersección con el eje y es la coordenada y
del punto en el que la gráfica se interseca con el
eje y. La coordenada x de este punto es siempre 0.
La intersección con el eje x es la coordenada x
del punto en el que la gráfica se interseca con el
eje x. La coordenada y de este punto es siempre 0.
Tiempo (mi )
La intersección con el eje y
es -120. Representa la
elevación del buzo al
comienzo del ascenso,
cuando el tiempo = 0.
EJEMPLO 1 Hallar intersecciones
Halla las intersecciones con el eje x y con el eje y.
A
La gráfica se interseca con el eje y en (0, -3).
La intersección con el eje y es -3.
La gráfica se interseca con el eje x en (-4, 0).
La intersección con el eje x es -4.
B 3x - 2y = 12
Para hallar la intersección con el Para hallar la intersección con el eje y,
eje x, reemplaza y por 0 y halla x. reemplaza x por 0 y halla y.
3x - 2y = 12 3x - 2y = 12
3x - 2 (0) = 12 3 (0) - 2y = 12
3x - 0 = 12 0 - 2y = 12
3x = 12 -2y = 12
_ 3x
3 = _ 12
3
_-2y
-2 = _ 12
-2
x = 4 y =-6
La intersección con el eje x es 4. La intersección con el eje y es -6.
Halla las intersecciones con el eje x y con el eje y.
1a.
1b. -3x + 5y = 30
1c. 4x + 2y = 16
5-2 Cómo usar la intersección 303

Cómo hallar intersecciones
Uso el método de “tapar” para hallar las intersecciones. Para usar este método,
asegúrate primero de que la ecuación esté en forma estándar.
Si tengo 4x - 3y = 12:
Madison Stewart
Escuela Superior
Jefferson
Primero, tapo 4x con el dedo y resuelvo
la ecuación que veo.
- 3y = 12
y = -4
La intersección con el eje y es -4.
Luego, tapo -3y con el dedo y
hago lo mismo.
4x =12
x = 3
La intersección con el eje x es 3.
EJEMPLO 2 Aplicación a los viajes
El teleférico del Pico Sandía, en
Albuquerque, Nuevo México, recorre
una distancia de aproximadamente
4500 metros hasta la cima del Pico
Sandía. Viaja a una velocidad de
300 metros por minuto. La función
f(x) = 4500 - 300x da la distancia del
teleférico en metros desde la cima del
pico después de x minutos. Representa
gráficamente esta función y halla las
intersecciones. ¿Qué representa
cada intersección
Ni el tiempo ni la distancia pueden ser
negativos; por lo tanto, elige varios
valores no negativos para x. Usa la
función para generar pares ordenados.
x 0 2 5 10 15
f(x) = - x 4500 3900 3000 1500 0
Representa gráficamente los pares ordenados. Conecta los puntos con una línea.
La gráfica no es el
trayecto del teleférico.
Aunque la línea es
descendente, en la
gráfica se describe
la distancia desde la
cima a medida que
el teleférico sube
la montaña.
Di a cia de de el pico (m)
Tele é ico del ico a día
4000
3000
2000
1000
0
4 8 12
Tiempo (mi )
• intersección con el eje y: 4500.
Esta es la distancia inicial desde
la cima (tiempo = 0).
• intersección con el eje x: 15.
Este es el momento en el que
el teleférico llega a la cima
(distancia = 0).
2. La tienda de la escuela vende plumas a $2.00 y cuadernos a
$3.00. La ecuación 2x + 3y = 60 describe la cantidad de plumas
x y de cuadernos y que puedes comprar con $60.
a. Representa gráficamente la función y halla sus intersecciones.
b. ¿Qué representa cada intersección
304 Capítulo 5 Funciones lineales

Recuerda que para representar gráficamente una función lineal debes trazar sólo
dos pares ordenados. Generalmente, es más fácil hallar los pares ordenados que
contienen a las intersecciones.
EJEMPLO 3 Usar intersecciones para representar gráficamente
ecuaciones lineales
Puedes usar un tercer
punto para comprobar
tu línea. Puedes elegir
un punto de tu gráfica
y comprobarla en la
ecuación o crear un
punto con la ecuación
y comprobar que esté
en tu gráfica.
Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por
cada ecuación.
A 2x - 4y = 8
Paso 1 Halla las intersecciones.
intersección intersección
con el eje x: con el eje y:
2x - 4y = 8 2x - 4y = 8
2x - 4 (0) = 8 2 (0) - 4y = 8
2x = 8 -4y = 8
B
_ 2x
2 = _ 8 2
2_
3 y = 4 - 1_ 2 x
_-4y
-4 = 8_
-4
x = 4 y =-2
Paso 1 Escribe la ecuación en forma estándar.
6 (
2_
3 y ) = 6 ( 4 - 1 _
4y = 24 - 3x
3x + 4y = 24
Paso 2 Representa
gráficamente la línea.
Traza (4, 0) y (0, -2).
Conecta con una línea recta.
2 x ) Multiplica ambos lados por 6, el mcd de las
fracciones, para despejar las fracciones.
Escribe la ecuación en forma estándar.
Paso 2 Halla las intersecciones.
Paso 3 Representa
gráficamente la línea.
intersección intersección Traza (8, 0) y (0, 6). Conecta
con el eje x: con el eje y:
con una línea recta.
3x + 4y = 24 3x + 4y = 24
3x + 4 (0) = 24 3 (0) + 4y = 24
3x = 24 4y = 24
_ 3x
3 = _ 24 _ 4y
3
4 = _ 24
4
x = 8 y = 6
Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea
descrita por cada ecuación.
3a. -3x + 4y =-12 3b. y = 1 _
3 x - 2
RAZONAR Y COMENTAR
1. Una función tiene una intersección con el eje x 4 y una intersección con el
eje y 2. Menciona dos puntos de la gráfica de esta función.
2. ¿Cuál es la intersección con el eje y de 2.304x + y = 4.318 ¿Cuál es la
intersección con el eje x de x - 92.4920y =-21.5489
3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico.
ep e e a á icame e Ax + By = C a do i e eccio e
1. Halla la intersección con el
eje x por medio de _____.
2. Halla la intersección con el
eje y por medio de _____.
3. Representa gráficamente la
línea por medio de _____.
5-2 Cómo usar la intersección 305

5-2
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 1, 3
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6, 8 a 10
CLAVE: MA7 5-2
PRÁCTICA GUIADA
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
Vocabulario La es la coordenada y del punto en el que una gráfica cruza el
eje y. (intersección con el eje x o intersección con el eje y)
VER EJEMPLO 1
pág. 303
Halla las intersecciones con el eje x y con el eje y.
2x - 4y = 4 -2y = 3x - 6 4y + 5x = 2y - 3x + 16
VER EJEMPLO 2
pág. 304
VER EJEMPLO 3
pág. 305
Biología Para descongelar una muestra almacenada a -25° C, se aumenta la
temperatura del tanque de refrigeración 5° C cada hora. La función f (x) =-25 + 5x
describe la temperatura en el tanque luego de x horas.
a Representa gráficamente la función y halla sus intersecciones.
¿Qué representa cada una de las intersecciones
Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por cada ecuación.
4x - 5y = 20 y = 2x + 4
1_
3 x - _ 1 y = 2 -5y + 2x =-10
4
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Práctica independiente Halla las intersecciones con el eje x y con el eje y.
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
13–21 1
22–23 2
24–29 3
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S12
Práctica de aplicación
pág. S32
6x + 3y = 12 4y - 8 = 2x -2y + x = 2y - 8
4x + y = 8 y - 3x =-15 2x + y = 10x - 1
Ciencias ambientales En un lago hay una población de 300 lubinas. Cada año, la
población disminuye en 25. La función f (x) = 300 - 25x representa la población de
lubinas en el lago despues de x años.
a
Representa gráficamente la función y halla sus intersecciones.
¿Qué representa cada intersección
Deportes Julie participa en una carrera de 5 kilómetros. Corrió 1 kilómetro cada
5 minutos. La función f (x) = 5 - 1__ x representa la distancia entre Julie y la línea de
5
llegada luego de x minutos.
a Representa gráficamente la función y halla sus intersecciones.
¿Qué representa cada intersección
306 Capítulo 5 Funciones lineales

Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por cada ecuación.
4x - 6y = 12 2x + 3y = 18
1_
2 x - 4y = 4
y - x =-1 5x + 3y = 15 x - 3y =-1
Biología
El bambú es la planta
leñosa que más rápido
crece en todo el mundo.
Algunas variedades crecen
más de 30 centímetros por
día y llegan a 40 metros
de altura.
Biología Una planta de bambú crece un pie por día. La altura de la planta la primera
vez que la mides es 4 pies..
a Describe con una ecuación la altura y, en pies, de la planta de bambú x días después
de medirla por primera vez.
¿Qué es la intersección con el eje y
c ¿Qué significa la intersección con el eje y en este problema
Estimación Observa el diagrama de
dispersión y la línea de tendencia.
a Estima las intersecciones con el eje x y
con el eje y.
¿Qué significa cada intersección en
el mundo real
Finanzas personales Un empleado bancario
revisa una cuenta corriente abandonada que
tiene un saldo de $412. Si el banco cobra
$4 mensuales por mantener la cuenta,
la función b = 412 - 4m muestra el saldo b
en la cuenta después de m meses.
a
c
Bosques tropicales
Á ea m dial
(millo e de ac e )
8
7
6
5
4
3
2
1
0
100 200 300 400 500 600
ño de de
Representa gráficamente la función y da su dominio y rango. (Pista: el banco sigue
cobrando el cargo mensual aunque no haya dinero en la cuenta).
Halla las intersecciones. ¿Qué representa cada intersección
¿Cuándo será 0 el saldo de la cuenta bancaria
Razonamiento crítico Completa los siguientes ejercicios para aprender sobre
intersecciones y líneas horizontales y verticales.
a Representa gráficamente x =-6, x = 1 y x = 5. Halla las intersecciones.
Representa gráficamente y =-3, y = 2 e y = 7. Halla las intersecciones.
c Escribe una regla en la que se describan las intersecciones de las funciones cuyas
gráficas sean líneas horizontales y verticales.
Relaciona cada ecuación con una gráfica.
-2x - y = 4 y = 4 - 2x 2y + 4x = 8 4x - 2y = 8
D
5-2 Cómo usar la intersección 307

Este problema te ayudará a resolver la Preparación de
varios pasos para TAKS de la página 332.
Kristyn anduvo en la bicleta fija en el gimnasio.
Programó el reloj para 20 minutos. El visor contaba
hacia atrás para mostrar cuánto tiempo de ejercicio
le quedaba. También indicaba las millas que
había recorrido.
a ¿Cuáles son las intersecciones
¿Qué representan las interseciones
Tiempo
e a e
(mi )
Di a cia
eco ida
(mi)
20 0
16 0.35
12 0.70
8 1.05
4 1.40
0 1.75
Escríbelo Escribe un problema del mundo real que se pueda representar con una función
lineal en la que la intersección con el eje x sea 5 y la intersección con el eje y sea 60.
¿Cuál es la intersección con el eje x de -2x = 9y - 18
-9 -2 2 9
¿Cuál de las siguientes situaciones podría representarse
con la gráfica
Jamie le debía $200 a su tío. Le pagó $5 por semana
durante 40 semanas.
Jamie le debía $200 a su tío. Le pagó $40 por semana
durante 5 semanas.
Jamie le debía $40 a su tío. Le pagó $200 por semana
durante 5 semanas.
Jamie le debía $40 a su tío. Le pagó $5 por semana
durante 200 semanas.
De da ($)
Deuda de Jaime
Tiempo ( ema a )
0 10 20 30
-40
-80
-120
-160
-200
Respuesta gráfica ¿Cuál es la intersección con el eje y de 60x + 55y = 660
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por cada ecuación.
1_
2 x + _ 1 5 y = 1 0.5x - 0.2y = 0.75 y = _ 3 8 x + 6
En cualquier ecuación lineal Ax + By = C, ¿cuáles son las intersecciones
Halla las intersecciones de 22x - 380y = 20,900. Explica cómo usar las intersecciones
para determinar escalas adecuadas para la gráfica.
REPASO EN ESPIRAL
La pecera de Marlon tiene un 80% de agua. Basándote
en las mediciones que se muestran, ¿qué volumen de la
pecera NO tiene agua (Lección 2-8)
10 pulg
15 pulg
308 Capítulo 5 Funciones lineales
Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente
las soluciones. (Lección 3-3)
3c > 12
-4 ≥ t _
2
1_ m ≥-3 -2w > 14
2
Indica si los pares ordenados satisfacen una función lineal. Explica. (Lección 5-1)
⎧ ⎨
⎩ (-2, 0) , (0, 3) , (2, 6) , (4, 9) , (6, 12) ⎫ ⎬
⎭
20 pulg
⎧
⎨
⎩ (0, 0) , (1, 1) , (4, 2) , (9, 3) , (16, 4) ⎫ ⎬
⎭

El área en el
plano cartesiano
Geometría
Las líneas del plano cartesiano forman los lados de los polígonos.
Puedes usar los puntos que están sobre estas líneas para hallar las
áreas de estos polígonos.
Ejemplo
Ver Banco de destrezas,
página S61
Halla el área de los triángulos que forman el eje x, el eje y y la línea
descrita por 3x + 2y = 18.
Paso 1 Halla las intersecciones de 3x + 2y = 18.
intersección intersección
con el eje x: con el eje y:
3x + 2y = 18 3x + 2y = 18
3x + 2(0) = 18 3(0) + 2y = 18
3x = 18 2y = 18
x = 6 y = 9
Paso 2 Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea.
La intersección con el eje x es 6; por lo tanto, marca (6, 0).
La intersección con el eje y es 9; por lo tanto, marca (0, 9).
Conecta con una línea recta. Luego, sombrea el
triángulo que forman la línea y los ejes, como se describe.
9 unidades
Paso 3 Recuerda que el área de un triángulo está dada por A = 1__
2 bh.
• La longitud de la base es 6.
• La altura es 9.
Paso 4 Sustituye estos valores en la fórmula.
A = 1 _
2 bh
8
6
4
2
0
y
(0, 9)
(6, 0)
2 4 6 8
6 unidades
x
A = _ 1 (6)(9) Sustituye en la fórmula del área.
2
= _ 1 (54) Simplifica.
2
= 27
El área del triángulo es 27 unidades cuadradas.
Inténtalo
TAKS Grado 8, Obj. 3
Grados 9 a 11, Obj. 3, 6 a 8
Halla el área del triángulo que forman el eje x, el eje y y la línea descrita
por 3x + 2y = 12.
Halla el área del triángulo que forman el eje x, el eje y y la línea descrita
por y = 6 - x.
Halla el área del polígono que forman el eje x, el eje y, la línea descrita
por y = 6 y la línea descrita por x = 4.
Rumbo a TAKS 309

5-3
Tasa de cambio
y pendiente
TEKS A.6.A Funciones lineales: desarrollar los conceptos de pendiente como una tasa de
cambio y determinar pendientes a partir de gráficas, tablas y representaciones algebraicas
Objetivos
Hallar tasas de cambio
y pendientes
Relacionar una tasa de
cambio constante con la
pendiente de una línea
Vocabulario
tasa de cambio
distancia vertical
distancia horizontal
pendiente
Ver también A.1.D.,
A.3.A, A.5.C, A.6.B
¿Para qué sirve
Las tasas de cambio se pueden usar para hallar
con qué rapidez han aumentado los costos.
En 1985, el costo de envío de una carta de 1 onza era
22 centavos. En 1988, el costo era 25 centavos. ¿Cuánto
cambió el costo desde 1985 a 1988 Es decir, ¿a qué
tasa cambió el costo
Una tasa de cambio es una razón que compara
cuánto cambió una variable dependiente respecto
de cuánto cambió una variable independiente.
cambio en la variable dependiente
tasa de cambio = ____
cambio en la variable independiente
Stamp Designs: ©2007, United States Postal Service. Displayed with permission.
All rights reserved. Written authorization from the Postal Service is required to
use, reproduce, post, transmit, distribute, or publicly display these images.
EJEMPLO 1 Aplicación para el consumidor
En la tabla se muestra el costo de envío de una carta de 1 onza en
distintos años. Halla la tasa de cambio del costo en cada intervalo.
¿Durante qué intervalo el costo aumentó a la tasa más alta
ño 1985 1988 1990 1991 2004
o o (¢) 22 25 25 29 37
Una tasa de cambio
de 1 centavo por año
durante un periodo de
3 años significa que el
cambio promedio fue
1 centavo por año. El
cambio real en cada
año puede haber
sido diferente.
Paso 1 Identifica las variables independientes y dependientes.
dependiente: costo independiente: año
Paso 2 Halla las tasas de cambio.
1985 a 1988
1988 a 1990
1990 a 1991
1991 a 2004
__
cambio en el costo
cambio en los años = __
25 - 22
1988 - 1985 = _ 3 3 = 1 _ 1 centavo
año
__
cambio en el costo
cambio en los años = __
25 - 25
1990 - 1988 = _ 0 2 = 0 __
0 centavos
año
__
cambio en el costo
cambio en los años = __
29 - 25
1991 - 1990 = _ 4 1 = 4 __
4 centavos
año
__
cambio en el costo
cambio en los años = __
37 - 29
2004 - 1991 = _ 8
13
El costo aumentó a la tasa más alta entre 1990 y 1991.
__ 8
13
de centavo
__
año
1. En la tabla se muestra el saldo de una cuenta bancaria en
distintos días del mes. Halla la tasa de cambio durante cada
intervalo de tiempo. ¿Durante qué intervalo el saldo disminuyó
a la tasa más alta
Día 1 6 16 22 30
aldo ($) 550 285 210 210 175
310 Capítulo 5 Funciones lineales

EJEMPLO 2 Hallar tasas de cambio a partir de una gráfica
Representa gráficamente los datos del Ejemplo 1 y muestra las tasas de cambio.
o o ($)
40
30
20
0
o o de a eo
+
+
+
+
+
+
1985 1990 1995 2000
ño
Representa gráficamente los pares
ordenados. Los segmentos azules
verticales muestran los cambios en la
variable dependiente y los segmentos
verdes horizontales muestran los
cambios en la variable independiente.
Observa que la mayor tasa de cambio está
representada por el segmento de recta
rojo con la inclinación más pronunciada.
También observa que entre 1988 y 1990,
intervalo en el cual el costo no cambió,
el segmento de recta rojo es horizontal.
2. Representa gráficamente los datos del Problema 1 de
Compruébalo y muestra las tasas de cambio.
Si todos los segmentos conectados tienen la misma tasa de cambio, entonces todos
tienen la misma inclinación y juntos forman una línea recta. La tasa de cambio
constante de una línea es la pendiente de la línea.
Pendiente de una línea
La di a cia e ical es la diferencia en los alo e y
de dos puntos sobre una línea.
La di a cia ho i o al es la diferencia en los
alo e x de dos puntos sobre una línea.
La pe die e de una línea es la razón de la distancia
vertical a la distancia horizontal para dos puntos
cualesquiera de __
la línea.
di a cia e ical
pendiente = =
__
cam io e y
di a cia ho i o al cam io e x
(Recuerda que y es la a ia le depe die e y
x es la a ia le i depe die e).
Distancia
= 3
vertical
y
-6
Distancia
= 3
vertical
Distancia
horizontal = 2
Distancia
= 3
vertical
0
Distancia
horizontal = 2
Pendiente = _
2 4 6
x
EJEMPLO 3 Hallar una pendiente
Halla la pendiente de la línea.
Presta atención a las
escalas de los ejes.
Un cuadrado de la
cuadrícula puede no
representar 1 unidad.
En el Ejemplo 3, cada
cuadrado representa
1__
2 unidad.
3
Distancia
horizontal = 2
(1, 1)
1
0
y
Distancia
horizontal = 1
(2, 3)
Distancia
= -2
vertical
Distancia
= -1 x
vertical
1 2 3 4
Comienza en un punto y
cuenta verticalmente para
hallar la distancia vertical.
Luego cuenta
horizontalmente hacia el
segundo punto para hallar
la distancia horizontal.
No importa por qué punto
empieces. La pendiente es
la misma.
2_ pendiente =
1 = 2
_ pendiente = -2
-1 = 2
3. Halla la pendiente de la línea que contiene (0, -3) y (5, -5) .
5-3 Tasa de cambio y pendiente 311

EJEMPLO 4 Hallar las pendientes de líneas horizontales y verticales
Halla la pendiente de cada línea.
A
B
__
distancia vertical
distancia horizontal = _ 0 4 = 0 __
distancia vertical
distancia horizontal = _ 2 No puedes
0 dividir entre 0.
La pendiente es 0.
La pendiente es indefinida.
Halla la pendiente de cada línea.
4a.
4b.
Como se muestra en los ejemplos anteriores, la pendiente puede ser positiva,
negativa, cero o indefinida. Con sólo mirar la gráfica de una línea puedes decir qué
tipo de pendiente es: no necesitas calcularla.
e die e po i i a e die e e a i a e die e ce o e die e i de i ida
La línea sube de
izquierda a derecha.
La línea baja de
izquierda a derecha.
Línea
horizontal
Línea vertical
EJEMPLO 5 Describir una pendiente
Indica si la pendiente de cada línea es positiva, negativa, cero o indefinida.
A
B
La línea baja de izquierda
La línea es horizontal.
a derecha.
La pendiente es negativa. La pendiente es 0.
312 Capítulo 5 Funciones lineales

Indica si la pendiente de cada línea es positiva, negativa, cero
o indefinida.
5a. 5b.
Recuerda que la pendiente de una línea es su inclinación. Algunas líneas son más
pronunciadas que otras. A medida que el valor absoluto de la pendiente aumenta,
la línea se hace más pronunciada. A medida que el valor absoluto de la pendiente
disminuye, la línea se hace menos pronunciada.
Cómo comparar pendientes
1_ 4
pendiente =
2
y
4
y
pendiente =-1
4
pendiente = -3
y
2
-4 -2 0
-2
pendiente = 4
x
2 4
2
pendiente = -2
-4 -2
2
x
4
2
-4 -2
-2
2
4
x
-4
pendiente = 3_ 4
La línea con pendiente
es más pronunciada que
la línea con pendiente __ .
⎪ ⎥ > ⎪
_
2 ⎥
La línea con pendiente -
es más pronunciada que
la línea con pendiente - .
⎪- ⎥ > ⎪- ⎥
La línea con pendiente -
es más pronunciada que
la línea con pendiente __ .
⎪- ⎥ > ⎪
_
4 ⎥
RAZONAR Y COMENTAR
1. ¿Cuál es la distancia vertical que se muestra en
la gráfica ¿Cuál es la distancia horizontal ¿Cuál
es la pendiente
2. La tasa de cambio de las ganancias de una
compañía durante un año es negativa. ¿Cómo
han variado las ganancias de la compañía
durante el año
3. ¿Qué preferirías: subir una cuesta con una
pendiente de 4 o de 5__ Explica tu respuesta.
2
4. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro,
traza una línea cuya pendiente coincida con la descripción dada.
e die
e
Positiva Negativa Cero Indefinida
5-3 Tasa de cambio y pendiente 313

5-3
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6, 10
CLAVE: MA7 5-3
PRÁCTICA GUIADA
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
Vocabulario La pendiente de cualquier línea no vertical es . (positiva o constante)
VER EJEMPLO 1
pág. 310
En la tabla se muestra el volumen de gasolina de un tanque a distintas horas.
Halla la tasa de cambio de cada intervalo. Durante qué intervalo el volumen
disminuyó a la tasa más alta
Tiempo (h) 0 1 3 6 7
Vol me ( al) 12 9 5 1 1
VER EJEMPLO 2
pág. 311
En la tabla se muestra el ritmo cardíaco de una persona durante cierto tiempo.
Representa gráficamente los datos y muestra las tasas de cambio.
Tiempo (mi ) 0 2 5 7 10
i mo ca díaco (la ido /mi ) 64 92 146 84 64
VER EJEMPLO 3
pág. 311
Halla la pendiente de cada línea.
VER EJEMPLO 4
pág. 312
VER EJEMPLO 5
pág. 312
Indica si la pendiente de cada línea es positiva, negativa, cero o indefinida.
314 Capítulo 5 Funciones lineales

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
12 1
13 2
14–15 3
16–17 4
18–19 5
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S12
Práctica de aplicación
pág. S32
En la tabla se muestra la longitud de un bebé a diferentes edades. Halla la tasa de cambio
en cada intervalo de tiempo. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. ¿Durante
qué intervalo el bebé tuvo la tasa mayor de crecimiento
Edad (me e ) 3 9 18 26 33
Lo i d (p l ) 23.5 27.5 31.6 34.5 36.7
En la tabla se muestra la distancia de un elevador desde la planta baja en distintos
momentos. Representa gráficamente los datos y muestra las tasas de cambio.
Tiempo ( ) 0 15 23 30 35
Di a cia (m) 30 70 0 45 60
Halla la pendiente de cada línea.
Indica si la pendiente de cada línea es positiva, negativa, cero o indefinida.
Viajes
El Hill Country Flyer es
un tren de pasajeros
antiguo que viaja desde
Cedar Park, Texas hasta
Burnet, Texas. Los turistas
pueden ver la zona Texas
Hill Country desde un
vagón reformado de
1920 o desde uno de
los tres vagones
comedor restaurados.
Viajes El tren Incline Railway de la montaña Lookout, en Chattanooga, Tennessee, es
el tren de pasajeros con la pendiente más pronunciada del mundo. Un sector de las vías
tiene una pendiente de aproximadamente 0.73. En ese sector, un cambio vertical de
1 unidad corresponde a un cambio horizontal ¿de qué longitud Redondea tu respuesta
a la centésima más cercana.
Razonamiento crítico En la Lección 5-1 aprendiste que, en una función lineal, un
cambio constante en x es correspondiente con un cambio constante en y. ¿Qué relación
hay entre esto y la pendiente
5-3 Tasa de cambio y pendiente 315

Este problema te ayudará a resolver la
Preparación de varios pasos para TAKS de
la página 332.
a En la gráfica se muestra una relación
entre la edad de una persona y su
ritmo cardíaco máximo en latidos
por minuto. Halla la pendiente.
Describe la tasa de cambio en
esta situación.
Ritmo cardíaco máximo estimado
i mo ca díaco máximo
(la ido /mi )
240
200
160
120
80
40
0
(20, 200)
(60, 160)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Edad (año )
Construcción La mayoría de las escaleras actuales tienen
escalones de 9 pulgadas de ancho y 8 1__ pulgadas de alto.
2
¿Cuál es la pendiente de una escalera con estas medidas
Una escalera de mano está apoyada sobre un edificio. La
distancia entre la base de la escalera y el edificio es de 9 pies.
La distancia entre la parte superior de la escalera y el piso
es 16 pies.
a Representa esta situación con un diagrama.
¿Cuál es la pendiente de la escalera
chi o exami ado
ancho del
escalón
altura del
escalón
Escríbelo ¿Por qué la pendiente de cualquier línea horizontal es 0 ¿Por qué
la pendiente de cualquier línea vertical es indefinida
En la tabla se muestra la distancia que recorrió un automóvil durante un viaje
de cinco horas.
Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5
Di a cia (mi) 0 40 80 80 110 160
a Representa gráficamente los datos y muestra las tasas de cambio.
La tasa de cambio representa la velocidad promedio. ¿Durante qué hora fue mayor
la velocidad promedio del automóvil
Estimación En la gráfica se muestra la cantidad
Examen para detectar virus
de archivos que un programa de detección de virus
examina en determinado tiempo.
800
a Estima las coordenadas del punto A.
600
B
Estima las coordenadas del punto B.
c Usa tus respuestas de las partes a y b para estimar
la tasa de cambio (en archivos por segundo) entre
400
200
A
los puntos A y B.
Recopilación de datos Usa una calculadora de
gráficas y un detector de movimiento para el siguiente
ejercicio. Configura el equipo de manera que, en la gráfica,
se muestre la distancia en el eje y y el tiempo en el eje x.
a
c
0
4 8 12 16 20 24
Tiempo ( )
Camina delante del detector de movimiento. ¿Cómo debes caminar para representar
gráficamente una línea recta Explica.
Describe qué debes cambiar para representar gráficamente una línea con pendiente
positiva y una línea con pendiente negativa.
¿Cómo puedes representar gráficamente una línea con pendiente 0 Explica.
316 Capítulo 5 Funciones lineales

¿La pendiente de qué línea tiene el mayor valor absoluto
línea A línea C
línea B línea D
¿Para qué línea la distancia horizontal es igual a 0
línea A línea C
línea B línea D
¿Qué línea tiene una pendiente de 4
2
-2 0
-2
y
2
x
2
-2 0
-2
y
2
x
y
y
2
2
x
-2 0 2
0 2 x
-2
-2
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
Tiempo libre Tara y Jade suben una colina. Cada una tiene un tranco diferente.
La distancia horizontal del tranco de Tara es 32 pulgadas y la distancia vertical
es 8 pulgadas. La distancia horizontal del tranco de Jade es 36 pulgadas. ¿Cuál es
la distancia vertical del tranco de Jade
Economía En la tabla se muestra el costo en dólares que cobra una compañía
de electricidad por distintas cantidades de energía en kilovatios hora.
E e ía ( W/h) 0 200 400 600 1000 2000
o o ($) 3 3 31 59 115 150
a
c
d
Representa gráficamente los datos y muestra las tasas de cambio.
Compara las tasas de cambio de cada intervalo. ¿Son todas iguales Explica.
¿Qué representan las tasas de cambio
Describe con palabras el plan de facturación de la compañía de electricidad.
REPASO EN ESPIRAL
Suma o resta. (Lección 1-2)
-5 + 15 9 - 11 -5 - (-25)
Halla el dominio y el rango de cada relación e indica si la relación es una función.
(Lección 4-2)
⎧
⎨
⎩ (3, 4) , (3, 2) , (3, 0) , (3, -2) ⎬
⎫ ⎭
x 0 2 4 -2 -4
y 0 2 4 2 4
Halla las intersecciones con el eje x y con el eje y. (Lección 5-2)
2x + y = 6 y =- 3x - 9 2y =-4x + 1
5-3 Tasa de cambio y pendiente 317

5-3
Explorar cambios constantes
Muchas situaciones de la vida real cambian en un valor constante. En estas
actividades, explorarás qué ocurre cuando
• una cantidad aumenta en un valor constante.
Para usar con
la Lección 5-3
Actividad 1
• una cantidad disminuye en un valor constante.
TEKS A.5.C Funciones lineales: usar, convertir y relacionar … las
descripciones ... tabulares, gráficas o descripciones con palabras
de funciones lineales. Ver también A.1.D, A.3.B
Janice ha leído 7 libros en el club de lectura de verano. Piensa leer 2 libros por semana durante el
resto del verano. En la tabla se muestra la cantidad total de libros que habrá leído Janice al cabo
de distintas cantidades de semanas.
1 ¿Qué número se suma a la cantidad de libros de cada fila
para obtener la cantidad de libros de la siguiente fila
2 ¿Qué representa tu respuesta al Problema 1 en la
situación de Janice Describe el significado del
cambio constante.
3 Representa gráficamente los pares ordenados de la
tabla. Describe cómo se relacionan los puntos.
4 Observa nuevamente tu respuesta al Problema 1.
Explica cómo afecta este número a tu gráfica.
Lec a de e a o de Ja ice
ema a To al de li o leído
0 7
1 9
2 11
3 13
4 15
5 17
TAKS Grado 8, Obj. 2, 6
Inténtalo
Grados 9 a 11, Obj. 3, 10
En una universidad, un estudiante de tiempo completo debe tomar al menos
12 horas crédito por semestre y puede tomar hasta 18 horas crédito por semestre.
La matrícula cuesta $200 cada hora crédito.
Copia y completa la tabla con la información anterior.
¿Qué número se suma al costo de cada fila para obtener el costo
de la siguiente fila
¿Qué representa tu respuesta al Problema 2 en esta situación
Describe el significado del cambio constante.
Representa gráficamente los pares ordenados de la tabla. Describe
cómo se relacionan los puntos.
Observa nuevamente tu respuesta al Problema 2. Explica cómo
afecta este número a la forma de tu gráfica.
Compara tus gráficas de la Actividad 1 y del Problema 4. ¿En qué se
parecen y en qué se diferencian
Haz una conjetura Describe la gráfica de cualquier situación que
incluya la suma repetida de un número positivo. ¿Por qué piensas
que tu descripción es correcta
o o de ma íc la
Ho a
cédio
12
13
14
15
16
17
18
o o ($)
318 Capítulo 5 Funciones lineales

Actividad 2
Un avión está a 3000 millas de su destino. Viaja a una velocidad de 540 millas por hora.
En la tabla se muestra a qué distancia de su destino está el avión al cabo de distintos
periodos de tiempo.
1 ¿Qué número se resta de la distancia de cada fila para
obtener la distancia de la siguiente fila
2 ¿Qué representa tu respuesta al Problema 1 en
esta situación Describe el significado del
cambio constante.
3 Representa gráficamente los pares ordenados de la
tabla. Describe cómo se relacionan los puntos.
4 Observa nuevamente tu respuesta al Problema 1.
Explica cómo afecta este número a tu gráfica.
Tiempo
(h)
Di
a cia del a ió
Di a cia ha a el de i o
(mi)
0 3000
1 2460
2 1920
3 1380
4 840
Inténtalo
TAKS Grado 8, Obj. 2, 6
Grados 9 a 11, Obj. 3, 10
Un programa de juegos en televisión comienza con 20 concursantes. Cada semana,
los jugadores votan para eliminar a dos concursantes del programa.
Copia y completa la tabla con la información anterior.
¿Qué número se resta del número de concursantes de
cada fila para obtener el número de concursantes de la
fila siguiente
¿Qué representa tu respuesta al Problema 9 en esta
situación Describe el significado del cambio constante.
Representa gráficamente los pares ordenados de la tabla.
Describe cómo se relacionan los puntos.
Observa nuevamente tu respuesta al Problema 9. Explica
cómo afecta este número a la forma de tu gráfica.
Compara tus gráficas de la Actividad 2 y del Problema 11.
¿En qué se parecen ¿En qué se diferencian
Haz una conjetura Describe la gráfica de cualquier
situación que incluya la resta repetida de un número positivo.
¿Por qué piensas que tu descripción es correcta
ema a
o
ama de j e o
o c a e
e eda
0 20
Compara tus dos gráficas de la Actividad 1 con tus dos gráficas de la Actividad 2.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian
Haz una conjetura ¿En qué se diferencian las gráficas de situaciones que incluyen
restas repetidas de las gráficas de situaciones que incluyen sumas repetidas Explica
tu respuesta.
1
2
3
4
5
6
Laboratorio de álgebra 319

5-4 La fórmula de la pendiente
TEKS A.6.A Funciones lineales: determinar pendientes ... de gráficas y a partir
de representaciones algebraicas. Ver también A.3.A, A.6.B
Objetivo
Hallar la pendiente
mediante la fórmula de
la pendiente
¿Para qué sirve
La fórmula de la pendientete permite
hallar la rapidez con la que cambia una
cantidad, por ejemplo, la cantidad de
agua de una represa. (Ver Ejemplo 3)
En la Lección 5-3 se describió la pendiente
como la tasa de cambio constante de una
línea. Aprendiste a hallar la pendiente de
una línea mediante su gráfica.
También es posible hallar la pendiente
de una línea con una fórmula, que
generalmente se representa con la letra m.
Para usar esta fórmula, debes conocer las
coordenadas de dos puntos sobre una línea.
Fórmula de la pendiente
CON PALABRAS FÓRMULA EJEMPLO
La pendiente de una línea
es la razón de la diferencia
en los valores de y a la
diferencia en los valores
de x entre dos puntos
cualesquiera de una línea.
, Si (x , y ) y (x , y ) son Si ( - ) y ( , ) son dos
de la línea es m = y ______ - y
x - x . m = _______ - (- ) = ___ 7
-1 =-7.
dos puntos cualesquiera
de una línea, la pendiente
puntos de una línea, la
pendiente de la línea es
-
EJEMPLO 1 Hallar la pendiente mediante la fórmula de la pendiente
Halla la pendiente de la línea que contiene (4, -2) y (-1, 2) .
Los números pequeños
abajo y a la derecha
de las variables se
llaman subíndices. Lee
x 1 como “x sub uno” e
y 2 como “y sub dos”.
m = _ y 2 - y 1
x2 - x 1
= _ 2 - (-2)
-1 - 4
=
4_
-5
=- 4 _
5
Usa la fórmula de la pendiente.
Sustituye ( x 1 ,y 1) por (4, -2) y ( x 2 ,y 2) por (-1, 2) .
Simplifica.
La pendiente de la línea que contiene (4, -2) y (-1, 2) es - 4 _
5
.
1a. Halla la pendiente de la línea que contiene (-2, -2) y (7, -2) .
1b. Halla la pendiente de la línea que contiene (5, -7) y (6, -4) .
1c. Halla la pendiente de la línea que contiene (
3_
4 , 7_
5) y _
( 1 4 , 2_
5) .
320 Capitulo 5 Funciones lineales

A veces, no tienes los dos puntos necesarios para la fórmula. En ese caso, deberás
elegir dos puntos de una gráfica o de una tabla.
EJEMPLO 2 Hallar la pendiente a partir de gráficas o tablas
En cada gráfica o tabla se muestra una relación lineal. Halla la pendiente.
A
Sea (2, 2) igual a (x 1 , y 1) y (-2, -1) igual a
( x 2 , y 2) .
m = _ y 2 - y 1
x2 - x 1
= _ -1 - 2
-2 - 2
= _ -3
-4
= _ 3 4
Usa la fórmula de la pendiente.
Sustituye ( x 1 ,y 1) por (2, 2) y ( x 2 , y 2) por (-2, -1) .
Simplifica.
B x 2 2 2 2
y 0 1 3 5
Paso 1 Elige dos puntos cualesquiera de la tabla. Sea (2, 0) igual a (x 1 , y 1 ) y
(2, 3) igual a (x 2 , y 2 ).
Paso 2 Usa la fórmula de la pendiente.
m = _ y 2 - y 1
x2 - x 1
= _ 3 - 0
2 - 2
= _ 3 0
Usa la fórmula de la pendiente.
Sustituye (x 1 , y 1) por (2, 0) y ( x 2 , y 2) por (2, 3) .
Simplifica.
La pendiente es indefinida.
En cada gráfica o tabla se muestra una relación lineal. Halla
la pendiente.
2a.
2b.
2c. x 0 2 5 6
y 1 5 11 13
2d. x -2 0 2 4
y 3 0 -3 -6
Recuerda que la pendiente es una tasa de cambio. En problemas del mundo real,
si conoces la pendiente sabrás de qué manera cambia una cantidad.
5-4 La fórmula de la pendiente 321

EJEMPLO 3 Aplicación
En la gráfica se muestra cuánta agua hay
en la represa en distintos momentos. Halla
la pendiente de la línea. Luego, indica qué
representa la pendiente.
Paso 1 Usa la fórmula de la pendiente.
m = _ y 2 - y 1
x2 - x 1
= __
2000 - 3000
60 - 20
= _ -1000 =-25
40
Paso 2 Indica qué representa la pendiente.
En esta situación, y representa el volumen de agua y x representa el tiempo.
cambio en el volumen
Por lo tanto, la pendiente representa el ________________ en unidades
cambio en el tiempo
millares de pies cúbicos
de _________________.
horas
Una pendiente de -25 significa que la cantidad de agua de la represa
disminuye (cambio negativo) a una tasa de 25 millares de pies cúbicos por hora.
3. En la gráfica se muestra la
altura de una planta durante
un periodo de días. Halla la
pendiente de la línea. Luego,
indica qué representa
la pendiente.
Crecimiento de la planta
l a (cm)
24
20
16
12
8
4
(50, 20)
(30, 10)
0
10 20 30 40 50
Tiempo (día )
Si conoces la ecuación que describe una línea, puedes hallar su pendiente con las
soluciones de dos pares ordenados cualesquiera. Con frecuencia, es más fácil usar
los pares ordenados que contengan las intersecciones.
EJEMPLO 4 Hallar la pendiente a partir de una ecuación
Halla la pendiente de la línea descrita por 6x - 5y = 30.
Paso 1 Halla la intersección
Paso 2 Halla la intersección
con el eje x. con el eje y.
6x - 5y = 30 6x - 5y = 30
6x - 5(0) = 30 Sea y = 0. 6(0) - 5y = 30 Sea x = 0.
6x = 30 -5y = 30
_ 6x
6 = _ 30
6
-5y _
-5
= 30 _
-5
x = 5 y =-6
Paso 3 La línea contiene (5, 0) y (0, - 6). Usa la fórmula de la pendiente.
m = _ y 2 - y 1
x2 - x
= _ - 6 - 0
1 0 - 5 = _ - 6 = _ 6
-5 5
4. Halla la pendiente de la línea descrita por 2x + 3y = 12.
322 Capitulo 5 Funciones lineales

RAZONAR Y COMENTAR
1. La pendiente de una línea es la diferencia del/de la dividida entre la diferencia
del/de la para dos puntos cualesquiera sobre la línea.
2. Cuando sustituyes las coordenadas de dos puntos que están sobre una línea en la
fórmula de la pendiente, el valor del denominador es 0. Describe esta línea.
3. ORGANÍZATE Copia y completa el
organizador gráfico. En cada recuadro,
describe cómo hallar la pendiente
mediante el método dado.
A partir de
una gráfica
ómo halla la pe die
A partir de
una tabla
e
A partir de
una ecuación
5-4
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6, 9, 10
CLAVE: MA7 5-4
VER EJEMPLO 1
pág. 320
VER EJEMPLO 2
pág. 321
VER EJEMPLO 3
pág. 322
PRÁCTICA GUIADA
Halla la pendiente de la línea que contiene cada par de puntos.
(3, 6) y (6, 9) (2, 7) y (4, 4) (-1, -5) y (-9, -1)
En cada gráfica o tabla se muestra una relación lineal. Halla la pendiente.
x y
0 25
2 45
4 65
6 85
Halla la pendiente de cada línea. Luego, indica qué representa la pendiente.
Salario total
Crema de cacahuate
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
Di e o a ado ($)
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
(4, 80)
(12, 160)
2 4 6 8 10 12
Tiempo a ajado (h)
Ta o de c ema de cacah a e
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
(4860, 9)
(1620, 3)
2000 4000
acah a e
VER EJEMPLO 4
pág. 322
Halla la pendiente de la línea descrita por cada ecuación.
8x + 2y = 96 5x = 90 - 9y 5y = 160 + 9x
5-4 La fórmula de la pendiente 323

Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
11–13 1
14–15 2
16–17 3
18–20 4
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S12
Práctica de aplicación
pág. S32
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Halla la pendiente de la línea que contiene cada par de puntos.
(2, 5) y (3, 1) (-9, -5) y (6, -5) (3, 4) y (3, -1)
En cada gráfica o tabla se muestra una relación lineal. Halla la pendiente.
x y
1 18.5
2 22
3 25.5
4 29
Halla la pendiente de cada línea. Luego indica qué representa la pendiente.
Conversión de temperatura
Punto de ebullición del agua
Tempe a a (° )
-40 -20
10
0
(5, -15)
(-40, -40)
-40
Tempe a a (° )
o de e llició (° )
214 (-500, 212.9)
212
210
208
206 (2500, 207.5)
-1000 0 1000 2000
l i d o e el i el del ma (pie )
Halla la pendiente de la línea descrita por cada ecuación.
7x + 13y = 91 5y = 130 - 13x 7 - 3y = 9x
/ NÁL DE E E / Dos estudiantes hallaron la pendiente de la línea que
contiene (-6, 3) y (2, -1) . ¿Quién está equivocado Explica el error.
Ciencias ambientales En la tabla se muestra cómo cambia la cantidad de chirridos
de grillo por minuto con la temperatura del aire.
Tempe a a (° ) 40 50 60 70 80 90
hi ido po mi o 0 40 80 120 160 200
a
Halla las tasas de cambio.
¿La gráfica de los datos es una línea Si es así, ¿cuál es la pendiente
Si no, explica por qué no.
Razonamiento crítico En la gráfica se muestra la distancia
que recorrieron dos automóviles.
a ¿Qué automóvil viaja más rápido ¿Cuánto más rápido
¿Cuál es la relación entre las velocidades y la pendiente
c ¿A qué tasa cambia la distancia entre los automóviles
Escríbelo Conoces las coordenadas de dos puntos sobre una
línea. Describe dos formas de hallar la pendiente de esa línea.
Distancia recorrida
Di a cia (mi)
80
60
40
20
0
o
o
1 2 3 4
Tiempo (h)
324 Capitulo 5 Funciones lineales

Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS
de la página 332.
a Una forma de estimar tu ritmo cardíaco máximo es restar tu edad de 220. Describe
con una ecuación la relación entre el ritmo cardíaco máximo y y la edad x.
La gráfica de esta función es una línea. Halla su pendiente. Luego indica qué
representa la pendiente.
¿Qué pendiente tiene la línea descrita por la ecuación 2y + 3x =-6
3_
2
0
¿Por cuál de los siguientes pares de puntos podría pasar una línea
con una pendiente de -
1__
3
( 0, - _ 1 3 ) y (1, 1) (0, 0) y ( - _ 1 3 , - _
3)
1
(-6, 5) y (-3, 4) (5, -6) y (4, 3)
Respuesta gráfica Halla la pendiente de la línea que contiene (-1, 2) y (5, 5) .
1_
2
- 3 _
2
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
Halla la pendiente de la línea que contiene cada par de puntos.
(a, 0) y (0, b) (2x, y) y (x, 3y) (x, y) y (x + 2, 3 - y)
Halla el valor de x tal que los puntos se ubiquen sobre una línea con la pendiente dada.
(x, 2) y (-5, 8) , m =-1
(4, x) y (6, 3x), m = _ 1 2
(1, -3) y (3, x) , m =-1 (-10, -4) y (x, x), m = _ 1 7
Una línea contiene el punto (1, 2) y tiene una pendiente de 1__ . Usa la fórmula de la
2
pendiente para hallar otro punto que esté sobre esta línea.
Los puntos (-2, 4) , (0, 2) y (3, x - 1) están sobre la misma línea. ¿Cuál es el valor de x
(Pista: recuerda que la pendiente de una línea es constante para dos puntos cualesquiera
sobre la línea).
REPASO EN ESPIRAL
Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta. (Lección 2-1)
k - 3.14 = 1.71 -7 = p - 12 25 = f - 16
-2 = 9 + n
1_
5 + x = 3 _
5
a - _ 1 2 = _ 3 2
Indica si los pares ordenados dados satisfacen una función lineal. (Lección 5-1)
⎧
⎨
⎩ (1, 1) , (2, 4) , (3, 9) , (4, 16)⎫ ⎬
⎭
⎧
⎨
⎩ (9, 0) , (8, -5) , (5, -20) , (3, -30)⎫ ⎬
⎭
Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea descrita
por cada ecuación. (Lección 5-2)
x - y = 5 3x + y = 9 y = 5x + 10
5-4 La fórmula de la pendiente 325

5-5 Variación directa
TEKS A.6.G Funciones lineales: relacionar la variación directa con las
funciones lineales y resolver problemas en los que haya cambio proporcional.
Ver también A.1.C, A.1.E, A.3.A, A.3.B
Objetivo
Identificar, escribir y
representar gráficamente
variaciones directas
Vocabulario
variación directa
constante de variación
¿Quién lo usa
Los cocineros pueden usar la variación
directa para determinar los ingredientes
que necesitan para determinada
cantidad de porciones.
Con 2 libras de carne de vaca se preparan
4 porciones de chili con carne. Es decir, el
cocinero necesita 2 libras de carne por
cada 4 porciones.
a e (l ) x 2 2 4 5
o cio e y 4 6 8 10
La ecuación y = 5x describe esta relación. En esta relación, la cantidad de porciones
varía directamente con la cantidad de libras de carne.
Una variación directa es un tipo especial de relación lineal que puede escribirse en
la forma y = kx, donde k es una constante distinta de cero que se llama constante
de variación.
EJEMPLO 1 Identificar variaciones directas a partir de ecuaciones
Indica si cada ecuación representa una variación directa. Si es así, identifica la
constante de variación.
A y = 4x
Esta ecuación representa una variación directa porque está en la forma
y = kx. La constante de variación es 4.
B -3x + 5y = 0
-3x + 5y = 0 Halla y con la ecuación.
+ 3x
−−−−−−
+ 3x
−−−
3x
5y =
_ 5y _
5 = 3x
5
y =
3_
5 x
Como se suma -3x a y, suma 3x a ambos lados.
Como y se multiplica por 5, divide ambos lados entre 5.
Esta ecuación representa una variación directa porque puede escribirse en
la forma y = kx. La constante de variación es 3__
5 .
C 2x + y = 10
2x + y = 10 Halla y con la ecuación.
- 2x - 2x Como se suma 2x a y, resta 2x de ambos lados.
−−−−−− −−−
y =-2x + 10
Esta ecuación no representa una variación directa porque no se puede
escribir en la forma y = kx.
Indica si cada ecuación representa una variación directa. Si es
así, identifica la constante de variación.
1a. 3y = 4x + 1 1b. 3x =-4y 1c. y + 3x = 0
326 Capítulo 5 Funciones lineales

¿Qué ocurre si hallas k con la fórmula y = kx
y = kx
y_ _ x = kx
x
y_
x = k
Divide ambos lados entre x (x ≠ 0).
Por lo tanto, en una variación directa, la razón __ y x es igual a la constante de variación.
Otra manera de identificar una variación directa es comprobar si __ y x es igual para cada
par ordenado (excepto cuando x = 0).
EJEMPLO 2 Identificar variaciones directas a partir de pares ordenados
Indica si cada relación es una variación directa. Explica.
A x 1 3 5
y 6 18 30
Método 1 Escribe una ecuación.
y = 6x
Cada valor de y es 6 por el valor de x correspondiente.
Esto es una variación directa porque se puede escribir como y = kx,
donde k = 6.
y_
Método 2 Halla x para cada par ordenado.
6_
1 = 6 18_
3 = 6 30_
5 = 6
Esto es una variación directa porque y __ x
es igual para cada par ordenado.
B x 2 4 8
y -2 0 4
Método 1 Escribe una ecuación.
y = x - 4
Cada valor de y es 4 menos que el valor de x correspondiente.
Esto no es una variación directa porque no se puede escribir como y = kx.
y_
Método 2 Halla x para cada par ordenado.
-2 _
2 = -1 0_
4 = 0 4_
8 = 1_ 2
Esto no es una variación directa porque y __ x
no es igual para todos los
pares ordenados.
Indica si cada relación es una variación directa. Explica.
2a.
x
y
2b.
x
y
2c.
x
y
-3 0
2.5 -10
-2 5
1 3
5 -20
1 3
3 6
7.5 -30
4 1
Si conoces un par ordenado que satisface una variación directa, puedes escribir
la ecuación. También puedes hallar otros pares ordenados que satisfagan la
variación directa.
5-5 Variación directa 327

EJEMPLO 3 Escribir y resolver ecuaciones de variación directa
El valor de y varía directamente con x e y = 6 cuando x = 12.
Halla y cuando x = 27.
Método 1 Halla el valor de k y luego escribe la ecuación.
y = k x
Escribe la ecuación de variación directa.
6 = k (12) Sustituye y por 6 y x por 12. Halla k.
1_
Como k se multiplica por 12, divide ambos lados entre 12.
2 = k
La ecuación es y = _ 1 2 x. Cuando x = 27, y = _ 1 (27) = 13.5.
2
Método 2 Usa una proporción.
6_
12 = _ y En una variación directa, _ y
27
x
es igual para todos los valores de x e y.
12y = 162 Usa productos cruzados.
y = 13.5 Como y se multiplica por 12, divide ambos lados entre 12.
3. El valor de y varía directamente con x e y = 4.5 cuando x = 0.5.
Halla y cuando x = 10.
EJEMPLO 4 Representar gráficamente variaciones directas
El perezoso de tres dedos es un animal muy lento. En la tierra, se mueve a una
velocidad de aproximadamente 6 pies por minuto. Escribe una ecuación de
variación directa para la distancia y que recorrerá un perezoso en x minutos.
Luego represéntala gráficamente.
Paso 1 Escribe una ecuación de variación directa.
distancia = 6 pies por minutos
y = 6 · x
Paso 2 Elige valores de x y
genera pares ordenados.
x y = x (x, y)
y = 6 ( ) = ( , )
y = 6 ( ) = ( , )
y = 6 ( ) = ( , )
Paso 3 Representa gráficamente
los puntos y conecta.
Di a cia (pie )
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Velocidad de
1 2 3 4
Tiempo (mi )
pe e o o
4. El perímetro y de un cuadrado varía directamente con la longitud
del lado x. Escribe una ecuación de variación directa para esta
relación. Luego represéntala gráficamente.
Observa la gráfica del Ejemplo 4. Pasa por (0, 0) y tiene una pendiente de 6.
La gráfica de cualquier variación directa y = kx
• es una línea que pasa por (0, 0) . • tiene una pendiente de k.
328 Capítulo 5 Funciones lineales

RAZONAR Y COMENTAR
1. ¿Cómo sabes que una variación directa es lineal
2. ¿Por qué la gráfica de cualquier variación directa pasa por (0, 0)
3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, describe cómo
puedes usar la información dada para identificar una variación directa.
ómo eco oce a a iació di ec a
pa i de a ec ació
pa i de pa e o de ado pa i de a á ica
5-5
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 1 a 3, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6, 9, 10
CLAVE: MA7 5-5
PRÁCTICA GUIADA
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
Vocabulario Si x varía directamente con y, entonces se dice que la relación entre las
dos variables es una . (variación directa o constante de variación)
VER EJEMPLO 1
pág. 326
VER EJEMPLO 2
pág. 327
Indica si cada ecuación representa una variación directa. Si es así, identifica la
constante de variación.
y = 4x + 9 2y =-8x x + y = 0
Indica si cada relación es una variación directa. Explica.
x 10 5 2
x 3 -1 -4
y 12 7 4
y -6 2 8
VER EJEMPLO 3
pág. 328
VER EJEMPLO 4
pág. 328
El valor de y varía directamente con x e y =-3 cuando x = 1. Halla y cuando x =-6.
El valor de y varía directamente con x e y = 6 cuando x = 18. Halla y cuando x = 12.
Salarios Cameron gana $5 por hora en su trabajo después de clase. Su salario total
varía directamente con la cantidad de tiempo que trabaja. Escribe una ecuación de
variación directa para la cantidad de dinero y que gana por trabajar x horas. Luego
represéntala gráficamente.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Indica si cada ecuación representa una variación directa. Si es así, idenfica la constante
de variación.
y = _ 1 x 4y = x x = 2y - 12
6
Indica si cada relación es una variación directa. Explica.
x 6 9 17
y 13.2 19.8 37.4
x -6 3 12
y 4 -2 -8
5-5 Variación directa 329

Práctica independiente El valor de y varía directamente con x e y = 8 cuando x =-32. Halla y cuando x = 64.
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
El valor de y varía directamente con x e y = 1__ cuando x = 3. Halla y cuando x = 1.
2
En su camino a la escuela, Norman vio que la gasolina costaba $2.50 por galón. Escribe
13–14 2
una ecuación de variación directa para describir el costo y de x galones de gasolina.
10–12 1
15–16 3
Luego represéntala gráficamente.
17 4
Indica si cada relación es una variación directa. Explica tu respuesta.
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S13
Práctica de aplicación
pág. S32
La ecuación -15x + 4y = relaciona la longitud de una cinta de video en pulgadas x
con el tiempo aproximado de duración en segundos y.
La ecuación y - 2.00x = 2.50 relaciona el costo y de un trayecto en taxi con la distancia x
del trayecto en millas.
Astronomía
El robot Spirit llegó
a Marte en enero de
2004 e inmediatamente
comenzó a enviar fotos
de la superficie del
planeta a la Tierra.
Cada par ordenado es una solución de una variación directa. Escribe la ecuación de
una variación directa. Luego, representa gráficamente tu ecuación y muestra que la
pendiente de la línea es igual a la constante de variación.
(2, 10) (-3, 9) (8, 2) (1.5, 6)
(7, 21) (1, 2) (2, -16) ( 1 _
7 , 1 )
(-2, 9) (9, -2) (4, 6) (3, 4)
(5, 1) (1, -6) ( -1, _ 1 2) (7, 2)
Astronomía El peso varía directamente con la gravedad. Un módulo de aterrizaje
pesaba 767 libras en la Tierra pero sólo 291 libras en Marte. El robot que llevaba
pesaba 155 libras en Marte. ¿Cuánto pesaba en la Tierra Redondea tu respuesta a
la libra más cercana.
Ambiente Mischa compró un lavarropas que ahorra energía. Le permitirá ahorrar
alrededor de 15 galones de agua por lavado.
a Describe la cantidad de galones de agua y que ahorra Mischa en x lavados de ropa
con una ecuación de variación directa.
Representa gráficamente la variación directa de la parte a. ¿Cada punto de la gráfica
es una solución en esta situación ¿Por qué sí o por qué no
c Si Mischa hace dos lavados de ropa por semana, ¿cuántos galones de agua ahorrará
al cabo de un año
Razonamiento crítico Si duplicas un valor de x en una variación directa, ¿se
duplicará el valor de y correspondiente Explica.
Escríbelo En una variación directa y = kx, k suele llamarse “constante de
proporcionalidad”. ¿Cuál es la relación entre las proporciones y las variaciones directas
Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS
de la página 332.
Rhea se ejercitó en una cinta de andar en el gimnasio. Cuando terminó, el visor indicaba
que había caminado a una velocidad promedio de 3 millas por hora.
a Escribe una ecuación que dé la cantidad de millas y que cubriría Rhea en x horas si
caminara a esa velocidad.
Explica por qué esta es una variación directa y halla el valor de k. ¿Qué representa
este valor en la situación de Rhea
330 Capítulo 5 Funciones lineales

¿Qué ecuación NO representa una variación directa
y = _ 1 x y =-2x y = 4x + 1 6x - y = 0
3
Identifica qué conjunto de datos representa una variación directa.
x 1 2 3
y 1 2 3
x 1 2 3
y 3 5 7
x 1 2 3
y 0 1 2
x 1 2 3
y 3 4 5
Dos yardas de tela cuestan $13 y 5 yardas de tela cuestan $32.50. ¿Qué ecuación
relaciona el costo de la tela c con su longitud l
c = 2.6l c = 6.5l c = 13l c = 32.5l
Respuesta gráfica Un automóvil viaja a una velocidad constante. Luego de 3 horas,
el automóvil ha recorrido 180 millas. Si continúa a la misma velocidad constante,
¿cuántas horas tardará el automóvil en recorrer un total de 270 millas
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
Transporte La función y = 20x da la cantidad de millas y que recorre una camioneta de
carga a gasolina con x galones de gasolina. La función y = 60x da la cantidad de millas y
que recorre un automóvil híbrido con x galones de gasolina.
a ¿Cuánta gasolina ahorrarás si recorres 120 millas con el automóvil híbrido en lugar
de la camioneta
Representa gráficamente ambas funciones sobre el mismo plano cartesiano. ¿Se
juntarán alguna vez las líneas Explica.
c ¿Y si... Shannon recorre 15,000 millas en un año. ¿Cuántos galones de gasolina
usará con la camioneta y cuántas con el híbrido
Supongamos que la ecuación ax + by = c, donde a, b y c son números reales, describe
una variación directa. ¿Qué sabes sobre el valor de c
REPASO EN ESPIRAL
Halla la variable indicada. (Lección 2-5)
s - 5
p + 4q = 7; p _ = 2; s xy + 2y = 4; x
t
Determina una relación entre los valores de x e y y escribe una ecuación. (Lección 4-3)
x y
1 -5
2 -4
3 -3
4 -2
x y
1 -2
2 -4
3 -6
4 -8
x y
-3 9
-2 6
-1 3
0 0
Halla la pendiente de la línea descrita por cada ecuación. (Lección 5-4)
4x + y =-9 6x - 3y =-9 5x = 10y - 5
5-5 Variación directa 331

E
ÓN
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1, 3, 6, 10
a ac e í ica de la cio e li eale
La al d del co a ó Las personas que hacen ejercicio deben
estar atentas a su ritmo cardíaco máximo.
1. Una manera de estimar tu ritmo
cardíaco máximo m es restar a 217
el 85% de tu edad en años. Crea una
tabla de valores en la que se muestren
los ritmos cardíacos máximos para
personas de 13 a 18 años. Luego,
describe los datos de la tabla con
una ecuación.
2. Usa tu tabla del Problema 1 para representar
gráficamente la relación entre la edad y el ritmo
cardíaco máximo. ¿Cuáles son las intersecciones
¿Cuál es la pendiente
3. ¿Qué representan las intersecciones en
esta situación
4. ¿Qué representa la pendiente Explica por qué la
pendiente es negativa.
5. Otra fórmula para estimar el
ritmo cardíaco máximo es m
= 206.3 - 0.711a, donde a
representa la edad en años.
Describe la diferencia entre esta
ecuación y la del Problema 1.
Incluye la pendiente y las
intersecciones en tu descripción.
6. ¿Qué ecuación da un ritmo
cardíaco máximo más alto
7. Hacer ejercicio dentro de
los límites de tu zona de
entrenamiento aeróbico significa
que tu ritmo cardíaco está
en un 70% a 80% de su ritmo
cardíaco máximo. Escribe dos
ecuaciones que podrían usarse
para estimar el rango de los
ritmos cardíacos que están en la
zona de entrenamiento aeróbico
de una persona. Usa la ecuación
para calcular el ritmo cardíaco
máximo del Problema 1.
332 Capítulo 5 Funciones lineales

E
ÓN
Prueba de las Lecciones 5-1 a 5-5
5-1 Cómo identificar funciones lineales
Indica si los pares ordenados dados satisfacen una función lineal. Explica.
x -2 -1 0 1 2
y 1 0 1 4 9
⎧
⎨
⎩ (-3, 8) , (-2, 6) , (-1, 4) , (0, 2) , (1, 0) ⎬
⎫ ⎭
5-2 Cómo usar la intersección
Una piscina para bebés que contenía 120 galones de agua se vacía a una tasa de 6 gal/min.
La función f (x) = 120 - 6x da la cantidad de agua en la piscina al cabo de x minutos. Representa
gráficamente la función y halla sus intersecciones. ¿Qué representa cada intersección
Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por cada ecuación.
2x - 4y = 16 -3y + 6x =-18 y =-3x + 3
5-3 Tasa de cambio y pendiente
En la gráfica se da la cantidad de agua en
pulgadas que hay en un pluviómetro a distintas
horas. Representa gráficamente estos datos y
muestra las tasas de cambio.
Tiempo (h) 1 2 3 4 5
Ll ia (p l ) 0.2 0.4 0.7 0.8 1.0
5-4 La fórmula de la pendiente
Halla la pendiente de cada línea. Luego, indica qué representa la pendiente.
Costo de los pimientos
o o ($)
18
15
12
9
6
3
0
(5, 17.5)
(2, 7)
1 2 3 4 5
imie o (l )
Automóvil de carrera
de juguete
Di a cia (pie )
30
20
10
0
(2, 13)
(4, 21)
1 2 3 4 5 6
Tiempo ( )
Tempe a a (˚ )
Temperaturas a
distintas altitudes
60
40
20
0
(1, 54)
(4, 36)
2 4 6
li d(mi)
5-5 Variación directa
Indica si cada relación es una variación directa. Si es así, identifica la constante de variación.
x 1 4 8 12
y 3 6 10 14
x -6 -2 0 3
y -3 -1 0 1.5
El valor de y varía directamente con x e y = 10 cuando x = 4. Halla x cuando y = 14.
¿Listo para seguir 333

5-6
Forma de
pendiente-intersección
TEKS A.6.D Funciones lineales: representar gráficamente y escribir ecuaciones de líneas
a partir de ciertas características … como ... una pendiente y una intersección con el eje y
Objetivos
Escribir una ecuación
lineal en forma de
pendiente-intersección
Representar gráficamente
una línea usando
la forma de
pendiente-intersección
Ver también A.1.D,
A.2.C, A.3.A, A.5.C, A.6.A
Ya viste que puedes representar gráficamente una línea si conoces dos puntos que
estén sobre la línea. Otra forma es usar el punto que contiene la intersección con el
eje y y la pendiente de la línea.
EJEMPLO 1 Representar gráficamente usando la pendiente y la intersección
con el eje y
Cualquier entero se
puede escribir como
una fracción cuyo
denominador sea 1.
-2 = _ -2
1
¿Quién lo usa
Los consumidores pueden usar la forma
de pendiente-intersección para hacer
un modelo y calcular costos, como el
costo del alquiler de una camioneta de
mudanza. (Ver Ejemplo 4)
Representa gráficamente cada línea, dadas la
pendiente y la intersección con el eje y.
A pendiente = 3_ 4
; intersección con el eje y =-2
Paso 1 La intersección con el eje y es -2; por lo
tanto, la línea contiene (0, -2). Marca (0, -2) .
Distancia
= 3
vertical
cambio en y
Paso 2 Pendiente = _________
cambio en x = 3__
4 . Cuenta
3 unidades hacia arriba y 4 unidades hacia la derecha
desde (0, -2) y marca otro punto.
Paso 3 Dibuja la línea que pasa por los
dos puntos.
B pendiente = -2, intersección con el eje y = 4
Paso 1 La intersección con el eje y es 4; por lo
tanto, la línea contiene (0, 4). Marca (0, 4).
Paso 2 Pendiente =
_________
cambio en y
cambio en x = ___ -2
1 . Cuenta
2 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia
la derecha desde (0, 4) y marca otro punto.
Paso 3 Dibuja la línea que pasa por los dos puntos.
4
-4 -2 0
Distancia
horizontal = 1 -2
(0, -2)
-4
y
Distancia
= -2
vertical
4 (0, 4)
-4 -2
4
2
0
-2
-4
y
Distancia
horizontal = 4
2
4
x
x
Representa gráficamente cada línea, dadas la pendiente y la
intersección con el eje y.
1a. pendiente = 2, intersección con el eje y = -3
1b. pendiente = -_
2 , intersección con el eje y = 1
3
Si conoces la pendiente de una línea y la intersección con el eje y, puedes escribir
una ecuación que describa la línea.
Paso 1 Si una línea tiene pendiente 2 y la intersección con el eje y es 3, entonces
m = 2 y (0, 3) está sobre la línea. Sustituye estos valores en la fórmula de la
pendiente.
Fórmula de la pendiente → m = _ y 2 - y 1
2 = _ y - 3
x2 - x 1 x - 0 ←Como no conoces ( x 2 , y 2) ,
usa (x, y) .
334 Capítulo 5 Funciones lineales

Paso 2 Halla y: 2 = y - 3 _
x - 0
2 = y - 3 _
x
2 · x = ( y - 3 _
x
2x = y - 3
+ 3
−−−
+ 3
−−−−
) · x
2x + 3 = y o y = 2x + 3
Simplifica el denominador.
Multiplica ambos lados por x.
Suma 3 a ambos lados.
Forma de pendiente-intersección de una ecuación lineal
Si una línea tiene una pendiente m y la intersección con el eje y es b, entonces la línea
se describe mediante la ecuación y = mx + b.
Cualquier ecuación lineal se puede escribir en forma de pendiente-intersección
hallando y y simplificando. De este modo, puedes ver inmediatamente la pendiente
y la intersección con el eje y. También, puedes representar una línea rápidamente
cuando la ecuación está escrita en forma de pendiente-intersección.
EJEMPLO 2 Escribir ecuaciones lineales en forma de pendiente-intersección
Escribe la ecuación que describe cada línea en forma de pendiente-intersección.
La resta es lo mismo
que la suma del
opuesto.
1_ -12x -
2 =
-12x + ( - 1_ 2 )
A 1_ pendiente = , B pendiente = -12,
3 1_ intersección con el eje y = 6 intersección con el eje y =-
2
y = mx + b
Sustituye m y b por los
valores dados.
Simplifica si es necesario.
y = mx + b
y = 1_
3 x + 6 y = -12x + ( - 1_ 2 )
y =-12x - _ 1 2
C pendiente = 1, D pendiente = 0,
intersección con el eje y = 0 intersección con el eje y = 5
y = mx + b Sustituye m y b por los y = mx + b
y = 1x + 0 valores dados.
y = 0x + (-5)
y = x Simplifica.
y =-5
E pendiente = 4, (2, 5) está sobre la línea
Paso 1 Halla la intersección con el eje y.
y = mx + b Escribe la forma de pendiente-intersección.
5 = 4(2) + b Sustituye m por 4, x por 2 e y por 5.
Halla b. Como se suma 8 a b, resta 8 de ambos lados y
5 = 8 + b
cancela la suma.
- 8 - 8
−−−
−−−−−
-3 = b
Paso 2 Escribe la ecuación.
y = mx + b Escribe la forma de pendiente-intersección.
y = 4x + (-3) Sustituye m por 4 y b por -3.
y = 4x - 3
2. Una línea tiene una pendiente de 8 y (3, -1) está sobre la
línea. Escribe la ecuación que describe esta línea en forma
de pendiente-intersección.
5-6 Forma de pendiente-intersección 335

EJEMPLO 3 Representar gráficamente usando la forma de pendiente-intersección
Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección. Luego, representa
gráficamente la línea descrita por la ecuación.
A y = 4x - 3
y = 4x - 3 está en la forma y = mx + b.
pendiente: m = 4 = 4_ 1
intersección con el eje y: b =-3
Paso 1 Marca (0, -3).
Paso 2 Cuenta 4 unidades hacia arriba y 1 unidad
hacia la derecha y marca otro punto.
Paso 3 Dibuja la línea que conecta los dos puntos.
B y =- 2_ 3 x + 2
2_ y = - x + 2 está en la forma y = mx + b.
3 2_ _ pendiente: m =-
3 = -2
3
intersección con el eje y: b = 2
Paso 1 Marca (0, 2)
Paso 2 Cuenta 2 unidades hacia abajo y 3 unidades
hacia la derecha y marca otro punto.
Paso 3 Dibuja la línea que conecta los dos puntos.
Para dividir (8 - 3x)
por 2, puedes
multiplicar por 1__
2
y distribuir.
_ 8 - 3x 1_ = (8 - 3x)
2 2
= 1_ 2 (8) + 1_ 2 (-3x)
= 4 - 3 _
2 x
C 3x + 2y = 8
Paso 1 Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección para hallar y.
3x + 2y = 8
- 3x
−−−−−−−
- 3x
−−−
2y = 8 - 3x
_ 2y _ 2 = 8 - 3x
2
y = 4 - 3 _
2 x
Resta 3x de ambos lados.
y =- 3 _
2 x + 4
Paso 2 Representa gráficamente la línea.
Como y se multiplica por 2, divide ambos lados entre 2.
_ 3x
2 = _ 3 2 x
Escribe la ecuación en la forma y = mx + b.
3_ y = - x + 4 está en la forma y = mx + b.
2 3_ _ pendiente: m =-
2 = -3
2
intersección con el eje y: b = 4
• Marca (0, 4).
• Luego cuenta 3 unidades hacia abajo y 2
unidades hacia la derecha y marca otro punto.
• Dibuja la línea que conecta los dos puntos.
Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.
Luego, representa gráficamente la línea descrita por la ecuación.
3a. y = _ 2 x 3b. 6x + 2y = 10 3c. y =-4
3
336 Capítulo 5 Funciones lineales

EJEMPLO 4 Aplicación para el consumidor
Una compañía de mudanzas cobra $30.00
más $0.50 por milla por el alquiler de una
camioneta. En la gráfica se muestra el costo
en función de la cantidad de millas recorridas.
a. Escribe una ecuación que represente el
costo en función de la cantidad de millas.
El
costo es $0.50 por
milla
más $30.00.
Costos de la camioneta
de mudanzas
Costo total ($)
70
60
50
40
30
20
10
0 10 20 30 40
Distancia recorrida (mi)
y = 0.5 · x + 30
Una ecuación es y = 0.5x + 30.
b. Identifica la pendiente y la intersección con el eje y y describe sus significados.
La intersección con el eje y es 30. Es el costo por 0 millas o el cargo inicial de $30.00.
La pendiente es 0.5. Es la tasa de cambio del costo: $0.50 por milla.
c. Halla el costo de la camioneta por 150 millas.
y = 0.5x + 30
= 0.5(150) + 30 = 105 Sustituye x por 150 en la ecuación.
El costo de la camioneta por 150 millas es $105.
Para más información
sobre representaciones
de funciones lineales,
consulta Modelos
de función en la
página xxiv.
4. Una empresa de servicio de buffet
cobra una tarifa de $200 más
$18 por persona. En la gráfica se
muestra el costo en función de la
cantidad de invitados.
a. Escribe una ecuación que
represente el costo en función
de la cantidad de invitados.
b. Identifica la pendiente y la
intersección con el eje y y
describe sus significados.
c. Halla el costo del servicio
de buffet para una fiesta
de 200 invitados.
Aranceles del servicio
de buffet
Costo ($)
600
500
400
300
200
100
0
5 15 25
Personas
RAZONAR Y COMENTAR
1. Si una función lineal tiene una intersección con el eje y de b, ¿en qué punto
su gráfica cruza el eje y
2. ¿Dónde cruza el eje y la línea descrita por y = 4.395x - 23.75
3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico.
Representar gráficamente la línea descrita por y = mx + b
1. Marca el punto
_____ .
2. Halla un segundo
punto sobre la línea
mediante _____ .
3. Dibuja _____ .
5-6 Forma de pendiente-intersección 337

5-6
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6, 10
CLAVE: MA7 5-6
VER EJEMPLO 1
pág. 334
VER EJEMPLO 2
pág. 335
VER EJEMPLO 3
pág. 336
PRÁCTICA GUIADA
Representa gráficamente cada línea, dadas la pendiente y la intersección con el eje y.
1. pendiente = _ 1 , intersección con el eje y =-3 2. pendiente = 0.5, intersección con el eje y = 3.5
3
3. pendiente = 5, intersección con el eje y =-1 4. pendiente =-2, intersección con el eje y = 2
Escribe la ecuación que describe cada línea en forma de pendiente-intersección.
5. pendiente = 8, intersección con el eje y = 2 6. pendiente = _ 1 , intersección con el eje y =-6
2
7. pendiente = 0, intersección con el eje y =-3 8. pendiente = 5, el punto (2, 7) está sobre
la línea
Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección. Luego, representa
gráficamente la línea descrita por la ecuación.
9. y = _ 2 x - 6 10. 3x - y = 1 11. 2x + y = 4
5
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
VER EJEMPLO 4
pág. 337
12. Helen participa en una carrera de bicicletas. Ya recorrió
10 millas y ahora lleva una velocidad de 18 millas por hora.
En la gráfica se muestra su distancia en función del tiempo.
a. Escribe una ecuación que represente la distancia que
ha recorrido Helen en función del tiempo.
b. Identifica la pendiente y la intersección con el eje y y
describe sus significados.
c. ¿Qué distancia habrá recorrido Helen al cabo de
dos horas
Distancia (mi)
Distancia recorrida
48
42
36
30
24
18
12
6
0
1 2 3 4
Tiempo (h)
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Práctica independiente Representa gráficamente cada línea, dadas la pendiente y la intersección con el eje y.
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
13–16 1
13. pendiente = _ 1 , intersección con el eje y = 7 14. pendiente =-6, intersección con el eje y =-3
4
17–20 2 15. pendiente = 1, intersección con el eje y =-4 16. pendiente =- _ 4 , intersección con el eje y = 6
5
21–29 3
30
TEKS
4
TAKS
Escribe la ecuación que describe cada línea en forma de pendiente-intersección.
17. pendiente = 5, intersección con el eje y =-9 18. pendiente =- _ 2 , intersección con el eje y = 2
3
Práctica de destrezas
pág. S13
Práctica de aplicación
pág. S32
19. pendiente =- _ 1 , (6, 4) está sobre la línea 20. pendiente = 0, (6, -8) está sobre la línea
2
Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección. Luego, representa
gráficamente la línea descrita por la ecuación.
21. y =- _ 1 2 x + 3 22. y = _ 1 3 x - 5 23. y = x + 6
24. 6x + 3y = 12 25. y = _ 7 2
26. 4x + y = 9
27. -_
1 2 x + y = 4 28. 2_ x + y = 2
3
29. 2x + y = 8
338 Capítulo 5 Funciones lineales

30. Estado físico El gimnasio de Pauline cobra una
inscripción de $175 y una cuota de $35 por mes. En
la gráfica se muestra el costo total en función de la
cantidad de cuotas.
a. Escribe una ecuación que represente el costo total
en función de los meses.
b. Identifica la pendiente y la intersección con el eje y
y describe sus significados.
c. Halla el costo de asociarse durante un año.
31. /ANÁLISIS DE ERRORES / Dos estudiantes
escribieron 3x + 2y = 5 en forma de pendiente-intersección.
¿Quién está equivocado Describe el error.
Costo ($)
Costos de asociación
al gimnasio
250
200
150
100
50
0
1 2 3 4
Meses
Razonamiento crítico Indica si cada situación es posible o imposible. Si es posible,
dibuja un esquema de las gráficas. Si es imposible, explica.
32. Dos líneas tienen la misma pendiente.
33. Dos funciones lineales tienen la misma intersección con el eje y.
34. Dos líneas secantes tienen la misma pendiente.
35. Una función lineal no tiene intersección con el eje y.
Relaciona cada ecuación con su gráfica correspondiente.
36. y = 2x - 1 37. y = _ 1 2 x - 1 38. y =- _ 1 2 x + 1
A.
B.
C.
39. Escríbelo Escribe una ecuación que describa una línea vertical. ¿Puedes escribir esta
ecuación en forma de pendiente-intersección ¿Por qué sí o por qué no
40. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos
para TAKS de la página 364.
a. Ricardo y Sam caminan desde la casa de Sam hacia la
escuela. Sam vive a tres cuadras de la casa de Ricardo. En
la gráfica se muestra la distancia que recorrieron desde la
casa de Ricardo en su camino a la escuela. Crea una tabla
con estos valores.
b. Halla una ecuación para la distancia en función del tiempo.
c. ¿Cuáles son la pendiente y la intersección con el eje y
¿Qué representan en esta situación
Camino a la escuela
Cuadras desde la
casa de Ricardo
10
8
6
4
2
0 2 4 6 8 10
Tiempo (min)
5-6 Forma de pendiente-intersección 339

41. ¿Qué función tiene la misma intersección con el eje y que y = 1 _
2 x - 2
2x + 3y = 6 x + 4y =-8 -_
1 2 x + y = 4 1_ x - 2y =-2
2
42. ¿Cuál es la forma de pendiente-intersección de x - y =-8
y =-x - 8 y = x - 8 y =-x + 8 y = x + 8
43. ¿Qué función tiene una intersección con el eje y de 3
2x - y = 3 2x + y = 3 2x + y = 6 y = 3x
44. Respuesta gráfica ¿Cuál es la pendiente de la línea descrita por -6x =-2y + 5
45. Respuesta breve Escribe una función cuya gráfica tenga la misma pendiente que
la línea descrita por 3x - 9y = 9 y la misma intersección con el eje y que 8x - 2y = 6.
Muestra tu trabajo.
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
46. La forma estándar de una ecuación lineal es Ax + By = C. Vuelve a escribir esta ecuación
en forma de pendiente-intersección. ¿Cuál es la pendiente ¿Cuál es la intersección con
el eje y
47. ¿Qué valor de n en la ecuación nx + 5 = 3y daría una línea con una pendiente de -2
48. Si b es la intersección con el eje y de una función lineal cuya gráfica tiene una pendiente
de m, entonces y = mx + b describe la línea. A continuación hay una justificación
incompleta de este enunciado. Agrega la información que falta.
Enunciados
Motivos
1. m =
y 1 - x 1 _
y2 - x 2
2. m = _ y - b
x - 0
3. m = _ y - b
x
4. m = y - b
5. mx + b = y o
y = mx + b
1. Fórmula de la pendiente
2. Por definición, si b es la intersección con el eje y, entonces
( , b) es un punto sobre la línea. (x, y) es otro punto
cualquiera sobre la línea.
3.
4. Propiedad de la igualdad de la multiplicación (multiplica
ambos lados de la ecuación por x).
5.
REPASO EN ESPIRAL
Define una variable y escribe una desigualdad para cada situación. Representa
gráficamente las soluciones. (Lección 3-1)
49. Hoy Molly tiene 2 horas como máximo para hacer ejercicio en el gimnasio.
50. Mishenko espera ahorrar al menos $300 este mes.
Resuelve cada desigualdad. (Lección 3-5)
51. 3n ≤ 2n + 8 52. 4x - 4 > 2 (x + 5) 53. 2(2t + 1) > 6t + 8
Indica si cada ecuación es una variación directa. Si es así, identifica la constante
de variación. (Lección 5-5)
54. 12x = 3y 55. y =-2x + 6 56. y =-x
340 Capítulo 5 Funciones lineales

5-7
Forma de punto
y pendiente
TEKS A.6.D Funciones lineales: representar gráficamente y escribir ecuaciones de líneas
a partir de ciertas características como dos puntos, un punto y una pendiente o una
pendiente y la una intersección con el eje y
Objetivos
Representar gráficamente
una línea y escribir una
ecuación lineal mediante
la forma de punto
y pendiente
Escribir una ecuación lineal
con dos puntos dados
Ver también A.2.A,
A.3.A, A.5.C, A.6.A
Para una fracción
negativa, puedes
escribir el signo
menos en uno de
los tres lugares.
-_
1 2 = _ -1
2 = _ 1
-2
¿Para qué sirve
Puedes usar la forma de punto y pendiente
para representar una función de costos,
como el costo de publicar un anuncio en
un periódico. (Ver Ejemplo 5)
En la Lección 5-6 aprendiste que si conoces la
pendiente y la intersección con el eje y de una
línea, puedes representarla gráficamente. También
puedes representar gráficamente una línea si
conoces su pendiente y cualquier punto sobre la línea.
EJEMPLO 1 Representar gráficamente usando una pendiente y un punto
Representa gráficamente la línea con la pendiente dada que contiene el punto dado.
A pendiente = 3; (1, 1)
Paso 1 Marca (1, 1).
Paso 2 Usa la pendiente para moverte desde
(1, 1) hasta otro punto.
pendiente =
_________
cambio en y
cambio en x = 3 = 3__
1
Muévete 3 unidades hacia arriba y 1
unidad hacia la derecha y marca otro punto.
Paso 3 Dibuja la línea que conecta los dos puntos.
1_
B pendiente =- ; (3, -2)
2
Paso 1 Marca (3, -2).
Paso 2 Usa la pendiente para moverte desde
(3, -2) a otro punto.
pendiente =
_________
cambio en y
cambio en x = ___ 1
-2
=-
1__
2
Muévete 1 unidad hacia arriba y 2
unidades hacia la izquierda y marca
otro punto.
Paso 3 Dibuja la línea que conecta los dos puntos.
C pendiente = 0; (3, 2)
Una línea con pendiente 0 es horizontal.
Dibuja la línea horizontal que pasa por (3, 2).
4
3
2
1
0
0
-1
-2
-3
y
y
-4 -2
3
1
(1, 1)
1 2 3
1 2 3
-2
4
0
-2
-4
(3, -2)
y
2
(3, 2)
1
4
x
x
x
1. Representa gráficamente la línea con pendiente -1 que
contiene (2, -2) .
5-7 Forma de punto y pendiente 341

Si conoces la pendiente y un punto cualquiera sobre la línea, puedes escribir una
ecuación de la línea mediante la fórmula de la pendiente. Por ejemplo, supongamos
que una línea tiene una pendiente de 3 y contiene (2, 1). Sea (x, y) otro punto
cualquiera sobre la línea.
Fórmula de
la pendiente
m = _ y 2 - y 1
3 = _ y - 1
x2 - x 1 x - 2
3 (x - 2) = _
( y - 1
x - 2
)(x - 2)
3 (x - 2) = y - 1
y - 1 = 3(x - 2)
Sustituye en la fórmula de la pendiente.
Multiplica ambos lados por (x - 2) .
Simplifica.
Forma de punto y pendiente de una ecuación lineal
La línea con pendiente m que contiene el punto (x 1 , y 1) se puede describir con la
ecuación y - y 1 = m(x - x 1).
EJEMPLO 2 Escribir ecuaciones lineales en forma de punto y pendiente
Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para la línea con la
pendiente dada que contiene el punto dado.
A
5_ B
pendiente = ; (-3, 0) pendiente =-7; (4, 2)
2
y - y 1 = m(x - x 1) y- y 5_ 1 = m(x - x 1)
y - 0 = ⎣
2 ⎡
y - 2 = -7(x - 4)
x - (-3)⎤ ⎦
y - 0 = _ 5 2 (x + 3)
C
pendiente = 0; (-2, -3)
y - y 1 = m(x - x 1)
y - (-3) = 0⎡ ⎣ x - (-2)⎤ ⎦
y + 3 = 0 (x + 2)
Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para la
línea con la pendiente dada que contiene el punto dado.
2a. pendiente = 2; (
1_
2 , 1 ) 2b. pendiente = 0; (3, -4)
EJEMPLO 3 Escribir ecuaciones lineales en forma de pendiente-intersección
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea con
pendiente -4 que contiene (-1, -2) .
Paso 1 Escribe la ecuación en forma de punto y pendiente: y - y 1 = m(x - x 1)
y - (-2) = -4⎡ ⎣ x - (-1)⎤ ⎦
Paso 2 Halla y para escribir la ecuación en forma de pendiente-intersección.
y - (-2) =-4⎡ ⎣ x - (-1)⎤ ⎦
y + 2 =-4(x + 1) Vuelve a escribir la resta de números negativos como suma.
y + 2 =-4x - 4 Distribuye -4 en el lado derecho.
- 2 - 2 Resta 2 de ambos lados.
−−−− −−−−−
y =-4x - 6
342 Capítulo 5 Funciones lineales
3. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para
la línea con pendiente 1__ que contiene (-3, 1) .
3

EJEMPLO 4 Escribir una ecuación usando dos puntos
Después del Paso 1
del Ejemplo 4B,
podrías haber escrito
inmediatamente la
ecuación en forma de
pendiente-intersección
porque uno de los
puntos dados contiene
la intersección con el
eje y.
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que
pasa por los dos puntos.
A (1, -4) y (3, 2)
Paso 1 Halla la pendiente.
m = _ y 2 - y 1
x2 - x
= _ 2 - (-4)
1 3 - 1
= 6 _
2 = 3
Paso 2 Sustituye la pendiente y
uno de los puntos en la forma
de punto y pendiente.
y - y 1 = m(x - x 1)
y- 2 = 3(x - 3) Elige (3, 2).
Paso 3 Escribe la ecuación
en forma de
pendiente-intersección.
y - 2 = 3 (x - 3)
y - 2 = 3x - 9
+ 2 + 2
−−−− −−−−
y = 3x - 7
B (4, -7) y (0, 5)
Paso 1 Halla la pendiente.
m = _ y 2 - y 1
x2 - x
= _ 5 - (-7)
1 0 - 4 = _ 12 =-3 -4
Paso 2 Sustituye la pendiente y
uno de los puntos en la forma
de punto y pendiente.
y- y 1 = m(x - x 1)
y - (-7) = -3(x - 4) Elige (4, -7).
y + 7 = -3(x - 4)
Paso 3 Escribe la ecuación en forma
de pendiente-intersección.
y + 7 = -3 (x - 4)
y + 7 = -3x + 12
- 7
−−−−
- 7
−−−−−−
y =-3x + 5
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para
la línea entre los dos puntos.
4a. (1, -2) y (3, 10) 4b. (6, 3) y (0, -1)
EJEMPLO 5 Aplicación a la resolución
de problemas
RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
El costo de publicar un anuncio en un
Costo de un anuncio
periódico durante una semana es una
en el periódico
función lineal de la cantidad de líneas
Líneas 3 5 10
del anuncio. A la derecha se muestran
los costos de 3, 5 y 10 líneas. Escribe
Costo ($) 13.50 18.50 31
una ecuación en forma de
pendiente-intersección que represente
la función. Luego, halla el costo de un anuncio de 18 líneas.
1 Comprende el problema
• La respuesta tendrá dos partes: una ecuación en forma de
pendiente-intersección y el costo de un anuncio de 18 líneas.
• Los pares ordenados de la tabla, (3, 13.50) , (5, 18.50) y (10, 31) ,
satisfacen la ecuación.
2 Haz un plan
Puedes usar dos de los pares ordenados para hallar la pendiente. Luego usa la
forma de punto y pendiente para escribir la ecuación. Por último, escribe la
ecuación en forma de pendiente-intersección.
5-7 Forma de punto y pendiente 343

3 Resuelve
Paso 1 Elige dos pares ordenados cualesquiera de la tabla y halla la pendiente.
m = _ y 2 - y 1
= x2 - x 1
18.50 - 13.50 __
5 - 3
= _ 5 = 2.5 Usa (3, 13.50) y (5, 18.50).
2
Paso 2 Sustituye la pendiente y un par ordenado cualquiera de la tabla en la
forma de punto y pendiente.
y - y 1 = m(x - x 1)
y - 31 = 2.5(x - 10) Usa (10, 31).
Paso 3 Halla y para escribir la ecuación en forma de pendiente-intersección.
y - 31 = 2.5 (x - 10)
y - 31 = 2.5x - 25 Distribuye 2.5.
y = 2.5x + 6
Suma 31 a ambos lados.
Paso 4 Sustituye x por 18 para hallar el costo de un anuncio de 18 líneas.
y = 2.5x + 6
y = 2.5 (18) + 6 = 51
El costo de un anuncio de 18 líneas es $51.
4 Repasa
Si la ecuación es correcta, los pares ordenados que no usaste en el Paso 2 serán
soluciones. Sustituye (3, 13.50) y (5, 18.50) en la ecuación.
y = 2.5x + 6
13.50 2.5 (3) + 6
13.5 7.5 + 6
13.5 13.5 ✓
y = 2.5x + 6
18.50 2.5 (5) + 6
18.5 12.5 + 6
18.5 18.5 ✓
5. ¿Y si... En la tabla se muestra el
costo de publicar un anuncio durante
una semana en otro periódico.
Escribe una ecuación en forma de
pendiente-intersección que represente
esta función lineal. Luego, halla el
costo de un anuncio de 21 líneas.
Líneas Costo ($)
3 12.75
5 17.25
10 28.50
RAZONAR Y COMENTAR
1. ¿En qué se parecen la forma de punto y pendiente y la forma de pendienteintersección
¿En qué se diferencian
2. ¿En qué caso es útil la forma de punto y pendiente ¿En qué caso es útil la
forma de pendiente-intersección
3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro,
describe cómo hallar la ecuación de una línea mediante el método dado.
Cómo escribir la ecuación de una línea
Si conoces
dos puntos
sobre una línea
Si conoces la
pendiente y la
intersección con el eje y
Si conoces la
pendiente y un
punto sobre la línea
344 Capítulo 5 Funciones lineales

5-7
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 5, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 4, 6, 10
CLAVE: MA7 5-7
VER EJEMPLO 1
pág. 341
VER EJEMPLO 2
pág. 342
VER EJEMPLO 3
pág. 342
VER EJEMPLO 4
pág. 343
PRÁCTICA GUIADA
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
Representa gráficamente la línea usando la pendiente dada que contiene el punto dado.
1. pendiente = 1; (1, 0) 2. pendiente =-1; (3, 1) 3. pendiente =-2; (-4, -2)
Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para la línea con la pendiente
dada que contiene el punto dado.
4. pendiente = _ 1 ; (2, -6) 5. pendiente =-4; (1, 5) 6. pendiente = 0; (3, -7)
5
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea con la pendiente
dada que contiene el punto dado.
; (-6, -2)
7. pendiente = -_
1 3 ; (-3, 8) 8. pendiente = 2; (1, 1) 9. pendiente = _ 1 3
10. pendiente = 2; (-1, 1) 11. pendiente = 3; (2, -7) 12. pendiente =-4; (4, 2)
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por los
dos puntos.
13. (-2, 2) y (2, -2) 14. (0, -4) y (1, -6) 15. (1, 1) y (-5, 3)
16. (-3, 1) y (0, 10) 17. (7, 8) y (6, 9) 18. (0, -2) y (2, 8)
VER EJEMPLO 5
pág. 343
19. Medición Un tanque de petróleo se llena a una tasa
constante. En la tabla se muestra la profundidad del petróleo
en función de la cantidad de minutos que tarda en llenarse
el tanque. Escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
que represente esta función lineal. Luego, halla
la profundidad del petróleo al cabo de media hora.
Tiempo
(min)
Profundidad
(pies)
0 3
10 5
15 6
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
20–22 1
23–28 2
29–34 3
35–40 4
41 5
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S13
Práctica de aplicación
pág. S32
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Representa gráficamente la línea usando la pendiente dada que contiene el punto dado.
20. pendiente =- _ 1 2 ; (-3, 4) 21. pendiente = _ 3 ; (1, -2) 22. pendiente = 4; (-1, 0)
5
Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para la línea con la pendiente
dada que contiene el punto dado.
23. pendiente = _ 2 ; (-1, 5)
9
24. pendiente = 0; (4, -2) 25. pendiente = 8; (1, 8)
26. pendiente = _ 1 ; (-8, 3)
2
27. pendiente = 3; (4, 7) 28. pendiente =-2; (-1, 3)
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea con la pendiente
dada que contiene el punto dado.
29. pendiente =- _ 2 7 ; (14, -3) 30. pendiente = _ 4 5 ; (-15, 1) 31. pendiente =- _ 1 ; (4, -1)
4
32. pendiente =-6; (9, 3) 33. pendiente =-5; (2, 3) 34. pendiente = _ 1 ; (-5, -2)
5
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por los
dos puntos.
35. (7, 8) y (-7, 6) 36. (2, 7) y (-4, 4) 37. (-1, 2) y (4, -23)
38. (4, -1) y (-8, -10) 39. (0, 11) y (-7, -3) 40. (1, 27) y (-2, 12)
5-7 Forma de punto y pendiente 345

Ciencias
41. Ciencia A mayor altitud, el agua hierve a menor
temperatura. Esta relación entre la altitud y el punto
de ebullición es lineal. En la tabla se muestran
algunas altitudes y sus puntos de ebullición
correspodientes. Escribe una ecuación en forma de
pendiente-intersección que represente esta función
lineal. Luego, halla el punto de ebullición a 6000 pies.
Punto de ebullición del agua
Altitud (pies) Temperatura (° F)
1000 210
1500 209
3000 206
El Pico Guadalupe, de
8749 pies de altitud,
es el punto más elevado
de Texas. Se encuentra
en la parte occidental
del estado.
En las tablas se muestran relaciones lineales entre x e y. Copia y completa las tablas.
42.
x -2 0 7
43.
x -4 1 0
y -18 12 27
y 14 4 -6
44. /ANÁLISIS DE ERRORES / Dos estudiantes usaron la forma de punto y pendiente
para hallar una ecuación que describe la línea con pendiente -3 que pasa por ( -5, 2) .
¿Quién está equivocado Explica el error.
45. Razonamiento crítico Compara los métodos para hallar la ecuación que describe una
línea cuando conoces
• un punto sobre la línea y la pendiente de la línea.
• dos puntos sobre la línea.
¿En qué se parecen los métodos ¿En qué se diferencian
46. Escríbelo Explica por qué el primer enunciado es falso pero y el segundo es verdadero.
• Todas las ecuaciones lineales se pueden escribir en forma de punto y pendiente.
• Todas las ecuaciones lineales que describen funciones se pueden escribir en forma de
punto y pendiente.
47. Varios pasos En la tabla se muestran los puntajes medios combinados (oral y de
matemáticas) del examen SAT durante varios años.
Años desde 1980 0 5 10 17 21
Puntaje medio combinado 994 1009 1001 1016 1020
a. Haz un diagrama de dispersión con los datos y agrega una línea de tendencia a tu gráfica.
b. Usa la línea de tendencia para estimar la pendiente y la intersección con el eje y y
escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección.
c. ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje y en esta situación
48. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la
página 364.
a. Stephen camina desde su casa hasta la casa de su amiga Sharon. Cuando está a
12 cuadras, mira el reloj. Vuelve a mirarlo cuando está a 8 cuadras y observa que
han pasado 6 minutos. Escribe dos pares ordenados para estos datos en la forma
(tiempo, cuadras).
b. Escribe una ecuación lineal para estos dos puntos.
c. ¿Cuánto tarda en total Stephen en llegar a la casa de Sharon Explica cómo hallaste
la respuesta.
346 Capítulo 5 Funciones lineales

49. ¿Qué ecuación describe la línea que pasa por (-5, 1) con una pendiente de 1
y + 1 = x - 5 y - 1 = -5(x - 1)
y + 5 = x - 1 y - 1 = x + 5
50. Una línea contiene (4, 4) y (5, 2). ¿Cuáles son la pendiente y la intersección con el eje y
pendiente = -2 ; eje y = 2 pendiente = -2; eje y = 12
pendiente = 1.2 ; eje y =-2 pendiente = 12; eje y = 1.2
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
51. Una función lineal tiene misma intersección con el eje y que x + 4y = 8 y su gráfica
contiene el punto (2, 7). Halla la pendiente y la intersección con el eje y.
52. Escribe la ecuación de una línea en forma de pendiente-intersección que contenga ( 3__
4 , 1__
y tenga la misma pendiente que la línea descrita por y + 3x = 6.
53. Escribe la ecuación de una línea en forma de pendiente-intersección que contenga
(- 1__
2 , - 1__
3) y (1 1__
2 , 1 ).
REPASO EN ESPIRAL
Resuelve cada desigualdad compuesta y representa gráficamente las soluciones. (Lección 3-6)
54. -4 ≤ x + 2 ≤ 1 55. m - 5 > -7 Y m + 1 < 2
Representa gráficamente cada función. (Lección 4-4)
56. y = x - 3 57. y = x 2 + 5 58. y = ⎪2x⎥
Escribe la ecuación que describe cada línea en forma de pendiente-intersección. (Lección 5-6)
59. pendiente = 3, eje y =-5 60. pendiente =-2, el punto (2, 4) está sobre la línea
2)
CLAVE: MA7 Career
P: ¿Qué cursos de matemáticas tomaste en la escuela superior
R: Álgebra 1 y 2, geometría y estadística
P: ¿Qué cursos de matemáticas has tomado en la universidad
R: Estadística aplicada, métodos de minería de datos, búsqueda
en Internet e inteligencia artificial
P: ¿Para qué usas las matemáticas
R: Una vez usé un programa de computación para analizar
estadísticas de básquetbol para una clase. Lo que aprendí me
ayudó a desarrollar estrategias para nuestro equipo escolar.
Michael Raynor
Estudiante de minería
de datos
P: ¿Cuáles son tus planes futuros
R: Hay muchas opciones para las personas que estudiaron
minería de datos. Podría trabajar en un banco, en la industria
farmacéutica o hasta en la industria militar. Pero mi sueño es
desarrollar estrategias de juego para un equipo de la NBA.
5-7 Forma de punto y pendiente 347

5-7
Para usar con
la Lección 5-7
Actividad
Representar gráficamente
funciones lineales
Puedes usar una calculadora de gráficas para representar rápidamente líneas
cuyas ecuaciones están en forma de punto y pendiente. Debes hallar y en la
ecuación antes de escribirla en tu calculadora, pero no es necesario que esté en
forma de pendiente-intersección.
TEKS A.6.D Funciones lineales: representar gráficamente y escribir ecuaciones
de líneas a partir de ciertas características como … un punto y una pendiente …
Ver también A.5.C
Representa gráficamente la línea con pendiente 2 que contenga
el punto (2, 6.09) .
1 Usa la forma de punto y pendiente.
y - y 1 = m(x - x 1)
y - 6.09 = 2(x - 2)
CLAVE: MA7 LAB5
2 Halla y sumando 6.09 a ambos lados de la ecuación.
y - 6.09 = 2 (x - 2)
+ 6.09 + 6.09
−−−−−− −−−−−
y = 2 (x - 2) + 6.09
3 Escribe esta ecuación en tu calculadora.
2 2 6.09
4 Para hacer la representación gráfica en la ventana
de visión estándar, oprime y selecciona
6:ZStandard. En esta ventana, los ejes x e y van
de -10 a 10.
5 Observa que la escala del eje y es menor que la escala
del eje x. Esto se debe a que el ancho de la pantalla de
la calculadora es aproximadamente 50% más grande
que la altura. Para ver una gráfica más precisa de esta
línea, usa la ventana de visión ampliada. Oprime
y selecciona 5:ZSquare.
TAKS Grado 8, Obj. 2
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3
1. Representa gráficamente la función de la línea con pendiente -1.5 que contiene el
punto (2.25, -3). Mira la gráfica en la ventana de visión estándar.
Inténtalo
2. Ahora mira la gráfica en la ventana de visión ampliada. Oprime y escribe los
valores mínimo y máximo sobre los ejes x e y.
3. ¿En qué gráfica la línea es más pronunciada ¿Por qué
4. Explica por qué a veces es útil mirar una gráfica en un ventana ampliada.
348 Capítulo 5 Funciones lineales

5-8
Pendientes de líneas paralelas
y perpendiculares
TEKS A.5.C Funciones lineales: usar, convertir y relacionar… descripciones
algebraicas, tabulares, gráficas o descripciones con palabras de las
funciones lineales.
Objetivos
Identificar y representar
gráficamente líneas
paralelas y perpendiculares
Escribir ecuaciones para
describir líneas paralelas o
perpendiculares respecto
de una línea dada
Vocabulario
líneas paralelas
líneas perpendiculares
Ver también A.3.A,
A.6.A, A.6.B
¿Para qué sirve
Las líneas paralelas y sus ecuaciones
sirven para hacer un modelo de costos,
como por ejemplo el costo de un
puesto en un mercado de granjeros.
Para vender en un mercado de granjeros
durante un año, debes pagar una cuota de
$100. Luego pagas $3 por cada hora que
vendes en el mercado. Sin embargo, si eras
miembro el año anterior, el arancel se
reduce a $50.
• La línea roja muestra el costo total si eres
un miembro nuevo.
• La línea azul muestra el costo total si no
eres un miembro nuevo.
Estas líneas son paralelas. Las líneas
paralelas son líneas de un mismo plano
que no tienen puntos en común.
Es decir, no se cruzan.
Líneas paralelas
Aranceles del mercado de granjeros
Aranceles totales ($)
120
100
80
60
40
20
0
y = 3x + 100
y = 3x + 50
1 2 3 4 5 6
Tiempo (h)
CON
PALABRAS
Dos líneas no verticales distintas
son paralelas sólo si tienen la
misma pendiente.
Todas las líneas verticales distintas
son paralelas.
GRÁFICA
EJEMPLO 1 Identificar líneas paralelas
Identifica las líneas paralelas.
A y = 4_ 3 x + 3; y = 2; y = 4_ 3
x - 5; y =-3
Las líneas descritas por y = 4__
3 x + 3 e
y = 4__
3
x - 5 tienen una pendiente de
4__
3 .
Estas líneas son paralelas. Las dos líneas
descritas por y = 2 e y =-3 tienen
pendiente 0. Estas líneas son paralelas.
5- 8 Pendientes de líneas paralelas y perpendiculares 349

Identifica las líneas paralelas.
B y = 3x + 2; y =- 1_ 2
x + 4; x + 2y =-4; y - 5 = 3 (x - 1)
Escribe todas las ecuaciones en forma de pendiente-intersección para
determinar las pendientes.
y = 3x + 2 y =- 1_ 2 x + 4
forma de pendiente-intersección ✓ forma de pendiente-intersección ✓
x + 2y =-4 y - 5 = 3 (x - 1)
- x - x y - 5 = 3x - 3
−−−−−− −−−
+ 5 + 5
2y =-x - 4
−−−− −−−−
_ 2y
2 = _ -x - 4
y = 3x + 2
2
y =- 1_ 2 x - 2
Las líneas descritas por y = 3x + 2 y
y - 5 = 3(x - 1) tienen la misma
pendiente pero no son líneas paralelas.
Son la misma línea.
Las líneas descritas por y =- 1__ 2 x + 4
y x + 2y =-4 representan líneas
paralelas. Cada una tiene pendiente - 1__
2 .
Identifica las líneas paralelas.
1a. y = 2x + 2; y = 2x + 1; y =-4; x = 1
1b. y = _ 3 x + 8; -3x + 4y = 32; y = 3x; y - 1 = 3 (x + 2)
4
EJEMPLO 2 Aplicación a la geometría
En un paralelogramo,
los lados opuestos
son paralelos.
Demuestra que ABCD es un paralelogramo.
Usa los pares ordenados y la fórmula de la pendiente
para hallar las pendientes de AB −− y CD.
−−
pendiente de AB −− = _ 7 - 5
4 - (-1) = _ 2 5
pendiente de CD −− = _ 3 - 1
4 - (-1) = _ 2 5
−−
AB y CD −− son paralelas porque tienen la
misma pendiente.
−−
AD y BC −− son paralelas porque las dos son verticales.
Por lo tanto, ABCD es un paralelogramo porque ambos pares de lados
opuestos son paralelos.
2. Demuestra que los puntos A (0, 2) , B (4, 2) , C (1, -3) y D
(-3, -3) son los vértices de un paralelogramo.
350 Capítulo 5 Funciones lineales

Las líneas perpendiculares son líneas que se cruzan y forman ángulos rectos (90°).
Líneas perpendiculares
CON
PALABRAS
GRÁFICA
Dos líneas no verticales distintas
son perpendiculares sólo si el
producto de sus pendientes es -1.
Todas las líneas verticales
son perpendiculares a las
líneas horizontales.
EJEMPLO 3 Identificar líneas perpendiculares
Identifica 1_ las líneas perpendiculares: x =-2; y = 1; y =-4x;
y + 2 = (x + 1) .
4
La gráfica descrita por x =-2 es una
línea vertical y la gráfica descrita por
y = 1 es una línea horizontal. Estas líneas
son perpendiculares.
La pendiente de la línea descrita por
y = -4x es -4. La pendiente de la línea
descrita por y + 2 = 1__ 4 (x - 1) es 1__ 4 .
(-4) ( 1_ 4 ) =-1
Estas líneas son perpendiculares porque el producto de sus pendientes es -1.
3. Identifica las líneas perpendiculares:
y =-4; y - 6 = 5 (x + 4) ; x = 3; y =- 1__ 5 x + 2.
EJEMPLO 4 Aplicación a la geometría
Un triángulo
rectángulo tiene un
ángulo recto. En el
Ejemplo 4, es evidente
que ∠P y ∠R no son
ángulos rectos; por
lo tanto, la única
posibilidad es ∠Q.
Demuestra que PQR es un triángulo rectángulo.
Si PQR es un triángulo rectángulo, PQ −− será
perpendicular a QR.
−−
pendiente de PQ −− = _ 3 - 1 2_
3 - 0 = 3
pendiente de QR −− = _ 3 - 0
3 - 5 = 3_ 3_
-2 = - 2
−−
PQ es perpendicular a QR −− 2_ porque
3 ( 3_ - 2 ) =-1.
Por lo tanto, PQR es un triángulo rectángulo porque tiene un ángulo recto.
4. Demuestra que P (1, 4) , Q (2, 6) y R (7, 1) son vértices de un
triángulo rectángulo.
5- 8 Pendientes de líneas paralelas y perpendiculares 351

EJEMPLO 5 Escribir ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares
A Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que
pasa por (4, 5) y es paralela a la línea descrita por y = 5x + 10.
Paso 1 Halla la pendiente de la línea.
y = 5x + 10 La pendiente es 5.
La línea paralela también tiene una pendiente de 5.
Paso 2 Escribe la ecuación en forma de punto y pendiente.
y - y 1 = m(x - x 1)
y- 5 = 5(x - 4)
Usa la forma de punto y pendiente.
Sustituye m por 5, x 1 por 4 e y 1 por 5.
Paso 3 Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
Si conoces la
pendiente de una
línea, la pendiente
de una línea
perpendicular será el
“recíproco opuesto”.
2_
3 →- _ 3 2
1_
5 →-5
-7 → _ 1 7
y - 5 = 5 (x - 4)
y - 5 = 5x - 20
y = 5x - 15
Distribuye 5 en el lado derecho.
Suma 5 a ambos lados.
B Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que
pasa por (3, 2) y es perpendicular a la línea descrita por y = 3x - 1.
Paso 1 Halla la pendiente de la línea.
y = 3x - 1 La pendiente es 3.
1__ La línea perpendicular tiene una pendiente de -
3 , porque 3 (- 1__
3) =-1.
Paso 2 Escribe la ecuación en forma de punto y pendiente.
y - y 1 = m(x - x 1) Usa la forma de punto y pendiente.
1_ y- 2 = - (x - 3)
3
Sustituye m por - 1__
3 ,x 1 por 3 e y 1 por 2.
Paso 3 Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
y - 2 = -_
1 (x - 3)
3
y - 2 = -_
1 x + 1
3
Distribuye -
1__
en el lado derecho.
3
y =- _ 1 3 x + 3 Suma 2 a ambos lados.
5a. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección
para la línea que pasa por (5, 7) y es paralela a la línea descrita
por y = 4__
5 x - 6.
5b. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para
la línea que pasa por (-5, 3) y es perpendicular a la línea descrita
por y = 5x.
RAZONAR Y COMENTAR
1. ¿Son perpendiculares las líneas descritas por y = __ 1 x e y = 2x Explica.
2
2. Describe las pendientes y las intersecciones con el eje y de dos líneas
no verticales que son paralelas.
3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador Líneas Líneas
gráfico. En cada recuadro, dibuja un ejemplo paralelas perpendiculares
y describe las pendientes.
352 Capítulo 5 Funciones lineales

5-8
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 7, 10
CLAVE: MA7 5-8
PRÁCTICA GUIADA
1. Vocabulario Las líneas tienen la misma pendiente.
(paralelas o perpendiculares)
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
VER EJEMPLO 1
pág. 349
Identifica las líneas paralelas.
2. y = 6; y = 6x + 5; y = 6x - 7; y =-8
3. y = _ 3 4 x - 1; y =-2x; y - 3 = _ 3 (x - 5) ; y - 4 = -2 (x + 2)
4
VER EJEMPLO 2
pág. 350
4. Geometría Demuestra que ABCD es un trapecio.
(Pista: en un trapecio, dos lados opuestos son paralelos).
VER EJEMPLO 3
pág. 351
Identifica las líneas perpendiculares.
5. y = _ 2 3 x - 4; y =- _ 3 x + 2; y =-1; x = 3
2
6. y =- _ 3 x - 4; y - 4 = -7 (x + 2) ;
7
y - 1 = _ 1 7 (x - 4) ; y - 7 = _ 7 (x - 3)
3
VER EJEMPLO 4
pág. 351
7. Geometría Demuestra que PQRS es un rectángulo.
(Pista: en un rectángulo, los cuatro ángulos son ángulos rectos).
VER EJEMPLO 5
pág. 352
8. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección
para la línea que pasa por (5, 0) y que es perpendicular a la
línea descrita por y =- 5__
2 x + 6.
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
9–11 1
12 2
13–15 3
16 4
17 5
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S13
Práctica de aplicación
pág. S32
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Identifica las líneas paralelas.
9. x = 7; y =- _ 5 6 x + 8; y =- _ 5 x - 4; x =-9
6
10. y =-x; y - 3 = -1(x + 9) ; y - 6 = 1 _
2 (x - 14) ; y + 1 = 1 _
2 x
11. y =-3x + 2; y = _ 1 x - 1; -x + 2y = 17; 3x + y = 27
2
12. Geometría Demuestra que LMNP es
un paralelogramo.
Identifica las líneas perpendiculares.
13. y = 6x; y = _ 1 6 x; y =- _ 1 x; y =-6x
6
14. y - 9 = 3 (x + 1) ; y =- _ 1 x + 5; y = 0; x = 6
3
15. x - 6y = 15; y = 3x - 2; y =-3x - 3; y =-6x - 8; 3y =-x - 11
5- 8 Pendientes de líneas paralelas y perpendiculares 353

16. Geometría Demuestra que ABC es un
triángulo rectángulo.
17. Escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
para la línea que pasa por (0, 0) y que es
paralela a la línea descrita por y =- 6__
7 x + 1.
Sin representar gráficamente, indica si las líneas son
paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.
18. x = 2 e y =-5 19. y = 7x e y - 28 = 7 (x - 4)
20. y = 2x - 1 e y = _ 1 2 x + 2 21. y - 3 = _ 1 4 (x - 3) e y + 13 = _ 1 (x + 1)
4
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que es paralela a
la línea dada y que pasa por el punto dado.
22. y = 3x - 7; (0, 4) 23. y = _ 1 x + 5; (4, -3)
2
24. 4y = x; (4, 0)
25. y = 2x + 3; (1, 7) 26. 5x - 2y = 10; (3, -5) 27. y = 3x - 4; (-2, 7)
28. y = 7; (2, 4) 29. x + y = 1; (2, 3) 30. 2x + 3y = 7; (4, 5)
31. y = 4x + 2; (5, -3) 32. y = _ 1 x - 1; (0, -4) 33. 3x + 4y = 8; (4, -3)
2
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que es
perpendicular a la línea dada y que pasa por el punto dado.
34. y =-3x + 4; (6, -2) 35. y = x - 6; (-1, 2) 36. 3x - 4y = 8; (-6, 5)
37. 5x + 2y = 10; (3, -5) 38. y = 5 - 3x; (2, -4) 39. -10x + 2y = 8; (4, -3)
40. 2x + 3y = 7; (4, 5) 41. 4x - 2y =-6; (3, -2) 42. -2x - 8y = 16; (4, 5)
43. y =-2x + 4; (-2, 5) 44. y = x - 5; (0, 5) 45. x + y = 2; (8, 5)
46. Escribe una ecuación que describa la línea que es paralela al eje y y que está 6 unidades a
la derecha del eje y.
47. Escribe una ecuación que describa la línea que es perpendicular al eje y y que está 4
unidades por debajo del eje x.
48. Razonamiento crítico ¿Es posible que dos funciones lineales que se representan
gráficamente como líneas paralelas tengan la misma intersección con el eje y Explica.
49. Estimación Estima la pendiente de una línea que es perpendicular a la línea que pasa
por (2.07, 8.95) y (-1.9, 25.07) .
50. Escríbelo Explica con palabras cómo se escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
que describa una línea paralela a y - 3 = -6(x - 3) .
51. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la
página 364.
a. Flora camina a una velocidad 50 pasos por minuto desde su casa hasta la parada del
autobús. Escribe una regla que dé la distancia desde su casa (en pasos) en función
del tiempo.
b. Dan, el vecino de Flora, vive 30 pasos más cerca de la parada del autobús y comienza
a caminar al mismo tiempo y con el mismo ritmo que Flora. Escribe una regla que dé
la distancia entre la casa de Dan y la casa de Flora en función del tiempo.
c. ¿Encontrará Flora a Dan en su camino Usa una gráfica para explicar tu respuesta.
354 Capítulo 5 Funciones lineales

52. ¿Cuál de las siguientes opciones describe una línea paralela a la línea descrita por
y =-3x + 2
y =-3x
y = _ 1 3 x y = 2 - 3x y = _ 1 3 x + 2
53. ¿Cuál de las siguientes opciones describe una línea que pasa por (3, 3) y que es
perpendicular a la línea descrita por y = 3__ 5 x + 2
y = _ 5 3 x - 2 y = _ 3 5 x + _ 6 5
54. Respuesta gráfica La gráfica de una función lineal f(x) es paralela a la línea descrita
por 2x + y = 5 y contiene el punto (6, –2). ¿Cuál es la intersección con el eje y de f(x)
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
55. Tres o más puntos que están sobre la misma línea se llaman puntos colineales. Explica
por qué los puntos A, B y C deben ser colineales si la línea que contiene A y B tiene la
misma pendiente que la línea que contiene B y C.
56. Las líneas descritas por y = (a + 12) x + 3 e y = 4ax son paralelas. ¿Cuál es el valor de a
57. Las líneas descritas por y = (5a + 3) x e y =- 1__ x son perpendiculares. ¿Cuál es el valor
2
de a
y
(0, a)
58. Geometría En el diagrama se muestra un
(a, a)
cuadrado del plano cartesiano. Usa el diagrama
para mostrar que las diagonales de un cuadrado
son perpendiculares.
x
REPASO EN ESPIRAL
59. El récord de temperatura máxima de una determinada ciudad es 112° F. La temperatura
esta mañana fue 94° F y aumentará t grados. Escribe y resuelve una desigualdad para
hallar todos los valores de t que batirían el récord de temperatura máxima. (Lección 3-2)
(0, 0)
Representa gráficamente cada función. (Lección 4-4)
60. y =-3x + 5 61. y = x - 1 62. y = x 2 - 3
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea con la pendiente
dada que contiene el punto dado. (Lección 5-7)
63. pendiente = _ 2 3 ; (6, -1) 64. pendiente =-5; (2, 4) 65. pendiente =- _ 1 ; (-1, 0)
2
66. pendiente =- _ 1 ; (-4, -2)
5
(a, 0)
3 ; (2, 7) 67. pendiente = 0; (-3, 3) 68. pendiente = 1 _
5- 8 Pendientes de líneas paralelas y perpendiculares 355

5-9
Para usar con
la Lección 5-9
Actividad
La familia de las
funciones lineales
Una familia de funciones es un conjunto de funciones
cuyas gráficas tienen características básicas en común.
Por ejemplo, todas las funciones lineales forman una
familia. Puedes usar una calculadora de gráficas para
explorar familias de funciones.
TEKS A.6.C Funciones lineales: investigar, describir y
predecir los efectos que producen los cambios en m y b
en la gráfica de y = mx + b. Ver también A.2.A
CLAVE: MA7 LAB5
Representa gráficamente las líneas descritas por y = x - 2, y = x - 1, y = x, y = x + 1,
y = x + 2, y = x + 3 e y = x + 4. ¿Cómo afecta el valor de b a la gráfica descrita
por y = x + b
1 Todas las funciones están en la forma y = x + b.
Escríbelas en el editor Y=.
2
1
y así sucesivamente.
2 Oprime y selecciona 6:Zstandard.
Piensa en los distintos valores de b a
medida que miras las gráficas que se
dibujan. Observa que las líneas son
todas paralelas.
3 El valor de b en y = x + b hace que la
gráfica se desplace hacia arriba o hacia
abajo: hacia arriba si b es positivo y hacia
abajo si b es negativo.
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3
Grados 9 a 11, Obj. 1, 3, 6
1. Predice las líneas descritas por y = 2x - 3, y = 2x - 2, y = 2x - 1, y = 2x, y = 2x + 1,
y = 2x + 2 e y = 2x + 3. Luego represéntalas gráficamente. ¿Fue correcta tu predicción
Inténtalo
2. Ahora usa tu calculadora para averiguar qué pasa con la gráfica de y = mx cuando
cambias el valor de m.
a. Haz una predicción ¿Qué relación crees que habrá entre las líneas descritas por
y =-2x, y =-x, y = x e y = 2x. ¿En qué se parecerán ¿En qué se diferenciarán
b. Representa gráficamente las funciones dadas en la parte a. ¿Fue correcta
tu predicción
c. ¿En qué se diferencia el efecto de m cuando m es positivo del efecto cuando
m es negativo
356 Capítulo 5 Funciones lineales

A.3.A, A-6-F, A.7.A
Objetivo
Describir de qué forma el
cambio de la pendiente y
la intersección con el eje y
afectan a la gráfica de una
función lineal
Vocabulario
familia de funciones
función madre
transformación
traslación
rotación
reflexión
5-9
Transformación de
funciones lineales
TEKS A.6.C Funciones lineales: investigar, describir y predecir los efectos que
producen los cambios en m y b en la gráfica de y = mx + b. Ver también A.2.A, A.2.C,
¿Quién lo usa
Los dueños de negocios usan
transformaciones para mostrar los efectos
de los cambios de precios, por ejemplo,
el precio del grabado de un trofeo.
(Ver Ejemplo 5)
Una familia de funciones es un conjunto
de funciones cuyas gráficas tienen
características básicas en común. Por
ejemplo, todas las funciones lineales forman
una familia porque todas sus gráficas tienen
la misma forma básica.
Una función madre es la función más básica
de una familia. En el caso de las funciones lineales,
la función madre es f(x) = x.
Las gráficas de las demás funciones lineales son transformaciones de la gráfica de la
función madre f(x) = x. Una transformación es un cambio en la posición o tamaño
de una figura.
Hay tres tipos de transformaciones: traslaciones, rotaciones y reflexiones.
Observa las siguientes cuatro funciones y sus gráficas.
El equipo de las Lechuzas de la Universidad
de Rice ganó el campeonato de béisbol de
1ra división de la NCAA en 2003
La notación de
función, f(x), g(x),
etcétera, se puede
usar en lugar de y.
y = f(x)
Observa que todas las líneas anteriores son paralelas. Las pendientes son la mismas,
pero las intersecciones con el eje y son diferentes.
Las gráficas de g(x) = x + 3, h(x) = x - 2 y k(x) = x - 4 son traslaciones verticales de
la gráfica de la función madre: f(x) = x. Una traslación es un tipo de transformación
que mueve cada punto la misma distancia en la misma dirección. Podemos pensar
en una traslación como un “deslizamiento”.
Traslación vertical de una función lineal
Cuando se cambia b, la intersección con el eje y, en la función f(x) = mx + b, la gráfica
es una traslación vertical.
• Si b aumenta, la gráfica se traslada hacia arriba.
• Si b disminuye, la gráfica se traslada hacia abajo.
5- 9 Transformación de funciones lineales 357

EJEMPLO 1 Trasladar funciones lineales
Representa gráficamente f(x) = x y g(x) = x - 5. Luego, describe la
transformación de la gráfica de f(x) en la gráfica de g(x).
La gráfica de g(x) = x - 5 es el resultado de trasladar la gráfica
de f(x) = x 5 unidades hacia abajo.
1. Representa gráficamente f(x) = x + 4 y g(x) = x - 2. Luego,
describe la transformación de la gráfica de f (x) en la gráfica de g(x).
Las gráficas de g(x) = 3x, h(x) = 5x y
k(x) = 1__ x son rotaciones de la gráfica de
2
f(x) = x. Una rotación es una transformación
alrededor de un punto. Puedes imaginar una
rotación como un “giro”. Las intersecciones con
el eje y son las mismas, pero las pendientes
son diferentes.
Rotación de una función lineal
Cuando se cambia la pendiente m en la función f(x) = mx + b, se produce una rotación
de la gráfica alrededor del punto (0, b), lo que cambia la inclinación de la línea.
EJEMPLO 2 Rotar funciones lineales
Representa gráficamente f(x) = x + 2 y g(x) = 2x + 2. Luego, describe la
transformación de la gráfica de f(x) en la gráfica de g(x).
Para más información
sobre transformaciones
de funciones lineales,
consulta Modelos de
transformación en la
página xxxvi.
4 y
f(x) = x + 2
2
x
-4 0 2
g(x) = 2x + 2
La gráfica de g(x) = 2x + 2 es el resultado de rotar la gráfica de f( x) = x + 2
alrededor de (0, 2). La gráfica de g(x) es más pronunciada que la gráfica de f(x).
2. Representa gráficamente f (x) = 3x - 1 y g(x) = 1__ x - 1. Luego,
2
describe la transformación de la gráfica de f (x) en la gráfica de g(x).
358 Capítulo 5 Funciones lineales

En el diagrama se muestra la reflexión de la
gráfica de f (x) = 2x a través del eje y, que da como
resultado la gráfica de g(x) =-2x. Una reflexión
es una transformación a través de una línea que
produce una imagen de espejo. Puedes imaginar
una rotación como una “vuelta” sobre una línea.
Reflexión de una función lineal
Cuando se multiplica la pendiente m por -1 en f(x) = mx + b, la gráfica se refleja a
través del eje y.
EJEMPLO 3 Reflejar funciones lineales
Representa gráficamente f(x). Luego refleja la gráfica de f(x) del eje y. Describe
la nueva gráfica con una función g(x).
A
f (x) = x
Para hallar g(x), multiplica el valor de m por -1.
En f (x) = x, m = 1.
1(-1) = -1 Éste es el valor de m para g (x).
g(x) = -x
B f (x) =-4x - 1
y
4
f(x)
g(x)
-2 0 2
x
Para hallar g(x), multiplica el valor de m por -1.
En f (x) =-4x - 1, m = -4.
-4(-1) = 4 Este es el valor de m para g (x).
g(x) = 4x - 1
3. Representa gráficamente f (x) = 2__ x + 2. Luego, refleja la gráfica
3
de f (x) a través del eje y. Describe la nueva gráfica con una
función g(x).
5- 9 Transformación de funciones lineales 359

EJEMPLO 4 Transformaciones múltiples de funciones lineales
Representa gráficamente f(x) = x y g(x) = 3x + 1. Luego, describe las
transformaciones de la gráfica de f(x) en la gráfica de g(x).
Halla las transformaciones de f(x) = x que darán
como resultado g(x) = 3x + 1:
h(x) = 3x
• Multiplica f(x) por 3 para obtener h(x) = 3x.
Esto rota la gráfica alrededor de (0, 0) y la hace
más pronunciada.
• Luego suma 1 a h(x) para obtener g(x) = 3x + 1.
Esto traslada la gráfica 1 unidad hacia arriba.
Las transformaciones son una rotación y
una traslación.
y g(x) = 3x + 1 f(x) = x
4
x
-4 -2 2 4
-4
4. Representa gráficamente f (x) = x y g(x) =-x + 2. Luego, describe
las transformaciones de la gráfica de f (x) en la gráfica de g(x).
EJEMPLO 5 Aplicación a los negocios
Una empresa de trofeos cobra $175
por trofeo más $0.20 por cada letra
grabada. El precio total de un trofeo
con x letras está dado por la función
f(x) = 0.20x + 175. ¿Cómo cambiará
la gráfica si el costo del trofeo baja a
$177 y el costo por letra aumenta
a $0.50
La ecuación f(x) = 0.20x + 175 se
representa gráficamente en azul.
Costo ($)
Si el costo del trofeo baja a $172, la nueva
función es g(x) = 0.20x + 172.
La gráfica original se trasladará 3 unidades hacia abajo.
Costo del trofeo
176
175
174
173
172
171
170
Si el costo de cada letra aumenta a $0.50, la nueva función es
h(x) = 0.50x + 175. La gráfica original rotará alrededor de (0, 175)
y será más pronunciada.
0
1 2 3 4 5 6
Letras
5. ¿Y si... ¿Cómo cambiará la gráfica si el costo por letra baja
a $0.15 ¿Y si el costo del trofeo aumenta a $180
RAZONAR Y COMENTAR
1. Describe la gráfica de f(x) = x + 3.45.
2. Observa las gráficas del Ejemplo 5. Para cada línea, ¿es cada uno de los
puntos de la línea una solución en este caso Explica.
3. ORGANÍZATE Copia y completa el
organizador gráfico. En cada recuadro, Transformaciones de f(x) = x
traza una gráfica de la transformación
dada de f(x) = x y rotula la gráfica con
una ecuación posible.
Traslación Rotación Reflexión
360 Capítulo 5 Funciones lineales

5-9
Ejercicios
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 5, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6, 7, 9, 10
CLAVE: MA7 5-9
CLAVE: MA7 Parent
*(Disponible sólo en inglés)
PRÁCTICA GUIADA
Vocabulario Aplica el vocabulario de esta lección para responder a cada pregunta.
1. Al cambiar el valor de b en f(x) = mx + b, el resultado es una de la gráfica.
(traslación o reflexión)
2. Al cambiar el valor de m en f (x) = mx + b el resultado es una de la gráfica.
(traslación o reflexión)
VER EJEMPLO 1
pág. 358
VER EJEMPLO 2
pág. 358
VER EJEMPLO 3
pág. 359
VER EJEMPLO 4
pág. 360
VER EJEMPLO 5
pág. 360
Representa gráficamente f(x) y g(x). Luego, describe la transformación de la gráfica
de f(x) a la gráfica de g(x).
3. f (x) = x, g(x) = x - 4 4. f (x) = x, g(x) = x + 1
5. f (x) = x, g(x) = x + 2 6. f (x) = x, g(x) = x - 6.5
7. f (x) = x, g(x) = _ 1 4 x 8. f (x) = _ 1 x + 3, g(x) = x + 3
5
9. f (x) = 2x - 2, g(x) = 4x - 2 10. f(x) = x + 1, g(x) = _ 1 2 x + 1
Representa gráficamente f(x). Luego, refleja la gráfica de f(x) a través del eje y. Describe
la nueva gráfica con una función g(x).
11. f (x) =- _ 1 x
5
12. f (x) = 2x + 4
13. f (x) = _ 1 x - 6
3
14. f (x) = 5x - 1
Representa gráficamente f(x) y g(x). Luego, describe la transformación de la gráfica de
f(x) a la gráfica de g(x) .
15. f(x) = x, g(x) = 2x - 2 16. f (x) = x, g(x) = 1 _
3 x + 1
17. f (x) =-x - 1, g(x) =-4x 18. f(x) =-x, g(x) =- 1 _
2 x - 3
19. Entretenimiento Para una fiesta, un restaurante cobra un arancel de reserva
de $25 más $15 por persona. El costo total de una fiesta de x personas es
f (x) = 15x + 25. ¿Cómo cambiará la gráfica de esta función si el arancel
de reserva aumenta a $50 y el costo por persona baja a $12
Práctica independiente
Para los Ver
Ejercicios Ejemplo
20–21 1
22–23 2
24–25 3
26–27 4
28 5
TEKS
TAKS
Práctica de destrezas
pág. S13
Práctica de aplicación
pág. S32
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Representa gráficamente f (x) y g(x). Luego, describe la o las transformaciones de la
gráfica de f (x) en la gráfica de g(x).
20. f (x) = x, g(x) = x + _ 1 21. f (x) = x, g(x) = x - 4
2
22. f (x) = _ 1 5 x - 1, g(x) = _ 1
10 x - 1 23. f (x) = x + 2, g(x) = _ 2 3 x + 2
Representa gráficamente f(x). Luego, refleja la gráfica de f(x) en el eje y. Describe la
nueva gráfica con una función g(x).
24. f (x) = 6x 25. f (x) =-3x - 2
Representa gráficamente f(x) y g(x). Luego, describe las transformaciones de la gráfica
de f(x) a la gráfica de g(x) .
26. f (x) = 2x, g(x) = 4x - 1 27. f (x) =-7x + 5, g(x) =-14x
5- 9 Transformación de funciones lineales 361

28. Escuela La cantidad de acompañantes adultos en una excursión debe incluir 1 profesor
por cada 4 estudiantes más un total de 2 padres. La función que describe la cantidad de
acompañantes en el viaje de x estudiantes es f (x) = 1__ x + 2. ¿Cómo cambiará la gráfica si la
4
cantidad de padres baja a 0 y la cantidad de profesores aumenta a 1 por cada 3 estudiantes
Describe la o las transformaciones de la gráfica f(x) = x que den como resultado la gráfica
de g(x). Representa gráficamente f(x) y g(x) y compara las pendientes e intersecciones.
29. g(x) =-x 30. g(x) = x + 8 31. g(x) = 3x
Pasatiempos
En 1998, Nancy Pearl,
bibliotecaria de Seattle,
inició el primer programa
local de lectura “Si
todo Seattle lee el
mismo libro”. Entre las
ciudades de Texas que
han participado en este
programa están Austin,
Fort Worth, Galveston
y Houston.
32. g(x) =- _ 2 x 33. g(x) = 6x - 3 34. g(x) =-2x + 1
7
Traza la gráfica transformada. Luego, describe tu gráfica con una función.
35. Rota la gráfica de f(x) =-x + 2 hasta que tenga la misma inclinación en la
posición opuesta.
36. Refleja la gráfica de f (x) = x - 1 en el eje y y luego traslada la gráfica 4 unidades hacia abajo.
37. Traslada la gráfica de f (x) = _ 1 x - 10 seis unidades hacia arriba.
6
38. Pasatiempos Un club de lectura cobra una cuota de socio de $20 y luego $12 por cada
libro que se compra.
a. Escribe y representa gráficamente una función sobre el costo y de la cuota de socio
del club en base a la cantidad x de libros que se compran.
b. ¿Y si... Escribe y representa gráficamente una segunda función sobre el costo de
ser la cuota de socio si el club aumenta la cuota a $30.
c. Describe la relación entre tus gráficas de las partes a y b.
Describe la o las transformaciones de la gráfica de f(x) = x que den como resultado la
gráfica de g(x).
39. g(x) = x - 9 40. g(x) =-x 41. g(x) = 5x
42. g(x) =- _ 2 3 x + 1 43. g(x) =-2x 44. g(x) = _ 1 5 x
45. Profesiones Kelly trabaja como vendedora. Gana un salario básico semanal más una
comisión, que es un porcentaje de sus ventas totales. Su paga semanal total se describe
con f(x) = 0.20x + 300, donde x es el total de ventas en dólares.
a. ¿Cuál es el salario básico semanal de Kelly
b. ¿Qué porcentaje de las ventas totales recibe Kelly como comisión
c. ¿Y si... ¿Cuál sería el salario de Kelly si la función de la paga semanal cambiara a
g(x) = 0.25x + 300 ¿Y si cambiara a h(x) = 0.2x + 400
46. Razonamiento crítico Para transformar la gráfica de f (x) = x en la gráfica de
g(x) =-x, puedes reflejar la gráfica de f (x) a través del eje y. Halla otra transformación
que tenga el mismo resultado.
47. Escríbelo Describe cómo afecta una reflexión en el eje y a cada punto de una gráfica.
Da un ejemplo que ilustre tu respuesta.
48. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de la
página 364.
a. María camina desde la escuela hasta el campo a una tasa de 3 pies por segundo.
Escribe una regla que dé la distancia a la que María está de la escuela (en pies) en
función del tiempo (segundos). Luego represéntala gráficamente.
b. Menciona una situación del mundo real que podría describirse con una línea
paralela a la línea de la parte a.
c. ¿Qué representa la intersección con el eje y en cada una de estas situaciones
362 Capítulo 5 Funciones lineales

49. ¿Qué opción describe mejor el efecto en f (x) = 2x - 5 si la pendiente cambia a 10
La gráfica se vuelve menos pronunciada.
La gráfica se mueve 15 unidades hacia arriba.
La gráfica hace 10 rotaciones completas.
La intersección con el eje y pasa a ser 1 _
2 .
50. Dada la ecuación f(x) = 22x - 182, ¿qué opción NO describe el efecto de sumar 182 a la
intersección con el eje y
La nueva línea atraviesa el origen.
La nueva interesección con el eje x es 0.
La nueva línea es paralela a la original.
La nueva línea es más pronunciada que la original.
DESAFÍO Y EXTENSIÓN
51. Ya has visto que la gráfica de g(x) = x + 3 es el resultado de trasladar la gráfica de f(x) = x
tres unidades hacia arriba. Sin embargo, puedes considerarla una traslación horizontal,
es decir, una traslación hacia la izquierda o hacia la derecha. Representa gráficamente
g(x) = x + 3. Describe la traslación horizontal de la gráfica de f(x) = x para obtener la
gráfica de g(x) = x + 3.
52. Si c > 0 ¿cómo puedes describir como traslaciones horizontales las traslaciones que
transforman la gráfica de f (x) = x en la gráfica de g(x) = x + c por un lado y en la gráfica
de g(x) = x - c por el otro
REPASO EN ESPIRAL
Da la mínima expresión para el perímetro de cada figura. (Lección 1-7)
53.
54.
y + 2
3y
Identifica la correlación que puede haber entre cada par de conjuntos de datos. Explica.
(Lección 4-5)
55. la temperatura y la cantidad de personas en la heladería local
56. la cantidad de electricidad consumida y la cuenta total de electricidad
57. la cantidad de millas recorridas luego de llenar el tanque y la cantidad de gasolina en
el tanque
Identifica qué líneas son paralelas. (Lección 5-8)
58. y =-2x + 3; y = 2x; y =-2; y =-2x - 4; y = _ 1 2 x; y - 1 = - _ 1 (x + 6)
2
59. y = _ 3 5 x + 8; y =- _ 3 5 x; y + 1 = - _ 3 5 (x - 2) ; y = _ 5 x + 9; y = 3x + 5
3
Identifica qué líneas son perpendiculares. (Lección 5-8)
60. 3x - 5y = 5; 5y =-2x - 15; y = 3x + 5; 5x + 3y =-21; y = 5 _
2 x - 2
61. x = 4; 2y + x = 6; 3x - y = 12; y = 2x + 3; y =-3
5- 9 Transformación de funciones lineales 363

SECCIÓN 5B
TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6, 10
Usar funciones lineales
¡A caminar! Todos los cruces de calle en Durango, Colorado,
tienen señales de cruce con reloj. Cuando la señal cambia para
que las personas crucen, el reloj comienza a contar 28 segundos
hacia atrás para indicar cuánto tiempo tienen los peatones para
cruzar la calle.
1. Pauline contó sus pasos mientras
cruzaba la calle. Contó 15 pasos y le
quedaban 19 segundos. Cuando llegó
al otro lado de la calle, había contado
un total de 30 pasos y le quedaban 10
segundos. Copia y completa la siguiente
tabla usando estos valores.
Tiempo
restante (s)
28
Pasos 0
2. Halla la tasa de cambio promedio para el cruce
de Pauline.
3. Traza una gráfica de los puntos de la tabla o
márcalos en tu calculadora de gráficas.
4. Halla una ecuación que describa la línea que pasa por los puntos.
5. ¿Cómo cambiaría la gráfica si Pauline cruzara más rápido
¿Y si cruzara más lento
364 Capítulo 5 Funciones lineales

SECCIÓN 5B
Prueba de las Lecciones 5-6 a 5-9
5-6 Forma de pendiente-intersección
Representa gráficamente cada línea, dadas la pendiente y la intersección con el eje y.
1. pendiente = _ 1 ; intersección con el eje y = 2 2. pendiente =-3; intersección con el eje y = 5
4
3. pendiente =-1; intersección con el eje y =-6
Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección y luego represéntala gráficamente.
4. 2x + y = 5 5. 2x - 6y = 6 6. 3x + y = 3x - 4
7. Entretenimiento En un concurso culinario, los asistentes
pagan una entrada de $3.00 y $0.50 por cada tazón de chile que
prueban. En la gráfica se muestra el costo total por persona en
función de la cantidad de tazones de chile que se prueban.
a. Escribe una regla que dé el costo total por persona en función
de la cantidad de tazones de chile que se prueban.
b. Identifica la pendiente y la intersección con el eje y y describe
sus significados en esta situación.
5-7 Forma de punto y pendiente
Representa gráficamente la línea con la pendiente dada que contiene el punto dado.
Costo total ($)
Concurso culinario
6
5
4
3
2
1
0
(5, 5.5)
(3, 4.5)
(1, 3.5) (4, 5)
(2, 4)
(0, 3)
1 2 3 4 5
Tazones de chile
8. pendiente =-3; (0, 3) 9. pendiente =- _ 2 ; (-3, 5) 10. pendiente = 2; (-3, -1)
3
Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por los dos puntos.
11. (3, 1) y (4, 3) 12. (-1, -1) y (1, 7) 13. (1, -4) y (-2, 5)
5-8 Pendientes de líneas paralelas y perpendiculares
Identifica qué lineas son paralelas.
14. y =-2x; y = 2x + 1; y = 2x; y = 2 (x + 5) 15. -3y = x ; y =- _ 1 x + 1; y =-3x; y + 2 = x + 4
3
Identifica qué líneas son perpendiculares.
16. y =-4x - 1; y = _ 1 4 x; y = 4x - 6; x =-4 17. y =- _ 3 4 x; y = _ 3 4 x - 3; y = _ 4 x; y = 4; x = 3
3
18. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por (5, 2) y
que es paralela a la línea descrita por 3x - 5y = 15.
19. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por (3, 5) y
que es perpendicular a la línea descrita por y =- 3__
2 x - 2.
5-9 Transformación de funciones lineales
Representa f (x) y g(x). Luego, describe la o las transformaciones de la gráfica de f (x) a la
gráfica de g(x).
20. f (x) = 5x, g(x) =-5x 21. f (x) = _ 1 2 x - 1, g(x) = _ 1 2 x + 4
22. Un abogado cobra $250 iniciales por honorarios y luego $150 la hora. La cuenta total al
cabo de x horas es f(x) = 150x + 250. ¿Cómo cambiará la gráfica de esta función si los
honorarios se reducen a $200 y la tarifa horaria aumenta a $175
¿Listo para seguir 365

EXTENSIÓN
Funciones de valor absoluto
TEKS A.1.D Bases de las funciones: representar las relaciones entre cantidades usando … tablas,
gráficas,… ecuaciones …. Ver también A.1.A, A.1.B, A.1.C, A.1.E, A.2.B, A.2.C, A.3.A, A.4.A
Objetivos
Representar gráficamente
funciones de valor absoluto
Identificar las
características de las
funciones de valor absoluto
y sus gráficas
Vocabulario
función de valor absoluto
eje de simetría
vértice
Una función de valor absoluto es una función cuya regla contiene una expresión
de valor absoluto. Para representar gráficamente una función de valor absoluto, elige
varios valores de x y genera algunos pares ordenados.
x
y = ⎪x⎥
-2 2
-1 1
0 0
1 1
2 2
Eje de simetría
4 y y = |x|
2
Vértice
x
-4 -2 0 2 4
-2
-4
Las gráficas de valor absoluto tienen forma de V. El eje de simetría es la línea que
divide la gráfica en dos mitades congruentes. El vértice es el punto de la “esquina”
de la gráfica.
A partir de la gráfica de y = ⎪x⎥ , sabes que
• el eje de simetría es el eje y (x = 0) .
• el vértice es (0, 0) .
• el dominio (valores de x) es el conjunto de todos los números reales.
• el rango (valores de y) está descrito por y ≥ 0.
• y = ⎪x⎥ es una función porque cada valor del dominio tiene exactamente un valor
del rango.
• tanto la intersección con el eje x como la intersección con el eje y es 0.
EJEMPLO 1 Funciones de valor absoluto
y
Representa gráficamente cada función de valor absoluto y rotula el eje de
simetría y el vértice. Identifica las intersecciones y da el dominio y el rango.
A y = ⎪x⎥ - 1
Elige valores positivos, negativos y cero
para x y halla pares ordenados.
Eje de simetría
4
x -2 -1 0 1 2
2
y = |x| -1
x
y = ⎪x⎥ - 1 1 0 -1 0 1 -4 -2 2 4
Vértice
Marca los pares ordenados y conéctalos.
-2
A partir de la gráfica, sabes que
• el eje de simetría es el eje y (x = 0).
• el vértice es (0, -1).
• las intersecciones con el eje x son 1 y -1.
• la intersección con el eje y es -1.
• el dominio es todos los números reales.
• el rango está descrito por y ≥-1.
-4
366 Capítulo 5 Funciones lineales

Representa gráficamente cada función de valor absoluto y rotula el eje de
simetría y el vértice. Identifica las intersecciones y da el dominio y el rango.
B
y = ⎪x + 2⎥
Elige valores positivos, negativos y cero
para x y halla pares ordenados.
x -3 -2 -1 0 1
y = ⎪x + 2⎥ 1 0 1 2 3
Marca los pares ordenados y conéctalos.
A partir de la gráfica, sabes que
• el eje de simetría es x =-2.
• el vértice es (-2, 0).
• la intersección con el eje x es -2
• la intersección con el eje y es 2.
• el dominio es todos los números reales.
• el rango se describe por y ≥ 0.
Eje de simetría
Vértice
-4
y 2
y = |x + 2|
4
x
0 2 4
-2
-4
1. Representa gráficamente f (x) = 3 ⎪x⎥ y rotula el eje de simetría
y el vértice. Identifica las intersecciones y da el dominio y
el rango.
EXTENSIÓN
Ejercicios
Representa gráficamente cada función de valor absoluto y rotula el eje de simetría y el
vértice. Identifica las intersecciones y da el dominio y el rango.
1. y = ⎪x⎥ + 3 2. y = ⎪x + 3⎥ 3. y = _ 1 ⎪x⎥ 4. y = ⎪x - 3⎥
2
Sin representar gráficamente, halla el dominio y el rango de cada función de valor absoluto.
5. y = ⎪x - 6⎥ 6. y = ⎪x⎥ - 9 7. y = ⎪x⎥ + 7 8. y = 8 ⎪x⎥
Indica si cada enunciado es verdadero algunas veces, siempre o nunca.
9. El valor absoluto de un número es negativo.
10. La función de valor absoluto tiene una intersección con el eje x.
11. La función de valor absoluto tiene dos intersecciones con el eje y.
12. Varios pasos Representa gráficamente y = ⎪x⎥, y = ⎪x⎥ + 5 e y = ⎪x⎥ - 6 en el mismo
plano cartesiano. Luego haz una conjetura, en términos de una transformación, sobre la
gráfica de y = ⎪x⎥ + k, para cualquier valor de k.
13. Varios pasos Representa gráficamente y = ⎪x⎥ , y = ⎪x -4⎥ e y = ⎪x + 3⎥ en el mismo
plano cartesiano. Luego haz una conjetura, en términos de una transformación, sobre la
gráfica de y = ⎪x - h⎥ , para cualquier valor de h.
14. Razonamiento crítico Supongamos que una función de valor absoluto no tiene
intersecciones con el eje x. ¿Qué puedes decir sobre la regla de función
Extensión 367

Vocabulario
constante de variación . . . . . . . 326
distancia horizontal . . . . . . . . . 311
distancia vertical . . . . . . . . . . . . 311
ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . 298
familia de funciones . . . . . . . . . 357
función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 296
función madre . . . . . . . . . . . . . . . 357
intersección con el eje x . . . . . . 303
intersección con el eje y . . . . . . 303
líneas paralelas . . . . . . . . . . . . . . 349
líneas perpendiculares . . . . . . . 351
pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
tasa de cambio . . . . . . . . . . . . . . . 310
transformación . . . . . . . . . . . . . . 357
traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
variación directa . . . . . . . . . . . . . 326
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. Puedes usar las palabras más de una vez.
1. Un(a) es un “deslizamiento”, un(a) es un “giro” y un(a) es una “vuelta”.”
−−−−−
−−−−−
−−−−−
2. La coordenada x del punto que contiene el/la es siempre 0.
−−−−−
3. En la ecuación y = mx + b, el valor de m es el/la y el valor de b es el/la .
−−−−−
−−−−−
5-1 Cómo identificar funciones lineales (págs. 296–302)
TEKS A.1.A, A.1.B, A.1.E, A.3.A,
A.3.B, A.4.A, A.5.B, A.5.C, A.7.A
EJEMPLO
Indica si cada función es lineal. Si es así,
representa gráficamente la función.
■ y =-3x + 2
y=-3x + 2 Escribe la ecuación
+ 3x + 3x en forma estándar.
−−− −−−−−−
3x + y = 2 Esta es una función lineal.
Genera pares ordenados.
x y = -3x + 2 (x, y)
-2 y =-3(-2) + 2 = 8 (-2, 8)
0 y =-3(0) + 2 = 2 (0, 2)
2 y =-3(2) + 2 = -4 (2, -4)
■ y = 2 x 3
Marca los puntos y conéctalos
con una línea recta.
Esta no es una función lineal porque x tiene un
exponente distinto de 1.
EJERCICIOS
Indica si los pares ordenados dados satisfacen una
función lineal. Explica.
4.
x y
-3 3
-1 1
1 1
3 3
5.
x y
0 -3
1 -1
2 1
3 3
6. {(-2, 5) , (-1, 3) , (0, 1) , (1, -1) , (2, -3)}
7. {(1, 7) , (3, 6) , (6, 5) , (9, 4) , (13, 3)}
Las siguientes ecuaciones son lineales. Escribe cada
ecuación en forma estándar y da los valores de A, B y C.
8. y =-5x + 1 9. _ x + 2 =-3y
2
10. 4y = 7x 11. 9 = y
12. Helene vende pastelitos a $0.50 cada uno. La
función f (x) = 0.5x da la cantidad total de dinero
que Helene gana después de vender x cantidad de
pastelitos. Representa gráficamente esta función y
da su dominio y rango.
368 Capítulo 5 Funciones lineales

5-2 Cómo usar la intersección (págs. 303–308)
TEKS A.2.C, A.3.A, A.4.A, A.5.C, A.6.B, A.6.E
EJEMPLO
■ Halla las intersecciones con el eje x y con el eje y
de 2x + 5y = 10.
Sea y = 0. Sea x = 0.
2x + 5 (0) = 10 2 (0)+ 5y = 10
2x + 0 = 10 0 + 5y = 10
2x = 10 5y = 10
_ 2x
2 = _ 10
2
5y _
5
= 10 _
5
x= 5 y = 2
La intersección con La intersección con
el eje x es 5. el eje y es 2.
EJERCICIOS
Halla las intersecciones con el eje x y con el eje y.
13.
14.
15. 3x - y = 9 16. -2x + y = 1
17. -x + 6y = 18 18. 3x - 4y = 1
5-3 Tasa de cambio y pendiente (págs. 310–317)
TEKS A.1.D, A.3.A, A.5.C, A.6.A, A.6.B
EJEMPLO
■ Halla la pendiente.
Longitud (pies)
8
6
4
2
0
Conversión
de medidas
3
1
(1, 3)
(3, 9)
(2, 6)
1 2 3 4
Longitud (yd)
cambio en y
pendiente = __
cambio en x = _ 3 1 = 3
EJERCICIOS
19. Representa gráficamente 20. Halla la pendiente de la
los datos y muestra
línea que se representa
las tasas de cambio. gráficamente abajo.
Tiempo
(s)
Distancia
(pies)
0 0
1 16
2 64
3 144
4 256
Grasa (g)
Guisado de Casey
20
15
10
5
0
(2, 10)
1 2 3 4
Porciones
(4, 20)
5-4 La fórmula de la pendiente (págs. 320–325)
TEKS A.3.A, A.6.A, A.6.B
EJEMPLO
■ Halla la pendiente de la línea descrita por
2x - 3y = 6.
Paso 1 Identifica las intersecciones con los
ejes x e y.
Sea y = 0. Sea x = 0.
2x - 3 (0) = 6 2 (0) - 3y = 6
2x = 6 -3y = 6
x = 3 y =-2
La línea contiene (3, 0) y (0, -2) .
Paso 2 Usa la fórmula de la pendiente.
m = _ y 2 - y 1
x2 - x
= _ -2 - 0
1 0 - 3 = _ -2
-3 = _ 2 3
EJERCICIOS
Halla la pendiente de la línea descrita por
cada ecuación.
21. 4x + 3y = 24 22. y =-3x + 6
23. x + 2y = 10 24. 3x = y + 3
25. y + 2 = 7x 26. 16x = 4y + 1
Halla la pendiente de la línea que contiene cada par
de puntos.
27. (1, 2) y (2, -3) 28. (4, -2) y (-5, 7)
29. (-3, -6) y (4, 1) 30. (
1_
2 , 2 ) y _
( 3 ,
5_
4 2)
31. (2, 2) y (2, 7) 32. (1, -3) y (5, -3)
Guía de estudio: Repaso 369

5-5 Variación directa (págs. 326–331)
TEKS A.1.C, A.1.E, A.3.A, A.3.B, A.6.G
EJEMPLO
■ Indica si 6x =-4y es una variación directa. Si lo
es, identifica la constante de variación.
6x =-4y
_ 6x _
-4 = -4y Halla y con la ecuación.
-4
-_ 6 x = y 4
y=- _ 3 2 x Simplifica.
Esta ecuación es una variación directa porque se
puede escribir en la forma y = kx, donde
k =- 3__
2 .
EJERCICIOS
Indica si cada ecuación es una variación directa. Si es
así, identifica la constante de variación.
33. y =-6x 34. x - y = 0
35. y + 4x = 3 36. 2x =-4y
37. El valor de y varía directamente con x e y =-8
cuando x = 2. Halla y cuando x = 3.
38. Maleka cobra $8 por hora por cuidar niños. La
cantidad de dinero que gana varía directamente
con la cantidad de horas que trabaja. La ecuación
y = 8x indica cuánto dinero y gana por cuidar
niños x horas. Representa gráficamente esta
variación directa.
5-6 Forma de pendiente-intersección (págs. 334–340)
TEKS A.1.D, A.2.C, A.3.A, A.5.C, A.6.A, A.6.D
EJEMPLO
■ Representa gráficamente la línea con una
pendiente =- 4__ e intersección con el eje y = 8.
5
Paso 1 Marca (0, 8) .
Paso 2 Para una pendiente
de -4
5 , cuenta
4 hacia abajo y
5 a la derecha
desde (0, 8) .
Marca otro punto.
Paso 3 Conecta los dos puntos con una línea.
EJERCICIOS
Representa gráficamente cada línea, dadas la pendiente
y la intersección con el eje y.
39. pendiente = -_
1 ; intersección con el eje y = 4
2
40. pendiente = 3; intersección con el eje y =-7
Escribe la ecuación en la forma de
pendiente-intersección que describe cada línea.
41. pendiente = _ 1 , intersección con el eje y = 5
3
42. pendiente = 4, el punto (1, -5) está sobre la línea
5-7 Forma de punto y pendiente (págs. 341–347)
TEKS A.2.C, A.3.A, A.5.C, A.6.A, A.6.D
EJEMPLO
■ Escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
para la línea que pasa por
(4, -1) y (-2, 8) .
m= _ y 2 - y 1
x2 - x
= _ 8 -(-1)
1 -2 - 4 = 9_
-6 =- _ 3 Halla la
2 pendiente.
y- y 1 = m(x - x 1)
Sustituye en la forma
3_ y- 8 = -
2 [x -(-2)] de punto
y pendiente.
y- 8 = -_
3 (x + 2) Halla y.
2
y- 8 = - 3 _
2 x - 3
y=- 3 _
2 x + 5
EJERCICIOS
Representa gráficamente la línea con la pendiente dada
que contiene el punto dado.
43. pendiente = _ 1 ; (4, -3) 44. pendiente = -1; (-3, 1)
2
Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente
para la línea con la pendiente dada que pasa por el
punto dado.
45. pendiente = 2; (1, 3) 46. pendiente = -5; (-6, 4)
Escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
para la línea que pasa por los dos
puntos dados.
47. (1, 4) y (3, 8) 48. (0, 3) y (-2, 5)
49. (-2, 4) y (-1, 6) 50. (-3, 2) y (5, 2)
370 Capítulo 5 Funciones lineales

5-8 Pendientes de líneas paralelas y perpendiculares (págs. 349–355)
EJEMPLO
EJERCICIOS
TEKS A.3.A, A.5.C, A.6.A, A.6.B
■ Escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
para la línea que pasa por (4, -2)
y que es perpendicular a la línea descrita por
y =-4x + 3.
Paso 1 Halla la pendiente de y = -4x + 3.
La pendiente es -4. La línea perpendicular
tiene una pendiente de 1__
4 .
Paso 2 Escribe la ecuación.
La línea perpendicular tiene una
pendiente de 1__ y contiene (4, -2).
4
y- y 1 = m(x 1_ - x 1)
y + 2 = (x - 4)
4
Paso 3 Escribe la ecuación en forma de
pendiente-intersección.
y+ 2 = 1 _
4
(x - 4)
y+ 2 = 1 _
4
x - 1 Distribuye 1_ 4 .
y= 1 _
4
x - 3 Resta 2 de ambos
lados.
Identifica las líneas paralelas.
51. y =- _ 1 3 x ; y = 3x + 2; y =- _ 1 3 x - 6; y = 3
52. y - 2 =-4(x - 1) ; y = 4x - 4; y = 1 _
4
x; y =-4x - 2
Identifica las líneas perpendiculares.
53. y - 1 = -5(x - 6) ; y = _ 1 x + 2; y = 5; y = 5x + 8
5
54. y = 2x; y - 2 = 3 (x + 1) ; y = _ 2 3 x - 4; y =- _ 1 3 x
55. Demuestra que ABC es un triángulo rectángulo.
56. Escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
para la línea que pasa por (1, -1) y que
es paralela a la línea descrita por y = 2x -4.
5-9 Transformación de funciones lineales (págs. 357–363)
TEKS A.2.A, A.2.C, A.3.A,
A.6.C, A.6.F, A.7.A
EJEMPLO
■ Representa gráficamente f (x) = 1__ 2 x y
g(x) = 4x + 2. Luego describe la o las
transformaciones de la gráfica de f (x)
en la gráfica de g(x).
Halla las transformaciones
en f (x) = 1__ x que darán
2
como resultado
g(x) = 4x + 2.
• Multiplica f (x) = 1__ 2 x
por 8 para obtener
h(x) = 4x.
Esto rota la gráfica
alrededor de (0, 0) y la
hace más pronunciada.
• Luego, suma 2 a h(x) = 4x para obtener
g(x) = 4x + 2. Esto traslada la gráfica 2
unidades hacia arriba.
Las transformaciones son rotación y traslación.
EJERCICIOS
Representa gráficamente f (x) y g(x). Luego, describe la o
las transformaciones de la gráfica de f (x) en la gráfica
de g(x).
57. f (x) = x, g(x) = x + 4
58. f (x) = x, g(x) = x - 1
59. f (x) = 3x, g(x) = 2x
60. f (x) = _ 1 x + 1, g(x) = 5x + 1
2
61. f (x) = 4x, g(x) =-4x
62. f (x) = 1 _
3 x - 2, g(x) =- 1 _
3 x - 2
63. La entrada a una feria cuesta $3 y cada juego
cuesta $1. El costo total para x juegos es
f (x) = x + 3. ¿Cómo cambiará la gráfica de esta
función si la entrada aumenta a $5 y el costo
por juego disminuye a $2
Guía de estudio: Repaso 371

Indica si los pares ordenados dados satisfacen una función lineal. Explica.
1. {(0, 0) , (1, 1) , (2, 4) , (3, 9) , (4, 16)} 2. x -3 -1 1 3 5
y 6 3 0 -3 -6
3. Lily desea trabajar como voluntaria en un centro de ayuda escolar durante 45 horas.
Puede dar clases 3 horas por semana. La función f (x) = 45 - 3x da la cantidad de horas
que le quedarán de clases al cabo de x semanas. Representa gráficamente la función y
halla sus intersecciones. ¿Qué representa cada intersección
4. Usa las intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por 2x - 3y = 6.
Halla la pendiente de cada línea. Luego indica qué representa la pendiente.
5.
Costo de las entradas
Costo ($)
60
40
20
0
(3, 25.5)
2 4 6 8
Entradas
(8, 68)
6.
Agua en el tanque
Agua(tz)
80
60
40
20
0
(2, 76)
(5, 40)
2 4 6 8
Tiempo (s)
7.
Temperatura (˚ F)
Temperatura de
la muestra
4
2
0
(5.5, 4)
(0.5, -1)
1 2 3 4 5 6
Tiempo (h)
Indica si cada relación es una variación directa. Si es así, identifica la constante de variación.
8.
x -1 2 5 9
9.
x -2 2 6 10
y 4 7 10 14
y 1 -1 -3 -5
10. Escribe la ecuación 2x - 2y = 4 en forma de pendiente-intersección y luego
represéntala gráficamente.
11. Representa gráficamente la línea con pendiente _ 1 que contiene el punto (-4, -3).
3
12. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por
(-1, 1) y (0, 3) .
13. Identifica las líneas paralelas: y =- _ 1 2 x + 3; y = _ 1 x + 1; y = 2x; x + 2y = 4.
2
14. Identifica las líneas perpendiculares: y - 2 = 3x; y + 4x =-1; y =- _ 1 3 x + 5; y = _ 1 3 x - 4.
15. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por
(0, 6) y que es paralela a la línea descrita por y = 2x + 3.
16. Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por
(4, 6) y que es perpendicular a la línea descrita por y = x - 3.
Representa gráficamente f (x) y g(x). Luego, describe la o las transformaciones de la
gráfica de f (x) en la gráfica de g(x).
17. f (x) = 8x, g(x) = 4x 18. f (x) =-x + 2, g(x) =-x - 1 19. f (x) = 3x, g(x) = 6x - 1
20. El estacionamiento de un aeropuerto cuesta $2.00 por la entrada más $2.50 por cada
hora de estacionamiento. El costo total por estacionar x horas es f (x) = 2.5x + 2. ¿Cómo
cambiará la gráfica de esta función si la entrada aumenta a $3.50 y el costo por hora
disminuye a $2.25
372 Capítulo 5 Funciones lineales

ENFOQUE EN SAT
El puntaje del examen SAT se basa en la cantidad total de
preguntas que se responden correctamente menos una
fracción de la cantidad de preguntas de opción múltiple
que se responden de forma incorrecta. No se restan puntos
por las preguntas sin respuesta.
TAKS
En el examen SAT, si intentas adivinar
en las preguntas de opción múltipe, te
bajarán puntos. Adivina sólo cuando
puedas descartar al menos una de las
opciones de respuesta.
Te recomendamos que tomes el tiempo que te lleva hacer este examen
de práctica. Deberías tardar aproximadamente 7 minutos en terminar.
1. La línea que pasa por A(1, -3) y B(-2, d) tiene
una pendiente de -2. ¿Cuál es el valor de d
(A) -_
3 2
(B) -1
(C)
1_
2
(D) 3
(E) 5
4. El segmento de recta que pasa por los puntos
(4, 0) y (2, -2) forma un lado de un rectángulo.
¿Cuál de las siguientes coordenadas podría
determinar otro vértice de ese rectángulo
2. Los pares ordenados {(0, -3), (4, -1), (6, 0) ,
(10, 2)} satisfacen un patrón. ¿Qué opción de
respuesta NO es verdadera
(A) El patrón es lineal.
(B) El patrón se puede describir con
2x - 4y = 12.
(C) Los pares ordenados están sobre una línea.
(D) (-4, 1) satisface el mismo patrón.
(A) (-2, 6)
(B) (-2, -2)
(C) (0, 6)
(D) (1, 2)
(E) (4, 6)
(E) El conjunto de pares ordenados es una función.
3. Si y varía directamente con x, ¿cuál es el valor de x
cuando y = 72
(A) 17
(B) 18
x 7 12
y 28 48 72
5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene la misma
pendiente que la línea descrita por 2x - 3y = 3
(A) 3x - 2y = 2
(B)
2_
3 x - y =-2
(C) 2x - 2y = 3
(D) _ 1 x - 2y =-2
3
(E) -2x - 3y = 2
(C) 24
(D) 28
(E) 36
Práctica para el examen de ingreso a la universidad 373

Opción múltiple: Reconoce los elementos de distracción
TAKS Grados 9 a 11, Obj. 1, 3, 7
En las preguntas de opción múltiple, las opciones incorrectas se llaman elementos de distracción.
Este nombre es apropiado porque, efectivamente, estas opciones incorrectas pueden distraerte de la
respuesta correcta.
Los autores de pruebas crean estos elementos de distracción con los errores comunes de los
estudiantes. ¡Cuidado! Aun cuando la respuesta que obtengas al resolver un problema sea una de
las opciones, es posible que no sea la respuesta correcta.
¿Cuál es la intersección con el eje y de 4x + 10 = -2y
10 -2.5
5 -5
Observa con atención cada opción.
Es un elemento de distracción porque la intersección con el eje y podría ser 10 si la función
fuera 4x + 10 = y. Un error común es ignorar el coeficiente de y.
Es un elemento de distracción. Otro error común es dividir entre 2 en vez de -2 al hallar y.
Es un elemento de distracción. Uno de los errores más comunes que cometen los estudiantes
es confundir la intersección con el eje x con la intersección con el eje y. Este elemento de
distracción es en realidad la intersección con el eje x de la línea dada.
Es la respuesta correcta.
¿Qué opción es la ecuación de una línea con una pendiente de -4 que contiene (2, -3)
y - 3 =-4(x - 2) y + 3 = -4(x - 2)
y - 2 =-4(x + 3) y + 4 = -3(x - 2)
Observa con atención cada opción.
Es un elemento de distracción. Los estudiantes a menudo cometen errores con los signos más
y menos. Obtendrías esta respuesta si simplificaras y - (-3) como y - 3.
Es un elemento de distracción. Obtendrías esta respuesta si cambiaras la coordenada x por la
coordenada y.
Es la respuesta correcta.
Es un elemento de distracción. Obtendrías esta respuesta si sustituyeras de forma incorrecta
los valores dados en la ecuación de punto y pendiente.
374 Capítulo 5 Funciones lineales

TAKS
Cuando calculas la respuesta a una pregunta
del examen de opción múltiple, intenta resolver
el problema de nuevo con otro método para
asegurarte de que tu respuesta sea correcta.
Lee cada recuadro y contesta las preguntas que
le siguen.
C
¿Cuál de estas líneas tiene una pendiente de -3
A
Una línea contiene (1, 2) y (-2, 14) . ¿Cuáles son la
pendiente y la intersección con el eje y
Pendiente =-4; intersección con el eje y =-2
Pendiente = 4; intersección con el eje y = 6
Pendiente =- 1 _
4
; intersección con el eje y = 1
Pendiente =-4; intersección con el eje y = 6
1. ¿Qué error común representa la pendiente de la
opción B
2. La pendiente dada en la opción A es correcta, pero
la intersección con el eje y es incorrecta. ¿Qué error
se cometió al hallar la intersección con el eje y
3. ¿Qué fórmula puedes usar para hallar la pendiente
de una línea ¿Qué error se cometió al usar la
fórmula para obtener la pendiente de la opción C
6. ¿Qué dos opciones de respuesta se pueden eliminar
inmediatamente ¿Por qué
7. Describe cómo hallar la pendiente de una línea a
partir de su gráfica.
8. ¿Qué error común representa la opción A
9. ¿Qué error común representa la opción D
10. ¿Cuál es la respuesta correcta
B
¿Cuál de estas funciones tiene una gráfica que NO
es paralela a la línea descrita por y = 1__ 2 x + 4
y = 6 - 1 _
2 x
y = 1 _
2 x + 6
-2y =-x + 1
2y = x
4. Dadas dos funciones lineales, describe cómo
determinar si sus gráficas son paralelas.
5. ¿Cuál es la respuesta correcta Describe los errores
que un estudiante puede cometer para llegar a cada
elemento de distracción.
D
¿Qué opción NO es una función lineal
f (x) = 4 + x
f (x) =-x - 4
f (x) = 4 x 2
f (x) = 1 _
4 x
11. Dada una regla de función, ¿cómo puedes saber si
una función es lineal
12. ¿Qué parte de la función dada en la opción G podría
hacerte pensar que no es lineal
13. ¿Qué parte de la función dada en la opción J podría
hacerte pensar que no es lineal
14. ¿Qué parte de la función dada en la opción H hace
que NO sea lineal
Ayuda para TAKS 375

CLAVE: MA7 TestPrep
TAKS Grado 8, Obj. 2 a 4, 6
Grados 9 a 11, Obj. 1 a 3, 6 a 10
EVALUACIÓN ACUMULATIVA, CAPÍTULOS 1–5
Opción múltiple
1. ¿Cuál es el valor de 2 - [1 - (2 - 1)]
-2
0
2
4
2. Frank pidió un préstamo de $5000 a una tasa de interés
anual simple. La cantidad que debía por el interés luego
de 6 meses era $300. ¿Cuál es la tasa de interés
del préstamo
1%
6%
10%
12%
3. Patty’s Pizza cobra $5.50 por una pizza grande más
$0.30 por cada aderezo. Pizza Town cobra $5.00 por
una pizza grande más $0.40 por cada aderezo. ¿Qué
desigualdad puedes usar para hallar la cantidad de
aderezos x que hacen que el costo de una pizza de
Pizza Town sea mayor que el costo de una pizza
de Patty’s Pizza
(5 + 0.4)x > (5.5 + 0.3)x
5.5x + 0.3 > 5x + 0.4
5.5 + 0.3x > 5 + 0.4x
5 + 0.4x > 5.5 + 0.3x
4. La longitud del lado de un cuadrado s se puede
determinar mediante la fórmula s = √ A, donde
A representa el área del cuadrado. ¿Cuál es la
longitud del lado de un cuadrado con un área
de 0.09 metros cuadrados
0.0081 metros
0.81 metros
0.03 metros
0.3 metros
5. ¿Cuál es el valor de f (x) =-3 - x cuando x =-7
-10
-4
4
10
6. ¿Qué relación es una variación directa
x 1 2 3 4
y -1 0 1 2
x 1 2 3 4
y 0 -1 -2 -3
x 1 2 3 4
y 3 5 7 9
x 1 2 3 4
y 3 6 9 12
7. ¿Qué función tiene -2 como intersección con el eje x
y 4 como intersección con el eje y
2x - y = 4
2y - x = 4
y - 2x = 4
x - 2y = 4
8. ¿Qué ecuación describe la relación entre x e y en la
siguiente tabla
x -8 -4 0 4 8
y 2 1 0 -1 -2
y =-4x
y = 4x
y =- _ 1 4 x y = _ 1 4 x
9. ¿Qué gráfica está descrita por x - 3y =-3
376 Capítulo 5 Funciones lineales

TAKS
10. ¿Qué pasos puedes usar para representar
gráficamente la línea que tiene pendiente 2 y que
contiene el punto (-1, 3)
Marca (-1, 3) . Muévete 1 unidad hacia arriba y
2 unidades hacia la derecha y marca otro punto.
Marca (-1, 3) . Muévete 2 unidades hacia arriba
y 1 unidad hacia la derecha y marca otro punto.
Marca (-1, 3). Muévete 1 unidad hacia arriba y 2
unidades hacia la izquierda y marca otro punto.
Marca (-1, 3). Muévete 2 unidades hacia arriba
y 1 unidad hacia la izquierda y marca otro punto.
11. ¿Qué línea es paralela a la línea descrita por
2x + 3y = 6
3x + 2y = 6 2x + 3y =-6
3x - 2y =-6 2x - 3y = 6
12. ¿La gráfica de qué función NO es perpendicular a la
línea descrita por 4x + y =-2
y + _ 1 4 x = 0 3y = _ 3 4 x + 3
1_
2 x = 10 - 2y y =-1 _
4 x + _ 3 2
13. La compañía A cobra $30 más $0.40 por milla por el
alquiler de un automóvil. El costo total por m millas
está dado por f(m) = 30 + 0.4m. Por un automóvil
similar, la compañía B cobra $30 más $0.30 por milla.
El costo total por m millas está dado por
g(m) = 30 + 0.3m. ¿Qué opción describe mejor la
transformación de la gráfica de f (m) en la gráfica
de g(m)
traslación hacia arriba
traslación hacia abajo
rotación
reflexión
Respuesta gráfica
14. ¿Cuál es el valor de x en el siguiente diagrama
C
Al resolver preguntas de opción múltiple, comprueba
que el número de la pregunta corresponda al
número en tu hoja de respuestas, especialmente si
salteas preguntas que piensas contestar más tarde.
A
△ABC ∼△DEF
7 pies x pies 10 pies 15 pies
B
15. ¿Cuál es el 46 to término de la sucesión aritmética
-1.5, -1.3, -1.1, -0.9,…
16. ¿Cuál es la intersección con el eje y de y
- 2 = 3 (x + 4)
F
D
E
PREPARACIÓN PARA EL EXAMEN
ESTANDARIZADO
Respuesta breve
17. Una tienda de alquiler de videos cobra una cuota de
socio de $10 más $2 por cada alquiler de película. El
costo total de x alquileres está dado por f(x) = 2x + 10.
a. Representa gráficamente esta función.
b. Da un dominio y un rango razonables.
18. En la siguiente tabla se muestra el salario mínimo
nacional en distintos años.
Año 1960 1970 1980 1990 2000
Salario mínimo ($) 1.00 1.60 3.10 3.80 5.15
a. Halla la tasa de cambio cada 10 años. Muestra
tu trabajo.
b. ¿En qué periodo aumentó más rápido el salario
mínimo Explica qué significa la tasa de cambio
para ese periodo.
19. a. Halla la pendiente de la siguiente línea.
b. Escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
para una línea que sea perpendicular
a la línea de la parte a y que tenga la misma
intersección con el eje y que la función de la
parte a. Muestra tu trabajo y explica cómo
obtuviste la respuesta.
Respuesta desarrollada
20. Existe una relación lineal entre la velocidad del viento
a una determinada temperatura y cómo se “siente”
esa temperatura. Una mayor velocidad del viento hará
que la temperatura se sienta más fría. En la siguiente
tabla se muestra cómo “se siente” una temperatura
desconocida t con distintas velocidades del viento.
Velocidad del viento (mi/h) 5 10 15
“Se siente” (° F) 36 34 32
a. Escribe una ecuación en forma de pendienteintersección
que relacione las velocidades del viento
con la temperatura que se desconoce. Muestra tu
trabajo y explica cómo obtuviste la respuesta.
b. ¿Qué significa la pendiente en esta situación
c. ¿Cuál es la temperatura que se desconoce Explica.
d. Determina cómo se siente la temperatura que se
desconoce cuando la velocidad del viento es de
12 millas por hora. Muestra tu trabajo.
Evaluación acumulativa, Capítulos 1–5 377