Introduction à la théorie des poutres - mms2 - MINES ParisTech

Théorie de Timoshenko
Calcul des travaux virtuels.
⋆ Travail virtuel des efforts internes
∫
W ∗
int = − ε ∗ ij σ ij dV (4)
Ω
∫
= − (ε ∗ 11 σ 11 + 2ε ∗ 13 σ 13)dV (5)
Ω
∫
= −
C
( ∫
∫
∫ )
U ∗ ,1 σ 11 dS + θ ∗ ,1 x 3 σ 11 dS + (V ∗ ,1 + θ∗ ) σ 13 dS dx 1 (6)
S
S
S
On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U ∗ ,1 , (V ∗ ,1 + θ∗ ), θ ∗ ,1 . Par
définition ce sont l’effort normal, l’effort tranchant et le moment fléchissant (exprimé au point G).
∫
∫
∫
N = σ 11 dS T = σ 13 dS M = x 3 σ 11 dS (7)
S
S
S
Ce sont les composantes du torseur des efforts intérieurs. Ceci donne :
∫ (
)
Wint ∗ = − N U,1 ∗ + M θ∗ ,1 + T (V ,1 ∗ + θ∗ ) dx 1 (8)
C
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 9/28