Thèse de Jérôme Giordano soutenue en 2004 - iusti

2.2. Discrétisation par la méthode des volumes finis
∫ )
∂
(U i dV(t) +
∂t C i
faces
∑
k=1
( (−→Fk
− −→ w k U k
) ∫ ∂C k i
où −→ w k représente la vitesse de la face k de la cellule.
−→ n dS
)
= Ω c i
∫
C i
dV(t) (2.21)
Bien qu’une modélisation où la vitesse du maillage soit négligée induise des erreurs, nous
nous proposons d’en estimer l’importance.
2.2.2 Erreurs induites par une description eulerienne dans le cas d’un maillage
mobile
Pour mesurer ces erreurs, nous étudions l’écoulement dans un tube à choc en reprenant
les conditions initiales du premier cas test de Sod [95]. Ces conditions sont présentées dans le
tableau 2.3.
Propriétés Etat 4 Etat 1
γ 1,4 1,4
Pression (Pa) 15 10 5 1 10 5
Température (K) 1000 300
Vitesse (m/s) 0 0
Tab. 2.3 – Conditions initiales du cas test de Sod
Le domaine d’écoulement de 1 m de long est discrétisé par 100 cellules. Le problème est
supposé monodimensionnel. Nous allons simuler le problème avec un maillage fixe, puis mobile.
Pour déformer le maillage, nous imposons à la frontière de la cellule initialement au milieu du
tube, une vitesse. Ainsi, en considérant que le maillage reste continu, nous obtenons un champ
de vitesse des frontières des cellules, schématisé sur la figure 2.1.
Nous imposons trois valeurs de vitesse à la cellule du milieu : 10 m/s, 20 m/s, 100 m/s.
Nous comparons l’évolution des champs de masse volumique et de vitesse du fluide à t =
0,55 ms pour le maillage fixe, le maillage mobile avec une description ALE et le maillage mobile
sans ALE.
Les figures 2.2 et 2.3 montrent que, jusqu’à une vitesse de maille imposée de 20 m/s, la
différence entre les descriptions ALE et eulérienne n’est pas significative. Les erreurs générées
deviennent par contre très importantes pour une vitesse de maille de 100 m/s, soit ≈ U fluide /4.
Or dans les problèmes d’interactions fluide-structure, les vitesses de mailles sont imposées par les
vibrations de la structure. Ces vitesses de vibration sont relativement faibles vis-à-vis de celles
de l’écoulement, en particulier dans des écoulements supersoniques. Avec ces considérations et
les conclusions du cas test de Sod, nous pensons que de ne pas utiliser de description ALE dans
les problèmes d’interactions fluide-structure génère des erreurs acceptables, voire négligeables.
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