Thèse de Jérôme Giordano soutenue en 2004 - iusti

Département de Mécanique Énergétique
École doctorale : Mécanique, Physique et Modélisation
Contribution à la modélisation
numérique des problèmes d’interactions
fluide-fluide et fluide-structure
THÈSE
présentée et soutenue publiquement le 15 Décembre 2004
pour l’obtention du
grade de Docteur de l’Université d’Aix-Marseille I
(Spécialité : Mécanique Énergétique)
par
Jérôme Giordano
Composition du jury
Président :
Rapporteurs :
Examinateurs :
Invités :
Roger Martin, Professeur à l’Université de Provence.
Alain Dervieux, Directeur de Recherche à l’INRIA, Sophia Antipolis.
Dany Vandromme, Professeur à l’INSA de Rouen.
Patrick Vuillermoz, Ingénieur à EADS Space Transportation, Paris.
Yves Burtschell, Maître de Conférence à l’Université de Provence.
Marc Medale, Professeur à l’Université de Provence.
David E. Zeitoun, Professeur à l’Université de Provence.
Olivier Debordes, Professeur à l’EGIM, Marseille.
Laboratoire IUSTI - UMR 6595 : Université de Provence / CNRS

Remerciements
Avant tout, je remercie les membres du jury pour avoir pris le temps de juger ce travail.
Je tiens à remercier chaleureusement Yves Burtschell et Marc Medale pour leur patience, leurs
compétences et leur amitié. Les trois années passées à vos cotés, Yves, Marc, m’ont énormément
apporté et je vous en suis reconnaissant.
Je ne vous oublie pas mes chers acolytes : Hervé Bournot, Lionel Meister et David Brutin,
compagnons de galère, ni Jérôme Vicente (qui comme moi est aussi pilote professionnel en Moto
GP). Pour tous les fou rires, pour votre amitié et tout le reste, merci.
J’aimerais aussi remercier Pierre Perrier, René Occelli, Georges Jourdan et Lazhar Houas.
Pour votre gentillesse, votre enthousiasme et l’intérêt que vous avez porté à mon travail, merci.
Si l’ambiance de travail à l’IUSTI est si agréable et si je suis toujours allé au laboratoire avec
plaisir, c’est grâce à vous : Eric (Valérioooo), Ouamar, Christophe, Jean-Louis, Stéphane, Jean-
Claude, Paul, Guillaume, Patrick, Guy, Valérie, Laetitia, Micheline, Nelly, Christelle, Jeanne...
Je remercie de tout mon coeur ma grande famille pour tout ce qu’elle a fait pour moi. Cela a
été un immense plaisir et une grande fierté de vous voir (presque) tous assister à ma soutenance,
merci!!!
Merci aussi Guillaume, Carole (et Eugénie!!), Sébastien, Christian et la famille Roumestan
pour votre amitié.
Enfin, merci ma petite Lili pour tout ce que tu fais pour moi, pour tes encouragements et
pour ton amour.
i

à ma lili
iii

Sommaire
Table des figures
Liste des tableaux
ix
xiii
Introduction générale 1
Partie I Etude de l’instabilité de Richtmyer-Meshkov 5
Chapitre 1 Introduction 7
Chapitre 2 Modèles utilisés pour le calcul des écoulements 11
2.1 Modèles physiques de la dynamique des fluides compressibles . . . . . . . . . 12
2.1.1 Equations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Expression des termes sources chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Modèle réactionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Discrétisation par la méthode des volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Modèles numériques pour la simulation d’écoulements hyper-enthalpiques 14
2.2.2 Erreurs induites par une description eulerienne dans le cas d’un maillage
mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chapitre 3 Etude de l’interaction choc/bulle 25
3.1 Interaction choc/bulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Etude du cas lourd/léger avec une bulle de Krypton dans de l’air . . . 28
3.1.3 Etude du cas léger/lourd avec une bulle d’Hélium dans de l’air . . . . 35
3.1.4 Etude du cas densité similaire avec une bulle d’Azote dans de l’air . . 40
3.2 Approche analytique permettant l’évaluation du volume de la bulle . . . . . . 41
3.3 Modèle réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chapitre 4 Synthèse sur l’étude des instabilités de Richtmyer-Meshkov 49
Partie II Interactions fluide-structure 51
Chapitre 5 Introduction 53
v

Sommaire
Chapitre 6 Modèles utilisés pour le calcul des structures 57
6.1 Modèles physiques de la dynamique des structures déformables . . . . . . . . 58
6.1.1 Equation locale d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2 Tenseurs de déformations et de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.3 Forme variationnelle pour le problème d’élasto-dynamique . . . . . . . 59
6.2 Discrétisation par la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Algorithme de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3.1 Validation et influence des coefficients β et γ . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Chapitre 7 Stratégie numérique de couplage 69
7.1 Algorithmes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Passage des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3 Traitement du maillage dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Chapitre 8 Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise
à un écoulement supersonique 75
8.1 Données du cas d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2 Recherche du flutter dans le cas d’un fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3 Recherche du flutter dans le cas d’un fluide visqueux . . . . . . . . . . . . . . 87
8.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Chapitre 9 Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure 91
9.1 Pérégrinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2 Données du cas test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3 Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 50 mm × 1 mm . . . . . . . . 98
9.4 Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 40 mm × 1 mm . . . . . . . . 106
9.5 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Chapitre 10 Etude de la tuyère du banc MASCOTE 111
10.1 Données du cas d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2.1 Configuration de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2.2 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Chapitre 11 Synthèse sur la simulation de l’interaction fluide-structure 121
Conclusions et Perspectives 123
vi
Annexes 129
Description du dispositif expérimental 131
1 Dispositif concernant l’interface à perturbations uni-modales 2D . . . . . . . 132
2 Dispositif concernant l’interaction choc/bulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Annexe A Etude de l’interaction d’une onde de choc avec une perturbation
positive et une négative 135
Références 143
vii

Table des figures
1.1 Exemple de croissance de pertubations induite par l’instabilité de Richmyer-Meshkov
8
1.2 Expériences réalisées par Jacobs et al. [50], Department of Aerospace and Mechanical
Engineering, Arizona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Champs de vitesse des frontières des cellules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Profil de masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Profil de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1 Géométrie du domaine de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Maillage près de la bulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Clichés ombroscopiques et Schlieren numérique pour la bulle de Krypton, Mach 1,2 29
3.4 Clichés ombroscopiques et Schlieren numérique pour la bulle de Krypton, Mach 1,2 30
3.5 Déposition et convection des vortex pour la bulle de Krypton . . . . . . . . . . . 31
3.6 Confirmation par la simulation de la génération et convection des vortex pour la
bulle de Krypton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 Comparaison bulle/cylindre de Krypton à t = 0,94 ms après l’interaction avec un
choc à Mach 1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.8 Comparaison simulation/expérience pour une bulle de Krypton à t = 0,49 ms
après l’interaction avec un choc à Mach 1,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Dilatation du tore de vorticité pour la bulle de Krypton . . . . . . . . . . . . . . 34
3.10 Clichés ombroscopiques et Schlieren numérique pour la bulle d’Hélium, Mach 1,2 36
3.11 Génération et convection des vortex pour la bulle d’Hélium . . . . . . . . . . . . 37
3.12 Confirmation par la simulation de la génération et convection des vortex pour la
bulle d’Hélium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13 Comparaison bulle/cylindre de Krypton à t = 0,280 ms après l’interaction avec
un choc à Mach 1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.14 Dilatation du tore de vorticité pour la bulle d’Hélium . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ix

Table des figures
3.15 Comparaison simulation/expérience pour une bulle d’Azote à t = 0,038 ms, t =
0,108 ms, t = 0,248 ms après l’interaction avec un choc à Mach 1,2 . . . . . . . 40
3.16 Interaction d’une onde de choc avec une interface : choc réfléchi (a), faisceau de
détentes (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.17 Deuxième étape d’intéraction d’une onde de choc avec une interface . . . . . . . . 44
3.18 Evolution du rapport de compression, résultats de la simulation . . . . . . . . . . 45
3.19 Evolution du rapport de compression, résultats de la simulation et de l’expérience 46
4.1 Chronologie des mécanismes pilotant l’instabilité de Richtmyer-Meshkov . . . . . 50
5.1 Effondrement du pont de Tacoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1 Mouvement en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Mouvement en flexion, déplacement transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Mouvement en flexion, déplacement longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.4 Influence de β et γ sur la flèche de la poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.1 Algorithme de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Passage des conditions aux limites à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3 Répartitions des déplacements du maillage dynamique . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Maillage dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.1 Géométrie du domaine de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2 Détails des maillages du domaine de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.3 Convergence du pas de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.4 Champ de pression initial, cas d’un fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.5 Champ de pression au cours d’une période de déformation de la plaque, Mach 2,2 80
8.6 Evolution du coefficient de portance à Mach 2,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.7 Evolution du coefficient de portance sur une période et position correspondante
de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.8 Spectre de puissance des FFT du déplacement de x 1 pour un temps d’exploration
de 0,09 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.9 FFT du C p à 4f p pour un temps d’exploration de 0,09 s . . . . . . . . . . . . . . 84
8.10 FFT du C p à 3f p pour un temps d’exploration de 0,6 s . . . . . . . . . . . . . . 85
8.11 Décollement de couche limite, iso-valeurs de la masse volumique . . . . . . . . . . 87
8.12 Evolution schématique de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.13 Evolution comparée du C p dans le cas fluide parfait et fluide réel, Mach 2,1 . . . 88
8.14 FFT du déplacement de x 2 à 9f p pour un temps d’exploration de 0,45 s . . . . . 89
x

9.1 Quelques configurations envisagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.3 Montage choisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.4 Maillage utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5 Analogie avec les phénomènes présents dans les boosters de fusées . . . . . . . . . 97
9.6 Comparaison simulation/expérience, panneau Acier de 50 mm × 1 mm . . . . . . 99
9.7 Comparaison simulation/expérience, panneau Acier de 50 mm × 1 mm . . . . . . 100
9.8 Comparaison simulation/expérience, panneau Acier de 50 mm × 1 mm . . . . . . 101
9.9 Diagramme (x,t) de la masse volumique à y = 65 mm . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.10 Evolution de la pression pour la plaque de 50 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.11 Evolution de la flèche pour la plaque de 50 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.12 Evolution de la pression pour la plaque de 40 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.13 Evolution de la flèche pour la plaque de 40 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.14 Premiers résultats avec une plaque inclinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.15 Premiers résultats avec une plaque inclinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.1 Dessin d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2 Géométrie du domaine de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.3 Phase d’amorçage de la tuyère MASCOTE, fraction massique de HO2 et Mach . 116
10.4 Capteur 1 déplacement suivant x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.5 Capteur 1 déplacement suivant y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.6 Capteur 2 déplacement suivant x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.7 Capteur 2 déplacement suivant y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.8 Capteur 3 déplacement suivant x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.9 Capteur 3 déplacement suivant y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1 Un cas montage pour un cas test 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2 Validation de la phase instationnaire avec modèle de turbulence . . . . . . . . . 127
3 Etude de l’interaction d’un choc conique et sphérique à t = 0,11 ms et t = 0,20 ms128
1 Tube à choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2 Schéma d’onde dans le tube à choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3 Schéma du système de prise de vue pour les expériences chocs/bulles . . . . . . . 134
A.1 Géométrie du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.2 Schlieren comparé à une coupe plane laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.3 Schlieren comparé à une coupe plane laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.4 Schlieren comparé à une coupe plane laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
xi

Table des figures
A.5 Mécanisme de génération de vorticite : perturbation négative . . . . . . . . . . . 140
A.6 Mécanisme de génération de vorticite : perturbation positive . . . . . . . . . . . . 140
A.7 Diagrammes x,t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
xii

Liste des tableaux
2.1 Espèces et réactions du modèle de Evans et Schexnayder. * : réduction à sept
espèces et huit équations ; †= * + réactions sans dissociation de N 2 : réduction à
huit espèces et seize réactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Constantes cinétiques de la chimie de Evans et Schexnayder : elles sont données
sous la forme k = AT B exp (−θ/T) avec θ = E a /R. Les numéros des équations
correspondent à celles du tableau ??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Conditions initiales du cas test de Sod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Conditions d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.1 Famille d’algorithme de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1 Conditions d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2 Exemples de géométrie et matériaux utilisables (issus des équations ??, ??, ??) . 97
10.1 Conditions d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
xiii

Introduction générale
Complément de choix à l’analyse théorique et aux études expérimentales, la modélisation
numérique contribue de nos jours activement à la compréhension de problèmes physiques de
plus en plus complexes. Ce travail de thèse consacré à la simulation d’écoulements compressibles
à grande vitesse, figés ou réactifs, en apporte une illustration supplémentaire. Il s’inscrit dans
le cadre plus général d’un programme de recherches conduit dans notre laboratoire visant, à
terme, la modélisation numérique du fonctionnement de moteur à combustion supersonique de
type scramjet. En effet, cette technologie de propulsion possède un potentiel très prometteur (le
X − 43 de la NASA a ainsi volé à la vitesse record de Mach 7), mais son problème majeur reste
de maintenir la combustion H2-Air dans un écoulement supersonique établi. Ces phénomènes de
combustion sont très dépendants des zones de mélange et des configurations d’ondes de choc.
De plus, ces zones de mélange peuvent être induites par des instabilités telles que celles de
Richtmyer-Meshkov. En outre, la position des ondes de choc, ainsi que les décollements de couche
limite, sont imposés par la géométrie. Par conséquent, une étape nouvelle est donc de prendre
en compte dans la simulation les évolutions géométriques dues aux déformations de la structure.
Ainsi, notre objectif est de se doter d’outils numériques capables de modéliser ces problèmes. C’est
pourquoi, nous avons contribué au développement de deux codes de recherche existant CARBUR
et MARCUS. Le premier est un code volumes finis qui simule des écoulements instationnaires
compressibles à grande vitesse, réactifs et hors d’équilibre. Il est développé dans le laboratoire
depuis une dizaine d’années [16]. L’utilisation de ce code a permis, par exemple, de concevoir un
système d’aspiration de couche limite optimal en vu d’accroître le temps de rafale des souffleries
supersoniques à choc réfléchi [17]. De même, des études ont été menées pour montrer l’importance
de la prise en compte du déséquilibre thermochimique dans la simulation d’écoulements à haute
enthalpie génératrice [12] et [14]. Plus récemment, des simulations conduites avec CARBUR ont
apporté une meilleure compréhension de la prédominance des effets visqueux dans les phénomènes
d’hystérésis rencontrés dans un écoulement autour un dard axisymétrique [15]. Le deuxième code,
MARCUS, est un code éléments finis qui modélise la dynamique des structures déformables. Ce
code est également développé dans le laboratoire. Il a été par ailleurs utilisé pour simuler les
instabilités thermo-convectives de Benard-Marangoni [75]. Comme la capacité de la méthode des
1

Introduction générale
éléments finis n’est plus à démontrer pour simuler la dynamique des structures déformables, nous
avons choisi d’étendre MARCUS aux problèmes d’élasto-dynamique.
Afin d’évaluer la capacité et la fiabilité de CARBUR pour traiter des instabilités de Richtmyer-
Meshkov, nous nous proposons en premier lieu de simuler l’interaction d’une onde de choc avec
une bulle. Cette simulation sera comparée à des expériences. Trois cas d’interaction ont été numériquement
étudiés et comparés à des expériences : une bulle de Krypton dans de l’air (cas
lourd/léger), une bulle d’Hélium dans de l’air (léger/lourd) et une bulle d’Azote dans de l’air
(densités proches). Pour ces différents cas, nous proposons une explication des mécanismes pilotant
la distorsion de la bulle. De même, une méthode d’évaluation analytique du volume final
de l’inhomogénéité est proposée, puis confrontée à l’évaluation numérique et expérimentale de
ce même volume. Ces différentes études permettront de conclure sur la validité de CARBUR
à décrire le mélange d’espèces gazeuses induit par l’instabilité de Richtmyer-Meshkov. Cette
étape constitue ainsi un objectif intermédiaire puisqu’une description correcte de la combustion
supersonique passe par la bonne caractérisation du mélange des espèces réactives.
Le deuxième thème abordé est celui de la modélisation de l’interaction fluide-structure. Nous
avons couplé les codes MARCUS et CARBUR pour modéliser cette interaction. Cette thématique
étant nouvelle dans le laboratoire, nous avons d’abord procédé à des étapes de validation. La
première étude réalisée concerne le mouvement d’une plaque plane dont une des faces est soumise
à un écoulement supersonique. Pour un certain régime d’écoulement apparaît un phénomène de
flutter, qui dans le cas particulier d’un fluide parfait, peut être prédit par un modèle analytique.
Retrouver ce phénomène de résonance dû au couplage aéroélastique permet de valider notre
approche numérique. Une fois le cas du fluide parfait traité, nous avons étendu notre simulation
en prenant en compte la viscosité du fluide.
Confrontés au manque de cas test traitant de phénomènes instationnaires, nous avons ensuite
été conduits à concevoir un montage expérimental pour pallier cette déficience. Le montage retenu
est constitué d’une plaque plane déformable, maintenue transversale à l’écoulement d’un tube
à choc. Sous la sollicitation de la rafale du tube à choc, le panneau se déforme et oscille. Une
première étude est effectuée pour une plaque 50 mm de longueur. Des comparaisons du Schlieren
numérique et des clichés ombroscopiques, ainsi que l’évolution de la pression expérimentale et
numérique au niveau d’un capteur sont réalisées. Pour faire face à des problèmes de déformations
parasites sur le dispositif expérimental, nous avons considéré l’étude d’une seconde plaque de
40 mm.
Dans une dernière étude, nous simulons les déformations de la tuyère du banc MASCOTE de
ONERA en prenant en compte les phénomènes de combustion. Les objectifs sont de vérifier le
bon comportement de notre modèle pour traiter d’un cas industriel donné et réaliser un premier
couplage avec un écoulement réactif. Les résultats ont confirmé la bonne modularité du code
ainsi que sa bonne stabilité lors de la prise en compte des phénomènes de combustion.
2

Finalement, nous concluons ce travail en dressant les possibilités et domaines de validité
de nos outils numériques, en vue de simuler des écoulements pouvant être rencontrés dans un
réacteur supersonique. Nous proposons également les perspectives que nous envisageons à plus
ou moins long terme.
3

Première partie
Etude de l’instabilité de
Richtmyer-Meshkov
5

1
Introduction
Quand deux fluides de masses volumiques différentes, séparés par une interface, sont accélérés,
de manière continue ou bien impulsionnelle, il peut apparaître des instabilités de mouvement
résultant de l’accroissement de perturbations géométriques de l’interface.
Ainsi, un fluide lourd placé au dessus d’un fluide léger soumis au champ de pesanteur, représente
une situation instable où la moindre perturbation de l’interface séparant les deux fluides
déstabilise cette dernière et amorce le mouvement du fluide lourd vers le bas, du fluide léger vers
le haut. La position finale des deux fluides étant, bien sûr, la situation stable du fluide léger en
haut et du fluide lourd en bas. Cette instabilité est dite de Rayleigh-Taylor (RT) du nom de ceux
qui la mirent en évidence (Rayleigh en 1900 [88] et Taylor en 1950 [100]). Notons que dans ce cas
l’accélération de l’interface est constante. L’interpénétration des deux fluides peut être découpée
en plusieurs régimes : linéaire, non linéaire puis turbulent.
Si maintenant l’interface est fortement accélérée pendant un court instant, par exemple par le
passage d’une onde de choc, nous parlerons d’instabilité de Richtmyer-Meshkov (RM). Du nom
de Richtmyer, qui fût le premier à en proposer une étude théorique en 1960 [89], et de Meshkov
qui la validat expérimentalement en 1969 [77]. Comme pour l’instabilité de RT, celle de RM
comporte elle aussi divers régimes de croissance des perturbations : linéaire, non linéaire puis
turbulent. Mais contrairement aux instabilités de RT, celles de RM apparaissent quelque soit
le sens du gradient de densité. Sur la figure 1.1 est schématisée la croissance des perturbations
accélérées par une onde de choc qui se déplace d’un fluide léger vers un fluide lourd.
La compréhension de ce type d’écoulement revêt une importance capitale pour un grand
nombre d’applications technologiques, telles que la fusion par confinement inertiel, les explosions
nucléaires, la combustion dans les scramjets, les implosions de supernovas, etc. Ainsi durant
les deux dernières décennies, les instabilités de RM sont devenues un sujet d’études théoriques,
expérimentales et numériques. Si les phases de croissance linéaire, voire non linéaire sont de nos
jours bien caractérisées, la transition vers la turbulence ainsi que le régime turbulent sont encore
7

Chapitre 1. Introduction
Léger
Lourd
Onde de choc
Pointe
Bulles
Croissance
des
perturbations
Champignon
Pointe
Bulles
Fig. 1.1 – Exemple de croissance de pertubations induite par l’instabilité de Richmyer-Meshkov
mal décrits. Or, le régime turbulent est, par exemple, responsable de la trop grande déperdition
d’énergie lors de l’implosion des capsules de Deutérium, et ainsi empêche l’obtention de la fusion
atomique. Ceci souligne l’enjeu de la compréhension de la transition vers la turbulence.
Expérimentalement, les instabilités de RM ont été largement étudiées. Une manière simple
de générer ce type d’écoulement est d’utiliser un tube à chocs et une interface initialement
perturbée. La difficulté étant de maintenir séparés les deux gaz jusqu’au passage de l’onde choc.
Ainsi, les premières expériences de E. Meshkov furent réalisées avec une membrane séparatrice de
0,9 µm d’épaisseur en nitrocellulose [77], présentant une perturbation sinusoïdale de longueur
d’onde λ = 40 mm et d’amplitude a 0 = 2 mm ou a 0 = 4 mm. Cette perturbation est dite
uni-modale. D’autres expériences de ce type furent réalisées par Oakley et al. [80] en 1999 avec
des ondes incidentes à fort nombre de Mach, de même que Brouillette en 1989 [11]. Suivant
le même principe Jourdan et Houas [47] ont proposé des expériences uni-mode mais avec deux
perturbations (positive-positive et positive-négative) pour les deux cas lourd/léger et léger/lourd.
Nous mentionnerons aussi le dispositif original de Jacobs et Nierderhaus pour l’étude d’une
interface entre deux fluides soumise à une accélération impulsionnelle générée par le rebond sur
ressort, figure 1.2.
Les perturbations multi-modes peuvent êtres obtenues par une séparation cette fois-ci plane
des deux media à l’aide d’une fine membrane. Les imperfections de rupture de celle-ci, ainsi
que les bouts résiduels de nitrocellulose génèrent des perturbations aléatoires, voir par exemple
8

Fig. 1.2 – Expériences réalisées par Jacobs et al. [50], Department of Aerospace and Mechanical
Engineering, Arizona
Houas [46].
Une autre configuration géométrique génératrice de ce type d’instabilité consiste à utiliser une
inhomogénéité sphérique ou cylindrique qui subit le passage d’un choc. Ainsi, Haas et Sturtevant
[40] ont étudié l’interaction d’une onde de choc avec un cylindre d’Hélium par une technique
d’ombroscopie. De même Jacobs [49] et plus récemment Zoldi [113] ont réalisé le même type
d’interaction mais en utilisant une méthode PLIF. En outre, des expériences choc/bulle ont été
réalisées par Layes [67] en tube à choc avec une méthode de diagnostic de type ombroscopie. Mais
les difficultés de mesure inhérentes aux expériences laissent une place importante aux expériences
numériques. Ainsi de nombreuses simulations ont été proposées dans la littérature, Quirk et Karni
[87], ainsi que Marquina et Mullet ont simulé les expériences de Haas et Sturtevant [40]. Bagadir
et Drikakis [5] ont, quant à eux, caractérisé l’influence du Mach de l’onde de choc incidente
interagissant avec un cylindre. Sur les pertubations uni ou multi-modales, on notera entre autres
les études de Kotelnikov et al. [64], Zabusky et al. [110].
On remarquera que, d’une part, peu de simulations ont été proposées sur l’interaction d’une
onde de choc et d’une bulle (mis à part Levy et al. [72] en 2003 et plus récemment Motl et al. [78]
en 2004 ) et, d’autre part, l’étude du re-choc d’une interface reste d’actualité, comme l’attestent
les travaux de Schilling et al. [93] en 2004. De plus, toutes ces études montrent que les approches
numérique et expérimentale sont fortement complémentaires. Le travail que nous proposons dans
cette partie tente de tenir compte de ces remarques. En effet, les études que nous avons menées
concernent l’interaction d’une onde de choc avec des perturbations uni-modales et une sphère.
En outre, ces simulations sont effectuées en parallèle d’expériences conduites au laboratoire
par G. Layes, G. Jourdan et L. Houas. Cette collaboration est autant utile aux numériciens
qu’aux expérimentateurs. Nous validerons notre approche sur les différentes expériences et, par
la suite, nous pourrons aider à la conception de nouvelles expériences à moindre coût. De même,
9

Chapitre 1. Introduction
la simulation permet un accès à toutes les quantités physiques, comme la vorticité, les termes
barocliniques, les espèces chimiques, etc., permettant ainsi une meilleure compréhension des
phénomènes mis en jeu.
Tout d’abord, nous présentons les modèles physiques d’un écoulement compressible réactif
et la méthode utilisée pour les discrétiser. Ensuite, nous exposerons les résultats relatifs à l’interaction
choc/bulle, en particulier une étude sur l’évolution du volume de l’inhomogénéité. Sur
cette géométrie, tous les rapports léger/lourd, lourd/léger et de densité proche ont été traités.
De plus, nous trouverons en annexes un brève description des dispositifs expérimentaux utilisés.
Ceci pour permettre de mieux cerner les contraintes rencontrées par les expérimentateurs,
ainsi que de justifier certains choix pour la simulation (les conditions aux limites, etc.). Seront
présentés également en annexe, les calculs menés sur l’interaction d’un choc et de perturbations
uni-modales. Les expériences ont été menées pour une interface possédant une perturbation positive
et une négative, ainsi que pour une interface disposant de deux perturbations positives.
Dans ces deux derniers cas seul le cas lourd/léger est simulé. Enfin nous conclurons sur cette
thématique d’instabilité de Richtmyer-Meshkov et en dégagerons les perspectives.
10

2
Modèles utilisés pour le calcul des
écoulements
Sommaire
2.1 Modèles physiques de la dynamique des fluides compressibles . 12
2.1.1 Equations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Expression des termes sources chimiques . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Modèle réactionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Discrétisation par la méthode des volumes finis . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Modèles numériques pour la simulation d’écoulements hyper-enthalpiques 14
2.2.2 Erreurs induites par une description eulerienne dans le cas d’un
maillage mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Cette partie a pour but de présenter les modèles physiques décrivant des écoulements compressibles
figés ou réactifs. Ces équations sont discrétisées par une méthode de volumes finis,
précise au second ordre en espace et en temps. Le schéma réactionnel de la combustion H2 Air
retenu est basé sur celui de Evans et Shexnayder [21]. De plus, une simulation d’un cas de Sod
avec un maillage mobile montrera les erreurs engendrées par une description cinématique purement
eulérienne. L’importance de ces erreurs devra nous renseignera sur la possibilité, ou non,
d’utiliser une description eulérienne dans le cas de problèmes à frontières mobiles.
11

Chapitre 2. Modèles utilisés pour le calcul des écoulements
2.1 Modèles physiques de la dynamique des fluides compressibles
2.1.1 Equations de conservation
Nous considerons que l’écoulement satisfait les hypothèses suivantes :
– le fluide est considéré comme un milieu continu;
– son comportement rhéologique est newtonien;
– il est compressible;
– la force de pesanteur est négligeable;
– l’écoulement est laminaire;
– c’est un mélange de Ns espèces de gaz parfaits ;
– on compte Nsc espèces chimiques et Nm molécules.
Soient les équations de conservation qui régissent l’écoulement fluide dans le cadre de ces
hypothèses [45], [2] :
– conservation de la masse :
∂ρ es
∂t
+ ∂ρ esu es i
∂x i
= ω es (2.1)
où x i la variable d’espace, t la variable temporelle, ρ es est la masse volumique de l’espèce
considérée es, u es i la composante de sa vitesse dans la direction i et ω es son taux de
production dû aux réactions chimiques. La vitesse de l’espèce est la somme de la vitesse de
diffusion u d es i et de la vitesse moyenne du mélange u i. Les composantes de cette dernière
se définissent par la pondération de la vitesse de chaque espèce par sa fraction massique :
u i =
∑Ns
es=1
ρ es
ρ u es i =
– conservation de la quantité de mouvement :
∑Ns
es=1
Y es u es i (2.2)
∂ρu j
∂t
+ ∂ (ρu ju i + pδ ij − τ ij )
∂x i
= 0 (2.3)
où p est la pression du mélange, τ ij le tenseur des contraintes de cisaillement et δij le
symbole de Kronecker.
– conservation de l’énergie :
∂ρe
∂t + ∂ (ρu ie + u i p − u i τ ij + q i )
∂x i
= 0 (2.4)
où e est l’énergie totale massique et q i le flux de chaleur de conduction dans la direction i.
– equations de relaxation vibrationnelle sur les Nm molécules hors équilibre [39], [16] :
∂ρe vm
∂t
(
+ ∂ρe ∂ q
vmu i vi + ∑ )
Nm
n
ρ s e vm V vj
+
= Ω vib (2.5)
∂x i ∂x i
12

2.1. Modèles physiques de la dynamique des fluides compressibles
2.1.2 Expression des termes sources chimiques
L’étude d’ecoulements à haute enthalpie génératrice impose de ne pas préjuger de l’état
thermo-chimique du gaz. Ainsi les équations de relaxation chimique et vibrationnelle du gaz
doivent être modélisées afin de rendre compte d’un éventuel état à l’équilibre, figé et hors d’équilibre
[81]. Considérons une réaction chimique écrite sous sa forme générique (réactions chimiques
de l’air à haute température, combustion, etc.) :
∑Nsc
ν k ′ A k ⇐⇒
k=1
∑Nsc
k=1
ν ′′
k A k (2.6)
où ν
k ′ et ν′′
k
représentent, respectivement, les coefficients stoechiométriques directs et inverses
de chaque produits A k ; Nsc étant le nombre total d’espèces qui peuvent réagir. Le taux de
production molaire de l’espèce k se calcule de la manière suivante :
dn k
dt
= (ν ′′
k − ν′ k )(K d
∏
l
n ν′ l
l
− K i
∏
l
n ν′′ l
l
) (2.7)
où k d et K i sont les vitesses de la réaction directe et inverse et n k = ρ k /M k représente le nombre
de môles de l’espèce k par unité de volume. Ainsi, pour obtenir le taux de production massique
total, on additionne le terme dρ k
dt
sur les N r réactions que contient le modèle réactif choisi, soit :
∑N r
( ) dnk
ω k = M k
dt
r
r=1
(2.8)
Les vitesses de réactions directe K d,r et inverse K i,r reposent sur des lois dépendant essentiellement
de la température de la translation T du mélange. La vitesse directe s’écrit :
K d,r = A r T Br exp( −θ r
T ) (2.9)
où les constantes A r , B r et θ r sont respectivement le facteur pré-exponentiel, l’exposant préexponentiel
et la température d’activation de la réaction numéro r. Ces constantes de réaction
sont généralement déduites par un ajustement à des mesures expérimentales [81]. Les vitesses
de réaction inverse K b,r sont, suivant le modèle, soit données de la même manière, soit liées à la
vitesse directe au moyen la constante d’équilibre K eq,r par la relation :
2.1.3 Modèle réactionnel
K i,r = K d,r
K eq,r
(2.10)
Une réaction chimique est généralement composée de nombreuses réactions élémentaires faisant
intervenir des intermédiaires réactionnels. Lorsque l’on veut simuler cette réaction, il faut
en fait le faire pour l’ensemble des réactions élémentaires [76]. Mais le plus souvent on peut
13

Chapitre 2. Modèles utilisés pour le calcul des écoulements
s’affranchir de les prendre toutes en compte en faisant un certain nombre d’hypothèses simplificatrices
en vue de réduire le temps de calcul et la place utilisée en mémoire. Dans nos travaux,
nous nous intéressons à la combustion de l’hydrogène dans l’air. La cinétique de cette chimie est
bien connue et fait intervenir une centaine de réactions intermédiaires. Cependant d’un point
de vue du temps de calcul, il est hors de propos de vouloir simuler l’ensemble de ces réactions.
De nombreux modèles sont disponibles pour cette combustion et nous avons choisi celui d’Evans
et Shexnayder [21] pour notre étude. Evans et Schexnayder proposent dans [21] une cinétique
chimique originale à vingt-cinq équations et douze espèces. Ce schéma intègre une cinétique plus
réduite à sept espèces et huit réactions présentée par Spiegler et al. [96]. Néanmoins, HO2 joue
un grand rôle dans la combustion mais cette espèce n’est pas présente dans le schéma cinétique
de Spiegler et al. Aussi faisons nous le choix de rajouter à cet ensemble de réactions les équations
du schéma complet de Evans et Schexnayder faisant intervenir HO2. Ceci nous donne un schéma
cinétique à huit espèces et seize réactions, c’est à dire plus complet que le modèle de Spiegler
et moins onéreux que celui de Evans et Schexnayder. Dans ce nouveau schéma, nous faisons
l’hypothèse que N2 n’est pas dissocié aux températures auxquelles nous nous trouvons. Dans le
tableau 2.1, nous faisons figurer l’ensemble des espèces et des réactions du modèle de Evans et
Schexnayder. Les espèces et réactions marquées par * sont celles du schéma de Spiegler. L’extension
avec prise en compte de l’espèce HO2 mais sans dissociation de N2 rajoute au modèle * les
espèces et réactions identifiées par †. Les vitesses de réaction directes et inverses sont données
dans le tableau 2.2.
2.2 Discrétisation par la méthode des volumes finis
2.2.1 Modèles numériques pour la simulation d’écoulements hyper-enthalpiques
Nous avons donné l’expression des éléments constituant les équations aux dérivées partielles
(EDP) de Navier-Stokes pour un mélange de gaz réactifs. Ce système d’équations peut aussi
s’écrire sous la forme vectorielle suivante :
∂U
∂t + −→ [ ]
div F(U) = Ω c (2.11)
où
14
– U représente le vecteur des variables conservatives, avec u i les composantes de la vitesse,

2.2. Discrétisation par la méthode des volumes finis
Espèces
Réactions
*1. H 1. HNO 2 + M ⇋ NO + OH + M †14. OH + OH ⇋ H + HO 2
*2. O 2. NO 2 + M ⇋ NO + O + M †15. H 2 O + O ⇋ H + HO 2
*3. H 2 O *3. H 2 + M ⇋ H + H + M †16. OH + O 2 ⇋ O + HO 2
*4. OH *4. O 2 + M ⇋ O + O + M †17. H 2 O + O 2 ⇋ OH + HO 2
*5. O 2 *5. H 2 O + M ⇋ OH + H + M †18. H 2 O + OH ⇋ H 2 + HO 2
*6. H 2 *6. OH + M ⇋ O + H + M 19. O + N 2 ⇋ N + NO
*7. N 2 †7. HO 2 + M ⇋ H + O 2 + M 20. H + NO ⇋ N + OH
8. N *8. H 2 O + O ⇋ OH + OH 21. O + NO ⇋ N + O 2
9. NO *9. H 2 O + H ⇋ OH + H 2 22. NO + OH ⇋ H + NO 2
10. NO 2 *10. O 2 + H ⇋ OH + O 23. NO + O 2 ⇋ O + NO 2
†11. HO 2 *11. H 2 + O ⇋ OH + H 24. NO 2 + H 2 ⇋ H + HNO 2
12. HNO 2 †12. H 2 + O 2 ⇋ OH + OH 25. NO 2 + OH ⇋ NO + HO 2
†13. H 2 + O 2 ⇋ H + HO 2
Tab. 2.1 – Espèces et réactions du modèle de Evans et Schexnayder. * : réduction à sept espèces
et huit équations ; †= * + réactions sans dissociation de N 2 : réduction à huit espèces et seize
réactions.
ρ la masse volumique du mélange et Y es les fractions massiques des Ns espèces présentes :
⎛
U =
⎜
⎝
ρY 1
.
.
.
ρY Ns
ρu 1
ρu 2
ρu 3
ρe
⎞
⎟
⎠
15

Chapitre 2. Modèles utilisés pour le calcul des écoulements
Sens direct
Sens inverse
A B θ A B θ
1. 5.0 × 10 17 -1.0 25000 8.0 × 10 15 0.0 -1000
2. 1.1 × 10 16 0.0 32712 1.1 × 10 15 0.0 -941
3. 5.5 × 10 18 -1.0 51987 1.8×10 18 -1.0 0
4. 7.2 × 10 18 -1.0 59340 4.0×10 17 -1.0 0
5. 5.2 × 10 21 -1.5 59386 4.4×10 20 -1.5 0
6. 8.5 × 10 18 -1.0 50830 7.1×10 18 -1.0 0
7. 1.7 × 10 16 0.0 23100 1.1×10 16 0.0 -440
8. 5.8 × 10 13 0.0 9059 5.3×10 12 0.0 503
9. 8.4 × 10 13 0.0 10116 2.0×10 13 0.0 2600
10. 2.2 × 10 14 0.0 8455 1.5×10 13 0.0 0
11. 7.5 × 10 13 0.0 5586 3.0×10 13 0.0 4429
12. 1.7 × 10 13 0.0 24232 5.7×10 11 0.0 14922
13. 1.9 × 10 13 0.0 24100 1.3×10 13 0.0 0
14. 1.7 × 10 11 0.5 21137 6.0×10 13 0.0 0
15. 5.8 × 10 11 0.5 28686 3.0×10 13 0.0 0
16. 3.7 × 10 11 0.64 27840 1.0×10 13 0.0 0
17. 2.0 × 10 11 0.5 36296 1.2×10 13 0.0 0
18. 1.2 × 10 12 0.21 39815 1.7×10 13 0.0 12582
19. 5.0 × 10 13 0.0 37940 1.1×10 13 0.0 0
20. 1.7 × 10 14 0.0 24500 4.5×10 13 0.0 0
21. 2.4 × 10 11 0.5 19200 1.0×10 12 0.5 3120
22. 2.0 × 10 11 0.5 15500 3.5×10 14 0.0 740
23. 1.0 × 10 12 0.0 22800 1.0×10 13 0.0 302
24. 2.4 × 10 13 0.0 14500 5.0×10 11 0.5 1500
25. 1.0 × 10 11 0.5 6000 3.0×10 12 0.5 1200
Tab. 2.2 – Constantes cinétiques de la chimie de Evans et Schexnayder : elles sont données sous
la forme k = AT B exp (−θ/T) avec θ = E a /R. Les numéros des équations correspondent à celles
du tableau 2.1.
16

2.2. Discrétisation par la méthode des volumes finis
– Ω c le vecteur des termes sources chimiques :
⎛
Ω c =
⎜
⎝
ω 1
.
.
.
ω Nsc
0
.
.
0
⎞
⎟
⎠
– −→ F (U) est égal à la somme des vecteurs flux dans les trois directions d’espace :
−→ F (U) = F
−→ x1 + G −→ x 2 + H −→ x 3 (2.12)
qui se décomposent eux même en une partie convective et diffusive :
−−−→
F(U) = (F c + F d ) −→ x 1 + (G c + G d ) −→ x 2 + (H c + H d ) −→ x 3 (2.13)
Ces flux s’expriment de la manière suivante pour les flux convectifs :
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ρY 1 u 1
ρY 1 u 2
ρY 1 u 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
F c =
ρY Ns u 1
G c =
ρY Ns u 2
H c =
ρY Ns u 3
ρu 2 1 + p
ρu 2 u 1
ρu 3 u 1
ρu 1 u 2
ρu 2 2 + p
ρu 3 u 2
⎜
⎝ ρu 1 u ⎟ ⎜
3 ⎠ ⎝ ρu 2 u ⎟ ⎜
3 ⎠ ⎝ ρu 2 3 + p
⎟
⎠
(ρe + p)u 1 (ρe + p)u 2 (ρe + p) u 3
et pour les flux diffusifs :
⎛
⎞ ⎛
ρY 1 u d 1 1
.
.
.
F d =
ρY Ns u d Ns 1
G d =
τ 11
τ 12
⎜
⎝ τ ⎟ ⎜
13 ⎠ ⎝
(u 1 τ 11 + u 2 τ 12 + u 3 τ 12 ) + q 1
⎞
ρY 1 u d 1 2
.
.
.
ρY Ns u d Ns 2
τ 21
τ 22
τ ⎟
23 ⎠
(u 1 τ 21 + u 2 τ 22 + u 3 τ 23 +) + q 2
17

Chapitre 2. Modèles utilisés pour le calcul des écoulements
et
⎛
H d =
⎜
⎝
⎞
ρY 1 u d 1 3
.
.
.
ρY Ns u d Ns 3
τ 31
τ 32
τ ⎟
33 ⎠
(u 1 τ 31 + u 2 τ 32 + u 3 τ 33 ) + q 3
et dans l’expression des flux diffusifs les termes visqueux prennent les formes suivantes :
τ 11 = 4 3 µ∂u 1
− 2 (
∂x 1 3 µ ∂u2
+ ∂u )
3
(2.14)
∂x 2 ∂x 3
τ 22 = 4 3 µ∂u 2
− 2 (
∂x 2 3 µ ∂u1
+ ∂u )
3
(2.15)
∂x 1 ∂x 3
τ 33 = 4 3 µ∂u 3
− 2 (
∂x 3 3 µ ∂u1
+ ∂u )
2
(2.16)
∂x 1 ∂x 2
( ∂u1
τ 12 = τ 21 = µ + ∂u )
2
(2.17)
∂x 2 ∂x 1
( ∂u2
τ 23 = τ 32 = µ + ∂u )
3
(2.18)
∂x 3 ∂x 2
( ∂u3
τ 31 = τ 13 = µ + ∂u )
1
(2.19)
∂x 1 ∂x 3
La géométrie réelle de l’écoulement est discrétisée en une somme de cellules (quadrilatères
Q4) dans lesquelles chaque grandeur physique est supposée constante. Une cellule C i représente
un volume dV de contrôle où l’on peut intégrer l’équation 2.11 ([36], [41]), on obtient la forme
suivante :
∂U i
∂t
∫
C i
dV +
faces
∑
k=1
( (−→Fk )∫
où −→ n est la normale d’une des quatre faces.
∂C k i
−→ n dS
)
= Ω c i
∫
C i
dV (2.20)
La résolution de ce système d’équations se fait à l’ordre 2 en espace et en temps. Le schéma
employé est de type Muscl [16]. L’estimation des flux convectifs se fait par la résolution d’un
problème de Riemann aux interfaces [102]. La partie diffusive est quand à elle traitée par une
méthode de différences finies [44].
Dans le cas d’un problème d’interaction fluide-structure la géométrie du domaine fluide varie,
donc le maillage aussi. Dès lors, il est plus rigoureux d’utiliser une description cinématique mixte
Arbitrary Lagrangian Eulerian [1]. La forme discrétisée 2.20 devient
18

2.2. Discrétisation par la méthode des volumes finis
∫ )
∂
(U i dV(t) +
∂t C i
faces
∑
k=1
( (−→Fk
− −→ w k U k
) ∫ ∂C k i
où −→ w k représente la vitesse de la face k de la cellule.
−→ n dS
)
= Ω c i
∫
C i
dV(t) (2.21)
Bien qu’une modélisation où la vitesse du maillage soit négligée induise des erreurs, nous
nous proposons d’en estimer l’importance.
2.2.2 Erreurs induites par une description eulerienne dans le cas d’un maillage
mobile
Pour mesurer ces erreurs, nous étudions l’écoulement dans un tube à choc en reprenant
les conditions initiales du premier cas test de Sod [95]. Ces conditions sont présentées dans le
tableau 2.3.
Propriétés Etat 4 Etat 1
γ 1,4 1,4
Pression (Pa) 15 10 5 1 10 5
Température (K) 1000 300
Vitesse (m/s) 0 0
Tab. 2.3 – Conditions initiales du cas test de Sod
Le domaine d’écoulement de 1 m de long est discrétisé par 100 cellules. Le problème est
supposé monodimensionnel. Nous allons simuler le problème avec un maillage fixe, puis mobile.
Pour déformer le maillage, nous imposons à la frontière de la cellule initialement au milieu du
tube, une vitesse. Ainsi, en considérant que le maillage reste continu, nous obtenons un champ
de vitesse des frontières des cellules, schématisé sur la figure 2.1.
Nous imposons trois valeurs de vitesse à la cellule du milieu : 10 m/s, 20 m/s, 100 m/s.
Nous comparons l’évolution des champs de masse volumique et de vitesse du fluide à t =
0,55 ms pour le maillage fixe, le maillage mobile avec une description ALE et le maillage mobile
sans ALE.
Les figures 2.2 et 2.3 montrent que, jusqu’à une vitesse de maille imposée de 20 m/s, la
différence entre les descriptions ALE et eulérienne n’est pas significative. Les erreurs générées
deviennent par contre très importantes pour une vitesse de maille de 100 m/s, soit ≈ U fluide /4.
Or dans les problèmes d’interactions fluide-structure, les vitesses de mailles sont imposées par les
vibrations de la structure. Ces vitesses de vibration sont relativement faibles vis-à-vis de celles
de l’écoulement, en particulier dans des écoulements supersoniques. Avec ces considérations et
les conclusions du cas test de Sod, nous pensons que de ne pas utiliser de description ALE dans
les problèmes d’interactions fluide-structure génère des erreurs acceptables, voire négligeables.
19

Chapitre 2. Modèles utilisés pour le calcul des écoulements
Vitesse imposée
Vitesse des frontières
t
t +dt
Vitesse de la frontière de
la cellule i
temps
Fig. 2.1 – Champs de vitesse des frontières des cellules
20

2.2. Discrétisation par la méthode des volumes finis
rho (kg/m 3 )
5
4.5
4
3.5
Maillage fixe
100 m/s ALE
100 m/s sans ALE
20 m/s sans ALE
10 m/s sans ALE
3
2.5
2
1.5
0.25 0.5 0.75
X (m)
Fig. 2.2 – Profil de masse volumique
21

Chapitre 2. Modèles utilisés pour le calcul des écoulements
U (m/s)
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Maillage fixe
100 m/s ALE
100 m/s sans ALE
20 m/s sans ALE
10 m/s sans ALE
0 0.25 0.5 0.75 1
X (m)
Fig. 2.3 – Profil de vitesse
22

2.2. Discrétisation par la méthode des volumes finis
L’extension aux cas multidimensionnels peut être discutée, car les directions des vitesses caractéristiques
du maillage et de l’écoulement peuvent être différentes. Mais les études que nous
présentons dans ce mémoire aux chapitres 8 et 9, semblent étayer nos conclusions.
23

Chapitre 2. Modèles utilisés pour le calcul des écoulements
2.3 Synthèse
Cette partie nous a permit de présenter les modèles décrivant la physique des écoulements
étudiés ainsi que leur discrétisation. Après avoir exposé les équations de conservation et celles
de relaxation vibrationnelle, nous avons exprimé les termes sources chimiques. Le schéma réactionnel
de combustion utilisé est celui proposé par Evans et Shexnayder augmenté d’une espèce
chimique (HO2). Une discrétisation par volumes finis au second ordre en temps et en espace est
adoptée. Les flux convectifs sont calculés en résolvant le problème de Riemann à chaque interface,
tandis que, les flux diffusifs sont estimés par une méthode de différences finies. Ensuite, nous
avons présenté la formulation en description cinématique mixte ALE des équations discrétisées.
Cette formulation permet de prendre en compte les flux engendrés par la vitesse des frontières
des cellules. Cependant, nous avons voulu quantifier l’erreur engendrée par une description cinématique
purement eulérienne dans le cas d’un maillage mobile. La simulation d’un cas test de
Sod avec un maillage mobile a montré que pour des vitesses de mailles faibles vis-à-vis de celles
de l’écoulement, l’erreur générée est acceptable. Ainsi, dans les problèmes d’interaction fluidestructure,
nous garderons, dans l’optique d’une première approche, une formulation purement
eulérienne des équations.
24

3
Etude de l’interaction choc/bulle
Sommaire
3.1 Interaction choc/bulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Etude du cas lourd/léger avec une bulle de Krypton dans de l’air . 28
3.1.3 Etude du cas léger/lourd avec une bulle d’Hélium dans de l’air . . . 35
3.1.4 Etude du cas densité similaire avec une bulle d’Azote dans de l’air . 40
3.2 Approche analytique permettant l’évaluation du volume de la
bulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Modèle réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Dans ce chapitre nous présentons les résultats de la modélisation de l’interaction choc/bulle.
Trois cas ont été étudiés : une bulle de Krypton dans de l’air (léger/lourd), une bulle d’Hélium
dans de l’air (lourd/léger) et une bulle d’azote dans de l’air (densités proches). Ces simulations
sont comparées aux expériences menées par G. Layes, G. Jourdan et L. Houas. Un bon accord
est trouvé. Ces études permettent de donner une explication sur les mécanismes pilotant la déformation
des bulles. De même, nous tentons de mettre en exergue les différences de comportement
entre une bulle et un cylindre soumis à un même choc incident. Nous développons également
une méthode analytique permettant d’évaluer le volume d’une inhomogénéité soumise au passage
d’un choc. Ainsi, nous comparons l’évolution du volume des différentes bulles obtenue par
les trois méthodes : analytique, expérimentale et numérique. Nos communications relatives à ce
chapitre sont : [54] et une en cours de soumission [52].
25

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
3.1 Interaction choc/bulle
3.1.1 Données
Les données utilisées pour la simulation doivent correspondrent à la réalité physique de l’expérience.
La géométrie du domaine est décrite sur la figure 3.1 Notons que, dans la simulation
Paroi
Sortie
Air
293 K, 1 atm
gamma=7/5
Axe de symétrie
r =20 mm
He ou Kr
293 K, 1 atm
gamma=5/3
Onde de choc
incidente
Entrée
40 mm
160 mm
Fig. 3.1 – Géométrie du domaine de calcul
nous supposons le problème axisymétrique : une bulle sphérique dans un tube de section circulaire
et non pas une bulle dans un tube de section carrée. Cette hypothèse induit une légère
modification des réflexions d’ondes et une focalisation sur l’axe de symétrie plus importante que
dans la réalité.
L’entrée est modélisée en résolvant un problème de Riemann en imposant la vitesse, la température
ainsi que la pression à l’arrière du choc incident (voir annexes 11). La simulation est
effectuée pour deux valeurs de Mach de l’onde incidente, les conditions d’entrée sont donc :
Onde incidente Mach 1,2 Mach 1,7
Pression d’entrée 151333 Pa 320000 Pa
Vitesse d’entrée 105,03 m/s 318,48 m/s
Température d’entrée 330,5 K 427,3 K
Tab. 3.1 – Conditions d’entrée
Comme on ne prend pas en compte la couche limite incidente développée lors du passage
de l’onde de choc dans tout le tube basse pression, nous avons considéré, dans un premier
temps, aucune condition d’adhérence du fluide aux parois. La sortie utilisée est une sortie zéro
extrapolation. La simulation prend en compte la viscosité des fluides ainsi que leur différence de
γ. Le maillage utilisé comporte 1000×200 cellules. La frontière initiale de la bulle est ciculaire (le
maillage coïncide initialement avec l’interface) et nous avons raffiné le maillage près de celle-ci
comme le montre la figure 3.2.
26

0.04
0.03
Y
0.02
0.01
0
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
X
Fig. 3.2 – Maillage près de la bulle

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
3.1.2 Etude du cas lourd/léger avec une bulle de Krypton dans de l’air
Ce premier cas d’étude est celui d’une onde de choc se déplaçant dans un milieu léger (air)
et rencontrant une inhomogénéité sphérique lourde (Krypton). Nous pouvons calculer le nombre
d’Atwood, avant le passage du choc, correspondant à ces deux gaz, sachant qu’initialement ils
sont à pression et température ambiantes (P = 1 10 5 Pa et T = 293 K) :
A t = ρ Kr − ρ air
ρ Kr + ρ air
= 0,49 (3.1)
Comme le nombre d’Atwood A t est positif, il ne doit pas y avoir de phase de retournement
de la perturbation, donc de retournement de la bulle. Sur les figures 3.3 et 3.4, nous pouvons voir
les clichés expérimentaux à gauche –ombroscopie intégrée sur le chemin optique– et numériques
à droite -schlieren. Ces images représentent l’évolution de la bulle de Krypton déformée par le
passage du choc incident toutes les 70 µs. Le zéro temporel étant fixé au moment où le choc
touche la bulle (image 1 de 3.3).
Sur l’image 2, on peut voir la forme courbe du choc transmis à la bulle. Ce choc est moins
rapide que le choc incident à cause de la vitesse du son dans le Krypton (≈ 218 m/s à pression
et température ambiantes) plus faible que dans l’air. De ce fait, le choc transmis reste attaché au
pied du choc incident. On remarque une focalisation importante des ondes sur l’axe de symétrie
quand le choc incident a contourné la bulle (image 3). Sur l’image 4, on note de multiples
réflexions à l’intérieur de la bulle, ainsi que le choc doublement transmis. C’est aussi à partir de
ce moment qu’on distingue un jet qui semble partir à contre sens. Ce jet traverse la bulle et la
transperce plus tard (image 16 sur la figure 3.4). A partir de l’image 5 des tourbillons sont visibles
sur le contour de l’inhomogénéité. Ces vortex se développent et provoquent le ”déversement” ou
le retournement de la bulle par sa périphérie. Sur l’image 12, on peut considérer l’existence d’un
tore de vorticité où le reste de Krypton semble venir s’enrouler. Cette aspiration du Krypton
tend à diminuer le corps de la bulle. Il reste, tout de même une pointe de Krypton sur l’axe de
symétrie.
On peut penser que c’est la vorticité qui pilote la déformation de la bulle. Si l’on considère
l’équation suivante :
∂ω/∂t =
−u · ∇ω − ω (∇ · u) + ω · ∇u + 1 ρ 2 ∇ρ × ∇p
( (
+ µ ρ ∇2 ω + ∇ × 1
ρ
+ µ ρ 2 (∇ρ × ∇ × ω) − 4µ
3ρ 2 (∇ρ × ∇ (∇ · u))
(
−
2
3
(∇ · u)(∇µ + 2(∇u) · (∇µ) + (∇µ) × ω)))
Cette équation est issue de la théorie de Picone et Boris [82] sur la génération non-linéaire de
vorticité par un choc, ω représente la vorticité, p la pression, ρ la masse volumique et u le vecteur
28

3.1. Interaction choc/bulle
1
2
3
4
5
6
7
8
Fig. 3.3 – Clichés ombroscopiques et Schlieren numérique pour la bulle de Krypton, Mach 1,2
29

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
9
10
11
12
13
14
15
16
Fig. 3.4 – Clichés ombroscopiques et Schlieren numérique pour la bulle de Krypton, Mach 1,2
30

3.1. Interaction choc/bulle
vitesse. Le premier membre de la partie droite de l’équation représente le terme d’advection de
vorticité, le deuxième dilatation, le troisième d’étirement et le quatrième le terme de génération
baroclinique. Les termes qui suivent sont liés à la viscosité. Bien que Hewett et Madnia [43]
aient souligné l’importance de ces termes, nous les négligerons dans un premier temps. Ce choix
de ne pas tenir compte des termes induits par la viscosité est justifiable pour les temps courts
jusqu’aux temps intermédiaires. Or nous voulons ici comprendre les mécanismes de démarrage
de l’instabilité, donc pour les premiers instants. On peut donc se permettre de ne pas considérer
les termes inhérents à la viscosité. En outre, tenter d’expliquer les mécanismes de l’instabilité de
Richtmyer-Meshkov du point de vue de la vorticité est une approche relativement récente. Après
l’établissement de l’équation 3.1.2 par Picone et Boris [82], Hawley et Zabusky [42] puis encore
Samtaney et Zabusky [90] sont allés plus loin est ont initié le paradigme du vortex.
Par cette équation, on voit que le passage du choc crée une nappe d’effets barocliniques, qui
vont initier la création de vorticité. En effet, les gradients de pression et de masse volumique ne
sont pas colinéaires sur le lieu des points d’intersection (au cours du temps) du choc incident et de
l’interface. Ces termes barocliniques sont la source principale de création de vorticité. La vorticité
générée à l’intérieur de la bulle par la courbure du choc transmis est quasiment négligeable.
Initialement concentrée sur la frontière séparant les deux gaz, cette nappe de vorticité va être
convectée et dilatée par l’écoulement. Ces mécanismes sont contenus dans les deux membres de
convection et dilatation de l’équation 3.1.2. On pense aussi que la convection intervient avant la
dilatation. Si on regarde sur le schéma 3.5 :
Onde de choc
incidente
w
drho
dP
Nappe de
vorticité
Lourd
Léger
Convection
de la nappe
Onde de choc
tranmise
Fig. 3.5 – Déposition et convection des vortex pour la bulle de Krypton
31

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
Cette figure montre où se situent les vortex appartenant à la nappe tourbillonnaire, et suivant
quelle direction ils vont être transportés par l’écoulement. De plus, la vitesse relative des
tourbillons entre eux, ainsi que leur sens de rotation se conjuguent pour déformer la bulle. Ils
provoquent un déversement de celle ci par sa périphérie. Numériquement, nous obtenons la confirmation
de ce mécanisme de création de vorticité, comme le montre la figure 3.6. La zone en bleu
foncé correspond au lieu de forte vorticité et est confondue avec la frontière de la bulle.
rot -37111 -30017 -22923 -15829 -8735 -1641 5454 12548
Forme initiale de
la bulle
Choc
incident
Choc
transmis
t=0,15 ms t=0,07 ms t=0,038 ms t=0,023 ms
Fig. 3.6 – Confirmation par la simulation de la génération et convection des vortex pour la bulle
de Krypton
Ces mécanismes de déformation s’appliquent aussi au cas d’un cylindre de Krypton soumis au
passage d’un choc. La différentce entre le cas 2D et axisymétrique se situe au niveau de l’intensité
de la vorticité et bien sûr, sur la convection de la nappe. De même, il existe une différence notable
entre la bulle et le cylindre au niveau du jet inverse. Dans le cas de la bulle, il apparaît une pointe
de Krypton sur l’axe et dans cette pointe, un jet. C’est ce jet qui traverse la bulle sur l’image
16 de la planche 3.4. Pour le cylindre, on retrouve le jet mais pas de pointe. On note aussi une
intensité moindre du jet. On explique ces différences par la focalisation des ondes sur l’axe plus
intense dans le cas de la bulle. Les surpressions qui en résultent poussent plus intensément le jet.
La figure 3.7 résume les différence entre le cylindre et la bulle.
Expérimentalement, ce jet a pu être observé par G. Layes, mais pour une onde de choc
incidente plus forte (Mach 1,7). Sur l’image 3.8, nous comparons la simulation à l’expérience
dans ce dernier cas à t = 0,49 ms. Si la présence du jet est bien confirmée par l’expérience,
on note tout de même que la bulle numérique est plus étirée horizontalement. Verticalement les
dimensions sont proches entre les deux bulles. Ceci peut s’expliquer par la forme initiale de la bulle
expérimentale déformée par le poids du Krypton. Elle est donc plutôt ovoïde avec un diamètre
horizontal plus petit que celui vertical. En outre, dans la simulation le jet a complètement percé
32

3.1. Interaction choc/bulle
Cylindre (Krypton)
Jet inverse
Pointe
Jet inverse
Bulle (Krypton)
Fig. 3.7 – Comparaison bulle/cylindre de Krypton à t = 0,94 ms après l’interaction avec un
choc à Mach 1,2
la bulle contrairement à l’expérience. Si la focalisation des chocs sur l’axe de symétrie joue un rôle
primordial dans la formation de ce jet, il ne faut pas oublier que dans la simulation la section du
tube à choc est supposée circulaire. Or dans l’expérience, la section du tube est carrée. Donc, la
focalisation est certainement surévaluée dans la simulation, entraînant de fait un jet plus rapide.
Simulation
Vortex
Expérience
Jet
Fig. 3.8 – Comparaison simulation/expérience pour une bulle de Krypton à t = 0,49 ms après
l’interaction avec un choc à Mach 1,7
Pour les temps longs, il semble que ce soient les termes de dilatation qui prédominent dans
33

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
les mécanismes de distorsion de la bulle. La bulle se déplace globalement avec l’air environent, et
c’est l’enroulement sur lui-même qui est responsable du grossissement du tore de vorticité. Cette
remarque est valable pour le tourbillon qui transperce la bulle : son amplification est elle aussi
due aux termes de dilatation. La figure 3.9 montre cette dilatation du tore de vorticité principal.
Fig. 3.9 – Dilatation du tore de vorticité pour la bulle de Krypton
34

3.1. Interaction choc/bulle
3.1.3 Etude du cas léger/lourd avec une bulle d’Hélium dans de l’air
Ce deuxième cas concerne l’interaction d’une onde de choc se déplaçant dans de l’air avec une
bulle d’Hélium. Cette onde passe donc, d’un milieu lourd à un milieu léger. Le nombre d’Atwood
correspondant à ce cas est :
A t = ρ He − ρ air
ρ He + ρ air
= −0,78 (3.2)
Le nombre d’Atwood étant négatif, la théorie prédit un retournement de la pertubation
géométrique, donc de la bulle. Sur la figure 3.10 est représentée la distorsion de la bulle induite
par l’instabilité de Richtmyer-Meshkov.
Sont disposés en vis-à-vis, les clichés ombroscopiques de l’expérience à gauche et un Schlieren
numérique à droite. Comme pour la bulle de Krypton, les images sont prises toutes les 70 µs et
le temps zéro correspond à l’impact de l’onde incidente avec la bulle. On note que le mouvement
de la bulle d’Hélium est beaucoup plus rapide que celui de Krypton. Sur l’image 1, on distingue
le choc transmis à la bulle. La vitesse du son étant cette fois ci plus rapide dans la bulle que dans
l’air (≈ 1010 m/s dans de l’Hélium à pression et température ambiantes) la courbure est inversée
par rapport à la bulle de Krypton. Ainsi le choc transmis se détache du pied du choc incident et
sort de la bulle avant que le choc incident l’ait contournée. Ce choc doublement transmis et l’onde
incidente coalescent en un choc plan entre les images 5 et 6. Le retournement de la bulle se fait
par l’axe, au contraire de la bulle lourde. Sur l’image 3, la forme en haricot de l’inhomogénéité
témoigne d’une partie arrière de la bulle plus rapide que la partie avant. Dès l’image 4, cette
partie arrière a rattrapé l’avant de la bulle et perce celle-ci sur l’image 5. A partir de cette
image, la bulle se scinde en deux tores de vorticité. La séparation de ces deux anneaux semble
s’accentuer au cours du temps. Comme pour la bulle de Krypton, la focalisation importante des
ondes réfléchies (images 3, 4 et 5) accélère le retournement de la bulle en augmentant la pression
au niveau de l’axe de symétrie. Les mécanismes induisant le retournement de la bulle d’Hélium
sont les mêmes que pour la bulle de Krypton. Au passage d’un choc, il y a création d’une nappe
de vorticité qui coïncide avec la frontière de la bulle. Mais des différences distinguent les cas
d’une bulle d’Hélium et de Krypton :
– le choc transmis se détache du choc incident et donc génère par son passage une première
création de vorticité
– le choc incident suit le choc transmis et crée à son tour une nappe de vorticité, mais sur le
même lieu de points : la frontière de la bulle. Il y a donc une augmentation de la vorticité.
– les termes barocliniques générateurs de vorticité sont de signes opposés de ceux du Krypton
car ils dépendent du sens du gradient de densité;
– la courbure du choc transmis est, elle aussi, inversée à cause de la vitesse du son dans les
différents gaz. C’est ce qui va modifier la convection des tourbillons.
35

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
1
2
3
4
5
6
7
8
Fig. 3.10 – Clichés ombroscopiques et Schlieren numérique pour la bulle d’Hélium, Mach 1,2
36

3.1. Interaction choc/bulle
Ainsi, les vortex générés sont de sens contraire et sont convectés par l’écoulement suivant la
courbure du choc transmis, comme le montre le schéma 3.11. Là aussi, ces deux termes s’ajoutent
pour provoquer le retournement de la bulle. En outre, le double passage du choc transmis et du
choc incident induit des termes baroclines de même signe qui s’ajoutent dans la création de
vorticité.
dP
w
w
Ondes de
détentes
drho
Convection
de la nappe
Nappe de
vorticité
Onde de choc
incidente
dP
drho
Convection
de la nappe
Léger
Lourd
Onde de choc
tranmise
Ondes de
détentes
Onde de choc
incidente
Fig. 3.11 – Génération et convection des vortex pour la bulle d’Hélium
Numériquement, on observe cette double création de vortex par les deux chocs. Sur la figure
3.12 la zone en rouge foncé est synonyme de forte vorticité.
De même, la focalisation plus intense des ondes due à l’axisymétrie augmente la surpression
sur l’axe et donc accélère le retournement de la bulle. Cette constatation est confirmée en
comparant cette simulation choc/bulle à celle choc/cylindre, toujours dans le cas d’Hélium. La
figure 3.13 représente la déformation d’un cylindre sur la partie supérieure et la déformation
d’une bulle sur la partie inférieure, à t = 280 µs.
Une fois la bulle accélérée à une vitesse moyenne équivalente à celle de l’écoulement d’air,
la déformation de l’inhomogénéité est pilotée par la dilatation des tourbillons. Comme on peut
observer sur la figure 3.14, où est représentée la fraction massique d’Hélium, le tore de vorticité
37

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
rot -6745 873 8492 16111 23730 31349 38969 46588
Choc
incident
Forme initiale de
la bulle
Choc
transmis
t=0,04 ms t=0,037 ms t=0,029 ms t=0,020 ms
Fig. 3.12 – Confirmation par la simulation de la génération et convection des vortex pour la
bulle d’Hélium
Cylindre (Hélium)
Bulle (Hélium)
Fig. 3.13 – Comparaison bulle/cylindre de Krypton à t = 0,280 ms après l’interaction avec un
choc à Mach 1,2
38

3.1. Interaction choc/bulle
grossit et se dilate. On note aussi, une élongation longitudinale de la bulle.
Fig. 3.14 – Dilatation du tore de vorticité pour la bulle d’Hélium
39

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
3.1.4 Etude du cas densité similaire avec une bulle d’Azote dans de l’air
Ce dernier cas est celui d’une bulle d’Azote soumise au passage d’une onde de choc. La
densité de la bulle est donc très proche de celle de l’air l’entourant, imposant de fait un très
faible gradient de masse volumique au travers de l’interface. Sur la figure 3.15, nous comparons
le Schlieren aux clichés ombroscopiques.
Fig. 3.15 – Comparaison simulation/expérience pour une bulle d’Azote à t = 0,038 ms, t =
0,108 ms, t = 0,248 ms après l’interaction avec un choc à Mach 1,2
Comme on pouvait s’y attendre, seule la distorsion de la bulle due à sa compression est
observable. La génération de la nappe tourbillonnaire, due au termes baroclines, est quasi-nulle
car le gradient de masse volumique est trop faible. En outre, le choc transmis a la même célérité
dans la bulle et dans l’air environnent, donc le choc reste plan. Il n’y a donc pas de mécanisme
de convection pouvant induire une déformation de l’interface de la bulle. On note un léger
épaississement de l’interface induit par de la diffusion visqueuse et numérique.
40

3.2. Approche analytique permettant l’évaluation du volume de la bulle
3.2 Approche analytique permettant l’évaluation du volume de
la bulle
La caractérisation du volume d’une bulle, ou d’une inhomogénéité, soumise à l’instabilité
de Richtmyer-Meshkov est intéressante pour comprendre les schémas de transmission/réflexion
d’ondes. De plus, cela apporte un critère supplémentaire de validation des simulations. Nous
proposons donc une approche analytique permettant une estimation de ce volume. Elle est basée
sur la remarque suivante : comme la masse initiale de la bulle est connue, l’évolution du volume
de celle-ci est une fonction directe de l’évolution de la masse volumique du gaz la constituant.
Or, les variations de la masse volumique sont imposées par le passage des ondes choc. De plus, on
peut postuler que les vitesses des différentes ondes (incidente, transmise, réfléchie) sont mesurées
sur l’axe de symétrie du problème. Avec ces hypothèses, on peut ramener le problème à une seule
dimension (sur l’axe), tout du moins dans une première approche. La difficulté est maintenant de
connaître le système d’ondes issu de l’interaction d’un choc et d’une interface. C’est un problème
bien connu qui a été largement étudié dans les années 50 dans le cadre des écoulements en tube à
choc (taylorisation d’une interface, etc.). Notons en particulier les études de Glass et Sislian [32].
Considérons les deux systèmes d’onde possibles (figure 3.16) consécutifs à l’interaction d’une
onde de choc et d’une interface. La bulle représente l’état (1), l’air ambiant l’état (5) et (S 1 ) est
l’onde de choc incidente.
t
t
S3
3
2
S2
R3
3
2
S2
4
4
S1
5
1
S1
5
1
(a)
x
(b)
x
Fig. 3.16 – Interaction d’une onde de choc avec une interface : choc réfléchi (a), faisceau de
détentes (b)
La célérité de l’onde incidente ainsi que les états initiaux (1) et (5) sont supposés connus.
41

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
Pour connaître la nature de l’onde réfléchie sur l’interface, qui peut être une onde de choc ou un
système d’onde de détente, nous utilisons la relation :
E 15 ≶ α 1 + P 54
α 5 + P 54
(3.3)
où E 15 = e 1
e 5
est le rapport des énergies internes des deux gaz à l’état (1) et (5), P 54 = P 5
P 4
le
rapport de pression établi par le passage du choc incident. Dans la suite nous écrirons ξ ij = ξ i
ξ j
pour une quelconque variable ξ et α i = γ i+1
γ i −1 .
Si nous avons :
E 15 < α 1 + P 54
α 5 + P 54
(3.4)
l’onde réfléchie est une onde de choc (schéma (a) de la figure 3.16), et si :
E 15 > α 1 + P 54
α 5 + P 54
(3.5)
nous sommes en présence d’un faisceau d’ondes de détente (schéma (b) de la figure 3.16).
La limite E 15 → 0 correspondrait à l’interaction du choc avec un mur rigide, donc une
interface immobile.
Dans le premier type d’interaction nous avons à résoudre l’équation suivante :
où
et
[
] 2
E 15 = (α 1 + P 54 P 43 )h
(1 − P 54 P 43 ) 2 k(P 43 ) 1 P 43 − 1
2 + (3.6)
(α 5 + P 43 ) 1 2
h = α 5P 54 + 1
α 5 + P 54
(3.7)
1 − P 54
k =
(3.8)
(α 5 P 54 + 1) 1 2
La seule inconnue étant P 43 . La valeur du rapport P 43 donne, en utilisant les relations de
Rankine et Hugoniot, le Mach de l’onde S 3 , la pression P 3 , la masse volumique ρ 3 , la vitesse u 3
et en considérant que les gaz suivent la loi d’état des gaz parfaits, nous avons la température
T 3 . En outre, on sait qu’au travers de l’interface séparant les états (2) et (3), la pression et la
vitesse sont conservées, donc P 2 = P 3 et u 2 = u 3 . Connaissant ainsi le rapport P 21 , nous pouvons
calculer le Mach du choc transmis S 2 , et avec cette dernière donnée nous calculons la valeur de
la masse volumique ρ 2 .
Si l’on revient au deuxième type d’interaction (faisceau d’ondes de détentes), nous avons cette
fois ci à résoudre :
42

3.2. Approche analytique permettant l’évaluation du volume de la bulle
avec
[ ]1
P β 5
34 + f(P β 5 E 15
2
34 − P 54 )
− g − 1 = 0 (3.9)
α 1 P 34 + P 54
β i = γ i − 1
γ i
(3.10)
[ ]1
α5 + P 54
2
f =
α 5 P 54 + 1
(3.11)
[
g = (1 − P 54 )
β 5
α 5 P 54 + 1
]1
2
(3.12)
où la seule inconnue est le rapport P 34 . En appliquant la même démarche de résolution que
pour le premier cas nous parvenons à calculer toutes les grandeurs physiques, en particulier la
masse volumique ρ 2 . Si l’on applique cette méthode aux bulles, on trouve que l’interaction de
l’onde de choc incidente avec la bulle de Krypton donne lieu au premier cas d’interaction. Ceci
parait logique, car plus le gaz en (1) est lourd, plus il aura tendance à se comporter comme un
mur avec une forte réflexion d’onde. Au contraire, pour la bulle d’Hélium, le système d’onde
s’établissant est le deuxième, donc avec une détente. Là aussi, on peut imaginer que comme la
bulle est légère, son inertie est moindre et donc elle accélère plus vite que l’air, générant un
phénomène d’aspiration. Pour la bulle d’Azote, sa masse volumique très proche de celle de l’air
ainsi qu’un même gamma conduisent à un système d’onde particulier : l’onde réfléchie S 3 peut
être considérée comme une onde de Mach. Si cette onde S 3 est à Mach 1, elle ne provoque pas de
variation de pression entre les états (4) et (3). Dans ce cas on a P 2 = P 3 = P 4 et donc P 45 = P 21 ,
ce qui implique que le Mach de l’onde S 3 est identique à celui de S 1 . Avec ces relations, nous
trouvons : pour la bulle d’Hélium et une onde incidente à Mach 1,2 :
ρ He
final
Vinitial
He
2 = 0.1897 ⇒ V He
= ρHe 1
ρ He
2
pour la bulle de Krypton et une onde incident à Mach 1,2
ρ Kr
final
Vinitial
Kr
2 = 4.7812 ⇒ V Kr
= ρKr 1
ρ Kr
2
pour la bulle d’Hélium et une onde incidente à Mach 1,7 :
ρ He
final
Vinitial
He
2 = 0.2467 ⇒ V He
= ρHe 1
ρ He
2
pour la bulle de Krypton et une onde incident à Mach 1,7 :
ρ Kr
final
Vinitial
Kr
2 = 7.6681 ⇒ V Kr
= ρKr 1
ρ Kr
2
= 0.64 (3.13)
= 0.73 (3.14)
= 0.66 (3.15)
= 0.45 (3.16)
43

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
Ces valeurs de compressions sont fortement éloignées de celles que nous obtenons numériquement.
Ceci s’explique par le fait que nous n’avons, à ce stade, pas considéré ce que devient l’onde
de choc transmise quand elle rencontre l’interface arrière de la bulle.
Fig. 3.17 – Deuxième étape d’intéraction d’une onde de choc avec une interface
Les schémas d’onde possibles sont représentés sur la figure 3.17. Pour la bulle d’Hélium,
l’onde transmise passe d’un gaz léger à un gaz lourd, on retrouve donc une onde de choc réfléchie
sur l’interface (schéma (b ′ ) de la figure 3.17). Inversement, pour la bulle de Krypton, cette onde
passe d’un milieu lourd à un milieu léger, il y a création d’ondes de détente (schéma (a ′′ ) de
la figure 3.17). En suivant la même approche analytique que pour le premier étage, on peut
calculer la masse volumique de la bulle à l’état (3 ′ ). Pour cela, nous supposons connu l’état (5 ′ ),
qui correspond à l’air derrière la bulle. L’onde transmise à la bulle d’Hélium est plus rapide que
l’onde incidente dans l’air. Donc on peut en conclure que, lorsque l’onde transmise sort de la
bulle, elle rencontre de l’air à l’état initial. Mais l’onde S 2 dans le Krypton est plus lente que
l’onde incidente dans l’air. Il se peut qu’il y ait création d’une autre onde transmise par la partie
arrière de la bulle qui va se déplacer en sens inverse de la première. On se retrouve donc dans
le cas d’une interaction avec deux ondes de choc. Dans cette première approche, on va tout de
même supposer que l’onde transmise à la bulle de Krypton rencontre de l’air au repos, comme
dans la cas de la bulle d’Hélium.
Avec ces considérations et après calculs, nous obtenons :
pour la bulle d’Hélium et une onde incidente à Mach 1,2 :
ρ ′He
initial
Vfinal
He
3 = 0.2013 ⇒ V He
= ρHe 1
ρ ′He
3
pour la bulle de Krypton et une onde incident à Mach 1,2
= 0.81 (3.17)
ρ ′Kr
initial
Vfinal
Kr
3 = 4.3606 ⇒ V Kr
= ρKr 1
ρ ′Kr
3
pour la bulle d’Hélium et une onde incidente à Mach 1,7 :
= 0.80 (3.18)
44
ρ ′He
initial
Vfinal
He
3 = 0.2900 ⇒ V He
= ρHe 1
ρ ′He
3
pour la bulle de Krypton et une onde incident à Mach 1,7 :
= 0.56 (3.19)

3.2. Approche analytique permettant l’évaluation du volume de la bulle
ρ ′Kr
initial
Vfinal
Kr
3 = 6.1166 ⇒ V Kr
= ρKr 1
ρ ′Kr
3
= 0.57 (3.20)
On peut calculer un autre étage d’interaction pour la bulle d’Hélium, en regardant l’interaction
de l’onde de choc transmise-réfléchie avec l’interface avant de la bulle, on obtient : pour une
onde incidente à Mach 1.2
ρ ′He
initial
Vfinal
He
3 = 0.2065 ⇒ V He
et pour une onde incidente à Mach 1.7
= ρHe 1
ρ ′He
3
= 0.79 (3.21)
ρ ′He
initial
Vfinal
He
3 = 0.3104 ⇒ V He
= ρHe 1
ρ ′He
3
= 0.53 (3.22)
On n’effectuera pas ce dernier calcul pour la bulle de Krypton car vis-à-vis de l’hypothèse
émise à la deuxième étape, il ne serait pas justifiable de chercher plus de précision.
Pour revenir au cas de la bulle d’Azote, on sait que le faible écart de masse volumique entre
la bulle et l’air ambiant, ainsi que le même gamma de 1,4 induit une quasi-conservation du Mach
de l’onde incidente au travers des interfaces. Donc le calcul de masse volumique de l’état (2) est
évident. Par exemple, on trouve que le volume final de bulle représente 71% du volume initial
pour une onde incidente à Mach 1,2.
Si l’on compare ces valeurs analytiques de compression à celles issues de la simulations
(fig. 3.18) on trouve que :
Fig. 3.18 – Evolution du rapport de compression, résultats de la simulation
– pour la bulle d’Hélium, l’écart entre ces deux valeurs est de moins de 1%, et ce pour les
deux ondes incidentes (Mach 1,2 et 1,7). Ce faible écart atteste du bon accord des deux
approches ;
– pour la bulle de Krypton et pour une onde incidente à Mach 1,2, l’écart est de l’ordre de
1%. On conclut, là aussi, à un bon accord des deux approches ;
– pour la bulle de Krypton mais pour une onde incidente à Mach 1,7, l’écart est cette fois
ci de l’ordre de 7%. Cette plus grande variation est certainement imputable à l’hypothèse
émise au deuxième étage de l’interaction choc/interface;
– pour la bulle d’Azote, l’écart est aussi inférieur à 1%.
45

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
On note donc, un bon accord du modèle analytique et de la simulation sur la valeur finale
du volume de la bulle.
Expérimentalement, Layes [67] a mesuré les évolutions du volume d’une bulle d’Hélium et
d’une de Krypton soumises à un choc incident à Mach 1,2. Nous les avons comparées avec nos
résultats numériques comme le montre la figure 3.19. On remarque que la valeur asymptotique
des volumes semble être la même bien que les écarts soient importants pour les premiers instants.
Notons qu’il est très difficile de mesurer expérimentalement le volume de l’inhomogénéité car on
ne sait pas où se trouvent les espèces gazeuses. L’utilisation d’une coupe plane laser devrait
permettre des mesures plus précises. On considère tout de même que les écarts, relativement
faibles, sur la valeur finale du volume valident l’approche numérique et donc le modèle analytique.
V/Vo
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
He Mach 1,2
Kr Mach 1,2
Exp He Mach 1,2
Exp Kr Mach 1,2
0.2
0 0.0005 0.001
temps (s)
Fig. 3.19 – Evolution du rapport de compression, résultats de la simulation et de l’expérience
Pour conclure, nous pouvons dire (aux vues des faibles écarts entre la simulation et le modèle
analytique) que c’est le système d’onde qui pilote l’évolution du volume de l’inhomogénéité. Il
semble ne pas y avoir de phénomène de grossissement ou de concentration induit par l’instabilité
de Richtmyer-Meshkov. De plus, le volume final d’une bulle d’Hélium est quasiment identique
46

3.3. Modèle réduit
à celui d’une bulle de Krypton pour un choc incident fixé. Le volume final de l’inhomogénéité
dépendrait donc uniquement du couple de gammas (γ air /γ Kr ou γ air /γ He ) et de la force de
l’onde incidente. En outre, à aucun moment nous n’avons préjugé de la forme du volume initial
de l’inhomogénéité. Donc, cette méthode analytique peut s’appliquer aussi bien à des cylindres
qu’à des bulles "carrées", etc. D’ailleurs, nos simulation sur des cylindres et des bulles "carrées"
confirment les prédictions théoriques, voir figure 3.18. Nous montrons ainsi que le rapport de
compression d’une inhomogénéité ne dépend pas de sa forme initiale. Ce modèle analytique peut
être utilisé pour valider des modèles numériques, mais sa mise en œuvre est fastidieuse. D’où la
nécessité d’avoir un modèle réduit plus rapide.
3.3 Modèle réduit
La partie précédente nous a permis d’évaluer précisément le volume final d’une inhomogénéité
soumise au passage d’une onde de choc. Nous proposons ici une méthode plus rapide pour arriver
à ce resultat. Avec le calcul complet, nous connaissons la valeur de la pression qui règne dans
la bulle à l’état (3 ′ ), dans le cas du Krypton, et un étage plus tard pour la bulle d’Hélium
(cas non schématisé). On pourrait imaginer maintenant une seule onde fictive, qui ferait passer
l’inhomogénéité de son état initial à son état final. Avec les relations de Rankine et Hugoniot,
nous pouvons faire correspondre une onde au rapport de pression P final /P initial .
Les ondes fictives seraient les suivantes :
– pour la bulle d’Hélium et une onde incidente à Mach 1,2, on trouve une onde transmise
fictive à Mach 1,17;
– pour la bulle d’Hélium et une onde incidente à Mach 1,7, on trouve une onde transmise
fictive à Mach 1,6;
– pour la bulle de Krypton et une onde incidente à Mach 1,2, on trouve une onde transmise
fictive à Mach 1,17;
– pour la bulle de Krypton et une onde incidente à Mach 1,7, on trouve une onde transmise
fictive à Mach 1,6.
Deux remarques importantes s’en dégagent : les ondes transmises fictives sont identiques pour
l’Hélium et pour le Krypton et leur Mach est quasiment celui de l’onde incidente. A partir de
ces constatations, on peut évaluer la masse volumique des bulles en considérant que le Mach
de l’onde de choc se conserve au passage de l’interface. Cette masse volumique nous donnant le
volume, nous trouvons :
– pour la bulle d’Hélium et une onde incidente à Mach 1,2, on trouve un volume final de
77% de V 0 ;
– pour la bulle d’Hélium et une onde incidente à Mach 1,7, on trouve un volume final de
51% de V 0 ;
47

Chapitre 3. Etude de l’interaction choc/bulle
– pour la bulle de Krypton et une onde incidente à Mach 1,2, on trouve un volume final de
77% de V 0 ;
– pour la bulle de Krypton et une onde incidente à Mach 1,7, on trouve un volume final de
51% de V 0 ;
Comparé aux résultats de la méthode complète, on trouve un écart inférieur à 3% pour une
onde incidente à Mach 1,2 et un écart inférieur à 4% pour un choc incident à Mach 1,7. Ces
erreurs peuvent être considérées comme acceptable pour une évaluation rapide du rapport de
compression. Ceci permettra une validation supplémentaire, rapide, d’un modèle numérique. On
remarque une fois de plus, que la force de l’onde transmise fictive est la même pour la bulle
d’Hélium que pour la bulle de Krypton. Ceci souligne que le volume final dépend uniquement du
couple de gamma.
48

4
Synthèse sur l’étude des instabilités de
Richtmyer-Meshkov
Cette partie traitait de l’évolution d’une inhomogénéité soumise au passage d’une onde de
choc. Nous avons ainsi étudié les distorsions de trois types de bulles placées dans de l’air initialement
au repos. La première bulle était constituée de Krypton, la deuxième d’Hélium et la dernière
d’Azote. De plus, deux ondes incidentes ont été considérées : à Mach 1,2 et 1,7. L’écoulement
qui résulte de cette interaction est piloté par les instabilités de Richtmyer-Meshkov. L’objectif de
cette étude était double : d’abord évaluer la pertinence du code CARBUR à traiter l’évolution
d’une discontinuité de gaz accélérée de manière impulsionnelle et ensuite de proposer une description
des mécanismes responsables des distorsions observées. La comparaison des simulations
aux expériences conduites dans notre laboratoire a permit de montrer la validité de notre approche.
En effet, des Schlieren numériques comparés à des clichés ombroscopiques montrent que
les déformations des bulles, ainsi que les réflexions et transmissions d’ondes de choc sont correctement
simulées. Une fois affranchis de cette étape de validation, nous avons tenté de montrer
la chronologie des mécanismes pilotant l’instabilité. En s’appuyant sur la théorie de la vorticité,
ou paradigme de la vorticité, nous avons décrit la génération de la nappe tourbillonnaire par
les effets barocliniques. Ensuite nous avons montré comment cette nappe était convectée dans
les différents cas de bulles, puis comment les tores de vorticité se dilataient. Cette chronologie
est résumée sur la figure 4.1 où nous proposons également une limitation des régimes linéaire,
non-linéaire et turbulent.
Nous avons également proposé une méthode analytique d’évaluation du volume final de la
bulle. Basée uniquement sur les schémas d’ondes résultants des interactions chocs-interfaces,
notre méthode fournit une estimation du volume conforme à ceux issus des simulations et de
l’expérience (écarts ≈ 1%). N’ayant pas préjugé de la forme initiale de l’inhomogénéité, cette
approche peut s’appliquer à une géométrie initiale quelconque. De plus, cette quantification du
49

Chapitre 4. Synthèse sur l’étude des instabilités de Richtmyer-Meshkov
Déposition Convection Dilatation Dilatation et viscosité
temps
Linéaire Non linéaire Turbulent
Fig. 4.1 – Chronologie des mécanismes pilotant l’instabilité de Richtmyer-Meshkov
volume final montre que celui-ci ne dépend pas de la masse volumique, mais uniquement du
couple de γ et de la force de l’onde de choc incidente. Cette donnée peut amener un critère de
validation supplémentaire des modèles numériques.
50

Deuxième partie
Interactions fluide-structure
51

5
Introduction
La compréhension des problèmes couplés, tels ceux d’interaction fluide-structure est devenu
un enjeu technologique d’importance pour les mécaniciens. Que cela soit pour mieux concevoir
et dimensionner de manière optimale :
– un pont (Piperno [84]);
– un navire (Besnier [9], Liang et al. [73] et Ergin et Ugurlu [106]);
– des toiles de tentes ou de parachutes (Glück et al. [33] et [33] ou Kalro et Tezduyar [62]);
– un cœur artificiel (Zhang et Hisada [111]);
– des turbomachines (Gnesin et Rzadkowski [35]);
– et plus encore un avion (Geuzaine et al. [30]);
la caractérisation du couplage mécanique entre l’écoulement et la structure est devenu primordiale.
L’exemple le plus frappant d’un couplage fluide-structure est bien sûr celui observé le 7
novembre 1940 sur le pont de Tacoma [94]. Sous l’effet unique du vent, le pont fut complètement
détruit par un phénomène de résonance aéroélastique comme on peut le voir sur les images
de la figure 5.1. Ce problème de flottement, ou flutter, est l’objet des principales investigations
Fig. 5.1 – Effondrement du pont de Tacoma
menées sur l’interaction fluide-structure. Il apparaît sur des modes différents de ceux propres
à la structure et ne peut donc être prédit que par la prise en compte du couplage. Ainsi, de
nombreuses études ont pu, par exemple, établir des régimes de résonance aéroélastique pour des
53

Chapitre 5. Introduction
ailes d’avion ou des empennages. Mais, l’interaction fluide-structure ne se limite pas uniquement
à la recherche de couplages aéroélastiques. En particulier dans des écoulements compressibles,
lieux de fortes discontinuités comme les ondes chocs, l’évaluation des charges dynamiques sera
bien plus précise si l’on tient compte de l’interaction fluide-structure. En effet, les ondes de choc
sont très dépendantes des conditions géométriques du domaine d’écoulement, si celles-ci évoluent
au cours du temps, les positions des chocs seront perturbés. Ainsi, la quantification des pressions
pariétales, nécessaire au bon dimensionnement des structures sollicitées, sera plus pertinente s’il
l’on prend en compte les interactions entre l’écoulement et la structure. Et ceci même si l’on
n’observe pas de décalage modal des vibrations de la structure. En outre, du point de vue du
fluide, les phénomènes chimiques (combustion, vibrations moléculaires, etc.) présents dans des
écoulements hyper-enthalpiques, sont eux aussi intimement liés aux configurations d’ondes de
choc. Pour tenir compte de ces considérations, notre objectif est de mieux comprendre les phénomènes
d’interactions fluide-structure dans des écoulements supersoniques pouvant être hors
d’équilibre. Ce type d’interactions peut se rencontrer dans des tuyères de moteurs fusées, autour
d’engins à grande vitesse, dans des réacteurs supersoniques de type scramjet, etc. Notre approche
est basée sur le développement de codes numériques dédiés dont la souplesse devra nous permettre
de traiter un vaste champ de problèmes. De plus la maturité des codes fluide et structure
développés dans notre laboratoire permet d’envisager cet enjeu.
En effet, plusieurs approches numériques comparables ont permis d’aborder les problèmes
suivants :
– Schall et al. [92] sur la modélisation d’un jet dans une tuyère;
– Lefrançois et al. [68] sur le couplage aéroélastique dans une tuyère sur-détendue;
– Lardat et al. [66] sur l’étude d’un possible couplage aéroélastique dans un inverseur de
poussée;
– Gordier et Visbal [37] sur l’étude du flutter d’un panneau avec prise en compte de la
viscosité du fluide;
– Yosibash et al. [109], Zwaan et Prananta [114], Kroyer [65] ainsi que Newman et al. [79]
qui ont modélisé l’interaction d’un écoulement compressible avec des profils d’ailes.
La stratégie que nous avons adoptée tient compte de ces nombreux travaux publiés. Ces derniers
montrent qu’une approche monolithique, c’est-à-dire basée sur un code unique décrivant les deux
problèmes physiques, n’est pas optimale. Une technique numérique plus souple consiste à coupler
des codes propres à chaque problème, via les conditions aux limites. Bien que performante, il a
été montré que cette méthode est sensible aux algorithmes de couplage. En effet, pour de fort
sous-cyclage du domaine fluide il pouvait ne plus y avoir conservation de l’énergie échangée,
comme l’ont souligné Piperno et Farhat [85], [86]. Les deux codes que nous avons couplés sont
le code CARBUR et le code MARCUS. Le premier modélise des écoulements instationnaires
compressibles, figés ou réactifs, à l’équilibre ou hors d’équilibre physico-chimique (cf. chapitre 2).
54

Le second modélise la dynamique des structures déformables. Notons, que la réalisation de ce
couplage a débuté dans le cadre de cette thèse. Ainsi, une fois les choix d’algorithmes, de technique
de maillage dynamique, de passage de conditions aux limites, à priori fixés, notre tâche a consisté,
essentiellement, à essayer de valider notre approche. L’évolution de notre outil numérique s’est
faite en essayant de décrire de plus en plus précisément le physique (viscosité, instationnarité,
combustion) sans évolution notable sur un plan purement géométrique (pas de calculs 3D).
Après avoir décrit les modèles physiques de la dynamique des structures déformables, nous
développons leur discrétisation spatiale et temporelle. Nous aborderons ensuite la stratégie de
couplage retenue. Cette partie concerne donc, le choix de l’algorithme, la méthode pour traiter
le maillage dynamique ainsi que le passage des grandeurs physiques au niveau de l’interface.
Une fois le couplage des codes construit, nous simulerons le flottement d’un panneau soumis à
un écoulement supersonique. Ce premier cas test doit nous permettre de vérifier la pertinence
de notre approche dans la détection d’une résonance aéroélastique. Nous étendrons notre étude
aux fluides réels dans le but de quantifier l’influence de la viscosité sur le mouvement de la
plaque. Cette étude ne pouvant pas déterminer la validité du modèle à traiter des phénomènes
instationnaires d’interactions en fluides réels, nous avons conçu un montage expérimental. Ce
montage est composé d’une plaque verticale, déformable, subissant la rafale d’un tube à choc. La
confrontation de nos simulations et des expériences pourra amener une validation supplémentaire.
Une dernière étude est présentée dans l’objectif de tester non seulement la modularité de notre
approche numérique, mais encore sa stabilité lors de la prise en compte de réactions chimiques
de combustion.
55

6
Modèles utilisés pour le calcul des
structures
Sommaire
6.1 Modèles physiques de la dynamique des structures déformables 58
6.1.1 Equation locale d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2 Tenseurs de déformations et de contraintes . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.3 Forme variationnelle pour le problème d’élasto-dynamique . . . . . 59
6.2 Discrétisation par la méthode des éléments finis . . . . . . . . . 60
6.3 Algorithme de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3.1 Validation et influence des coefficients β et γ . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Dans ce chapitre nous décrivons brièvement les modèles physiques utilisés pour décrire la
dynamique d’une structure déformable. Nous présentons également la méthode permettant de
discrétiser spatialement et temporellement ces modèles.
57

Chapitre 6. Modèles utilisés pour le calcul des structures
6.1 Modèles physiques de la dynamique des structures déformables
Les hypothèses que nous admettons pour ce domaine sont les suivantes :
– le solide est homogène et isotrope;
– la force de pesanteur est négligée;
– la structure reste dans le domaine élastique;
– nous ne considérons aucun amortissement structural.
6.1.1 Equation locale d’équilibre
L’équation locale de la dynamique des structures déformables s’écrit (en négligeant tout
amortissement structural) :
−→
divσ(M,t) + −→ ∂ 2−−−−−→ U(M,t)
f v = ρ s
∂t 2 (6.1)
où −→ f v représente les forces volumiques et ρ s la masse volumique du solide. Nous associons à
cette équation deux types de conditions aux limites :
– cinématique : −→ U (∀M ∈ ∂ 1 S,t) = −→ U d avec ∂ 1 S définissant le bord de la structure S à
déplacements imposés −→ U d .
– d’effort : σ(∀M ∈ ∂ 2 S,t) ◦ −→ n = −→ f d avec ∂ 2 S définissant le bord de la structure S à efforts
imposés −→ f d et −→ n la normale extérieure au point considéré.
6.1.2 Tenseurs de déformations et de contraintes
Le tenseur des déformations ε(M,t) est défini par la relation suivante [19] :
ε(M,t) = 1 2
(grad −→ U (M,t) + grad t −→ U (M,t) + grad
−→ U (M,t) grad
t −→ U (M,t)
)
(6.2)
Où −→ U (M,t) est le vecteur déplacement du point M à l’instant t, tandis que
(grad −→ )
U grad t −→ U
sont les termes quadratiques à l’origine des non-linéarités géométriques du problème en grandes
déformations. Ces termes seront négligés dans l’hypothèse des petites déformations.
Le tenseur des contraintes est relié au tenseur des déformations par la relation de comportement
6.3 :
σ(M,t) = λTr(ε(M,t))I + 2µε (6.3)
Où λ et µ sont les coefficients de Lamé. Notons aussi que les coefficients de Lamé, λ et
µ, regroupent le module d’élasticité E et le module d’élasticité transversal ν comme suit (6.4
et 6.5) :
58

6.1. Modèles physiques de la dynamique des structures déformables
λ =
µ =
E
2(1 + ν)
Eν
(1 − 2ν)(1 + ν)
La relation 6.3 peut se mettre sous la forme d’un produit de matrice :
(6.4)
(6.5)
σ(M,t) = Hε(M,t) (6.6)
où H est le tenseur de Hooke généralisé.
En utilisant les propriétés de symétrie des tenseurs σ(M,t) et ε(M,t), on peut écrire 6.6 sous
la forme suivante :
−→ σ (M,t) = H
−→ ε (M,t) (6.7)
avec
−→ σ (M,t) =
−→ σ = 〈σxx , σ yy , σ zz , σ xy , σ xz , σ yz 〉 (6.8)
−→ ε (M,t) =
−→ ε = 〈εxx , ε yy , ε zz , ε xy , ε xz , ε yz 〉 (6.9)
6.1.3 Forme variationnelle pour le problème d’élasto-dynamique
Dans le cas d’un problème d’élasticité, la méthode des éléments finis consiste à minimiser la
fonctionnelle d’énergie mécanique. Nous allons donc écrire la formulation variationelle du problème.
En appelant cinématiquement admissible, un champ de déplacement −−−−−→ D(M,t) qui vérifie
la condition limite de type cinématique et statiquement admissible, un champ de force −−−−→ f(M,t)
satisfaisant la deuxième condition limite. En multipliant l’équation locale d’équilibre 6.1 par un
champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible ( −→ U ∗ (M,t) = −→ U ∗ ) puis en l’intégrant
sur le volume de la structure et en notant ˙v la dérivée par rapport au temps d’une variable v,
nous obtenons l’expression des travaux virtuels W ∗ :
comme
et
∫
W ∗ =
S
−→
U ∗ −→ ∫
div σ dV +
S
∫
S
−→
U ∗ −→
div σ = −→ div
−→
U ∗ −→ ∫
f v dV −
S
−→
[
div σ −→ U ∗] ∫
dV =
∂S
nous pouvons écrire 6.10 sous la forme suivante :
∫
W ∗ = σ −→ U ∗ −→ ∫
n d∂S − tr ( σ ε ∗) ∫
dV +
∂S
S
−→
U ∗ ρ s
¨−→ U dV = 0 (6.10)
[
σ −→ U ∗] − tr ( σ ε ∗) (6.11)
S
σ −→ U ∗ −→ n d∂S (6.12)
−→
U ∗ −→ ∫
f v dV −
S
−→
U ∗ ρ s
¨−→ U dV = 0 (6.13)
59

Chapitre 6. Modèles utilisés pour le calcul des structures
en se rappelant que ∂S = ∂ 1 S ∪ ∂ 2 S et que −→ U ∗ est cinématiquement admissible, on a :
∫
σ −→ U ∗ −→ ∫
−→
n d∂S = U ∗ −→ f d d∂ 2 S (6.14)
∂ 1 S ∪ ∂ 2 S
Finalement, en utilisant la loi de Hooke généralisée 6.7, l’expression de W ∗ est :
∫
W ∗ −→
= ε ∗ H −→ ∫
−→
ε dV − U ∗ −→ ∫
−→
f v dV − U ∗ −→ ∫
−→
f d d∂ 2 S + U ∗ ¨−→
ρ s U dV = 0 (6.15)
S
S
6.2 Discrétisation par la méthode des éléments finis
∂ 2 S
Les équations précédentes sont discrétisées par la méthode des éléments finis [6]. Le domaine
S est décomposé en un ensemble de sous domaine de forme simple. Ceci nous permet d’écrire
que :
pour le domaine intérieur et
pour la frontière de S.
S =
∂S =
∑
∂ 2 S
elements de domaine
∑
elements de frontiere
S
S e (6.16)
∂S e (6.17)
De plus, nous approximons tous les champs par des fonctions nodales à support compact,
nous avons donc :
−→ U (ξ,t) =
∑
noeuds
−→
U ∗ (ξ,t) = ∑
noeuds
[ −→ U i (ξ,t)N i (ξ,t)] (6.18)
[ −→ U ∗ i (ξ,t)N i (ξ,t)] (6.19)
où N i (ξ,t) sont les fonctions de forme associées à la base d’éléments finis choisis et ξ = {ξ , η , ζ}
la base des coordonnées paramétriques.
En utilisant 6.18 et 6.19 la relation 6.2 liant les déformations aux déplacements peut être
écrite sous la forme :
−→ ε = B
−→
Ui (6.20)
et
−→ ε ∗ = B −→ U ∗ i (6.21)
avec B une matrice fonction des dérivées partielles dans l’espace paramétrique.
La forme integrale de W ∗ peut s’ecrire sous la forme de la somme des formes intégrales
élémentaires, soit :
∑
∑
W ∗ =
We ∗ S +
We ∗ ∂S (6.22)
60
elements de domaine elements de frontiere

6.3. Algorithme de Newmark
Ces relations permettent d’écrire W ∗ sous forme matricielle pour chaque élément :
We ∗ = −→ (
Ue
∗ [k e ] −→ U e + [m e ] U ¨−→ )
e − [f e ]
(6.23)
avec la matrice de raideur élémentaire :
∫
[k e ] =
la matrice de masse élémentaire :
∫
[m e ] =
element
element
element
B t H B dV e (6.24)
ρ N t N dV e (6.25)
le vecteur d’efforts élémentaires :
∫
[f e ] = N t −→ ∫
f v dV e + N t −→ f d d∂ 2 element (6.26)
∂element∈∂ 2 S
où N est la matrice des fonctions de forme.
Par assemblage sur l’ensemble des éléments du maillage discrétisant le domaine S, nous
arrivons au système matriciel global à résoudre :
.ẋ
M + Kx = F (6.27)
où M représente la matrice de masse, K la matrice de raideur et F les efforts généralisés.
6.3 Algorithme de Newmark
Nous présentons les étapes du calcul permettant de retrouver l’algorithme de Newmark,
algorithme de référence pour la résolution des équations du second ordre en temps [48]. Nous
supposerons connues les conditions initiales soit : x(m,t 0 ) = x 0 ∀m ∈ Ω à t 0 = 0, de même pour
la vitesse ẋ(m,t 0) = ẋ 0 ∀m ∈ Ω à t 0 = 0. Le principe de l’algorithme de Newmark consiste à
satisfaire les équations d’équilibre mécanique à l’instant n+1 connaissant les champs aux instants
précédents, soit :
M .ẋ n+1 + Kx n+1 = F n+1 (6.28)
Ensuite, on recherche des approximations discrètes des dérivées temporelles avec des développement
de Taylor au second ordre pour x et au premier ordre pour ẋ :
x n+1 = x n + ∆tẋ n + ∆t2
2
[ ..
(1 − 2β) x n + 2β .ẋ ]
n+1
.
x n+1 = ẋ n + ∆t [ (1 − γ) .ẋ n + γ .ẋ ]
n+1
(6.29)
(6.30)
61

Chapitre 6. Modèles utilisés pour le calcul des structures
Méthode Type β γ Ordre de précision
Schéma trapézoïdal Implicite 1 4
1
2
2
1
2
2
1
2
2
Accélération linéaire Implicite 1 6
Fox-Goodwin Implicite 1
12
Différences finies centrées Explicite 0 1 2
2
Tab. 6.1 – Famille d’algorithme de Newmark
où β et γ sont des coefficients internes à l’algorithme dont certaines valeurs correspondent à des
schémas particuliers, voir tableau 6.1. L’étape précédente nous a permit d’éliminer les variables
de vitesse et de position à l’instant n + 1 dans l’équation générale 6.28. De plus si l’on note :
et
˜ẋ n+1 = ẋ n + (1 − γ)∆tẍ n (6.31)
˜x n+1 = x n + ∆tẋ n + ∆t2
2 (1 − 2β)ẍ n (6.32)
on obtient l’équation de récurrence 6.33, nous permettant de calculer l’accélération à l’instant
n + 1 en fonction de la valeur des variables cinétiques à l’instant n.
(M + β∆t 2 K)ẍ n+1 = F n+1 + K˜x n+1 (6.33)
Ainsi, si l’on connaît les conditions initiales de vitesse et de position, respectivement ẋ 0 et
x 0 , on peut calculer l’accélération a 0 à l’instant t = 0 en utilisant l’équation 6.34 :
Ma 0 = F − Kx 0 (6.34)
6.3.1 Validation et influence des coefficients β et γ
Considérons une poutre d’acier 1 de longueur l = 1 m et d’épaisseur h = 0,02 m, encastrée
à une extrémité et libre à l’autre. Nous allons étudier ses mouvements propres sur le premier
mode de traction puis de flexion. Pour cela, après une étude de convergence de la discrétisation
temporelle et spatiale, nous utilisons 100 × 2 éléments Q 4 et un pas de temps de 5 10 −2 s pour
l’étude en flexion et de 10 −6 s pour l’étude en traction. Les pulsations propres de la poutre
peuvent être estimées par la théorie de la résistance des matériaux, ces valeurs de références sont
calculées en utilisant les équations suivantes [19] :
1 Module d’élasticité de l’acier E = 220 Gpa, masse volumique ρ s = 7600 kg.m −3 , coefficient de poisson ν = 0, 3
62

6.3. Algorithme de Newmark
ω traction = π 2l
la période correspondante est donc de :
et dans le cas de la flexion :
T traction =
ω flexion = 1,8752 h
l 2
T flexion =
√
E
ρ s
= 8451,31 rad/s (6.35)
2π
ω traction
= 743,4 µs (6.36)
√
E
12ρ s
= 109,206 rad/s (6.37)
2π
ω flexion
= 57,535 ms (6.38)
Pour simuler ces deux sollicitations, nous déformons au préalable la poutre statiquement
en traction puis, dans un deuxième cas, en flexion. Nous étudierons les mouvements libres de
la poutre écartée de sa position d’équilibre. Sur le graphique 6.1 est tracée, dans le cas de la
traction, l’évolution du déplacement d’un point appartenant à l’extrémité libre de la poutre pour
une période. Dans ce cas nous avons fixé β = 0,25 et γ = 0,5, ce qui nous assure un schéma
précis à l’ordre deux en temps, inconditionnellement stable et sans dissipation numérique.
déplacement (m)
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
0 0.00025 0.0005 0.00075 0.001
temps (s)
Fig. 6.1 – Mouvement en traction
63

Chapitre 6. Modèles utilisés pour le calcul des structures
Ce graphique permet de relever la valeur de la période propre : Ttraction num = 743,3 µs, l’écart
par rapport à la valeur de référence est de l’ordre de 0,1%. Ce très bon accord permet de valider
le modèle dans le cas d’une sollicitation de traction.
Sur le graphique 6.2, nous avons tracé l’évolution de la flèche de la poutre dans le cas d’une
sollicitation de flexion. La période du mouvement est ainsi estimée à ≈ 55,6 ms, l’écart par
rapport à la valeur analytique est de ≈ 3,3%. Cet écart plus important peut être expliqué par
le fait que, dans la simulation, il est délicat de solliciter un unique mode flexion. Le cisaillement
transversal, non pris en compte dans le modèle analytique, décale la fréquence de flexion par un
couplage avec le mode de traction (de plus haute fréquence). Ce couplage peut être observé sur
le graphique 6.3, où est tracé le déplacement suivant l’axe longitudinal. Ces remarques autorisent
par conséquent la validation dans le cas d’une sollicitation de flexion.
déplacement (m)
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
0.1 0.2
temps (s)
Fig. 6.2 – Mouvement en flexion, déplacement transversal
Dans le cas de cette dernière sollicitation (flexion), nous allons voir l’influence des coefficients
β et γ. Sur les figures 6.4, nous présentons l’évolution de la flèche de la poutre pour différentes
valeurs de β et γ.
On retrouve que le schéma est inconditionnellement stable si 2β ≥ γ ≥ 1 2
et que, lorsque
γ = 0,5, il n’y a pas de dissipation numérique. On voit aussi, que mis à part sur la stabilité, β
n’a pas une influence importante. Si γ ≠ 0,5 le schéma n’est plus du second ordre et introduit
64

6.3. Algorithme de Newmark
déplacement (m)
1E-08
5E-09
0
-5E-09
-1E-08
0.025 0.05 0.075 0.1
temps (s)
Fig. 6.3 – Mouvement en flexion, déplacement longitudinal
de la diffusion numérique, ou amortissement, comme le montrent les graphes de la figure 6.4.
65

Chapitre 6. Modèles utilisés pour le calcul des structures
béta croissant
béta=0,25 béta=0,6 béta=0,8
0.002
0.002
0.002
0.0015
0.0015
0.0015
0.001
0.001
0.001
gamma croissant
gamma =0,5
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
0.1 0.2
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
0.1 0.2
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
0.1 0.2
0.002
0.0015
0.001
gamma =0,6
Instable
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
0.1 0.2
0.002
0.002
0.0015
0.0015
gamma =0,7
Instable
0.001
0.0005
0
-0.0005
-0.001
0.001
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.0015
-0.002
-0.002
0.1 0.2
0.1 0.2
Fig. 6.4 – Influence de β et γ sur la flèche de la poutre
6.4 Synthèse
Dans ce chapitre nous avons présenté les modèles physiques utiles pour décrire la dynamique
d’une structure déformable. Par la suite, nous avons développé les méthodes de discrétisation,
d’abord spatiale puis temporelle, de ces modèles. Ainsi, nous adoptons une discrétisation par
éléments finis du problème, et sa résolution temporelle est réalisée par le biais d’un algorithme
du second ordre de Newmark. L’étude du mouvement sur le premier mode d’une poutre en
traction puis en flexion nous a permis de valider le code. De même, nous avons mesuré l’influence
des deux coefficients β et γ, internes à l’algorithme de Newmark. Ceci nous a conduit à fixer
ces deux coefficients à β = 0,25 et γ = 0,5 pour les études qui suivent. Notons que la prise
66

6.4. Synthèse
en compte des grandes déformations est en cours d’implémentation dans le code. N’ayant pas
encore validé cette étape, tous les problèmes simulés dans ce mémoire sont supposés respecter
l’hypothèse des petites perturbations.
67

7
Stratégie numérique de couplage
Sommaire
7.1 Algorithmes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Passage des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3 Traitement du maillage dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Nous présentons ici, la stratégie adoptée pour coupler le code fluide au code structure. Tout
d’abord sera exposé l’algorithme de couplage, puis comment sont transferées les grandeurs physiques
de pression et de géométrie au travers de l’interface. Ensuite, nous décrirons nos choix
pour traiter la dynamique du maillage.
69

Chapitre 7. Stratégie numérique de couplage
7.1 Algorithmes de couplage
Dans ce chapitre nous présentons la stratégie adoptée pour coupler les deux codes numériques
en vue de traiter les problèmes d’interaction fluide-structure. Les deux codes étant autonomes
et complètement indépendants, le couplage est réalisé par les conditions aux limites propres à
chaque domaine. L’enchaînement des dialogues entre les deux codes suit un algorithme. Ce type
de stratégie est commun lorsque l’on veut coupler deux codes et on peut avoir une bonne idée
des applications de cette approche en lisant [25]. En outre, de nombreux algorithmes ont été
étudiés. On distinguera les algorithmes en série, où les codes s’enchaînent l’un après l’autres et
les algorithmes parallèles où les calculs sont simultanés. Notons que dans le cas d’algorithme série,
les deux domaines sont usuellement décalés temporellement, voir [23] et [22]. Nous choisissons,
dans un premier temps, l’algorithme le plus simple : série avec des sous-cyclages. Le déroulement
des communications est présenté sur la figure 7.1.
Initialisation
Calculs d'écoulement
sous-cyclage
nouvelle pression
aux parois
Calculs structure
nouvelle géométrie
du domaine
t < tmax
t = t + dtcouplage
t = tmax
Fin de la
simulation
Fig. 7.1 – Algorithme de couplage
Le pas temporel de couplage est fixé à l’initialisation du calcul au regard de la dynamique de
la structure. Par exemple, si l’on peut estimer la période propre T de la structure par un modèle
analytique, nous prenons usuellement un pas de couplage t c inférieur à T/100. Si on ne peut pas
estimer la période propre à priori, une étude de convergence est nécessaire. En outre, comme le
70

7.2. Passage des conditions aux limites
calcul de l’écoulement est explicite avec un pas de temps souvent très faible (inférieur à 10 −6 s),
il y a plusieurs itérations pour le domaine fluide par pas de couplage. Le pas d’intégration de
la structure est lui égal au pas de couplage t c . Ces choix ne sont pas optimaux pour le temps
de calcul, mais dans l’optique d’une première approche, donnent satisfaction. Il a été observé
par Piperno et al. [83], [86] et par Farhat et al. [23], que pour de forts sous-cyclages, il pouvait
y avoir non conservation de l’énergie entre le fluide et la structure. Les simulations que nous
avons menées n’ont jamais montré de problèmes sensibles à ce niveau. Nous avons confronté
notre approche à des cas de références et nos résultats sont similaires à ceux trouvés dans la
littérature. Ainsi, nous adopterons, pour l’instant, cette stratégie dans nos simulations.
7.2 Passage des conditions aux limites
Le passage des conditions aux limites, c’est-à-dire de la géométrie de la structure vers le fluide
et de la pression pariétale en retour, est facilité par l’utilisation de maillages coïncidents entre
les deux sous domaines. La figure 7.2 résume cette méthode de passage.
Sollicitation mécanique pour
la structure
dS
Pression
Domaine fluide
Maillages
coïncidents à
l'interface
Force
nodale
Domaine structure
Vitesse
nodale
Condition cinématique pour
le fluide
Fig. 7.2 – Passage des conditions aux limites à l’interface
Si l’on néglige les efforts induits par la viscosité vis-à-vis de ceux de pression dans le tenseur
des contraintes du fluide, nous obtenons les relations de chargement mécanique suivantes :
σ(∀M ∈ ∂ 2 S,t) · −→ n = −p · −→ n (7.1)
71

Chapitre 7. Stratégie numérique de couplage
et
σ(∀M ∈ ∂ 2 S,t) · −→ t = −→ 0 (7.2)
avec M un point appartenant à la frontière de la structure où les efforts sont imposés (∂ 2 S).
7.3 Traitement du maillage dynamique
Pour traiter les déformations du maillage au cours du temps, nous avons envisagé deux
méthodes. La première consiste à considérer le maillage comme un structure fictive et à résoudre
un problème de dynamique des structures déformables sous une sollicitation cinématique imposée.
Cette méthode permet une répartition homogène des déformations sur les mailles dues aux
déplacements des frontières. Nous associons au maillage, une raideur fictive et une masse fictive
et le problème est résolu avec notre modèle traitant la partie solide. Les valeurs de ces paramètres
fictifs ne doivent pas perturber la dynamique de la structure réelle. Pour cela nous imposons un
module d’élasticité fictif de 1 Pa, ce qui est très faible par rapport au module d’Young typique
de nos structure (70 GPa pour de l’aluminium et 220 GPa pour de l’acier). Concernant la
masse volumique fictive, nous pensions qu’une valeur de l’ordre de 1 kg/m 3 serait acceptable.
Cependant, dans ce cas, les termes dynamiques et de raideur sont du même ordre et la dynamique
du maillage devient trop importante. Ceci peut provoquer des chevauchements de mailles dus à
une trop grande inertie. Pour remédier à ce problème, nous diminuons la masse volumique fictive
à 10 −5 kg/m 3 . Ainsi il y a une prédominance des effets de raideur devant ceux dynamiques,
on se retrouve en quelque sorte, dans un problème de statique. En procédant ainsi, le maillage
reste homogène et régulier et l’on conserve les raffinements imposés. L’inconvénient majeur est
que le temps de calcul devient trop important et pour certains cas, le traitement du maillage
est plus long que celui de la structure. Nous nous orientons donc vers une deuxième méthode
où la répartition des déplacements est effectuée au prorata de la taille de l’élément, toujours
pour homogénéiser le champ des déformations. Considérons le déplacement −→ d d’un nœud de la
frontière à répartir sur le maillage. Ce déplacement a pour composantes dx et dy. On notera −→ d i le
déplacement à appliquer à la cellule i (dont les composantes sont dx i et dy i ) de longueur initiale
−→
li comme sur le schéma 7.3.
Pour que les déformations soient équivalentes pour chaque cellule, nous posons
d’où
−→
di =
−→ −→ −→ L − d li − −→ d i
−→ = −→ (7.3)
L li
(
1 −
−→ L −
−→ d
−→ L
)
−→
li (7.4)
72

7.3. Traitement du maillage dynamique
di
d
li
L
Fig. 7.3 – Répartitions des déplacements du maillage dynamique
et l’on vérifie bien sûr que
∑ −→di
= −→ d (7.5)
Avec ces relations simples, nous obtenons un maillage dynamique qui conserve ses caractéristiques
au cours de la simulation, comme le raffinement des couches limites. De plus, le temps
de calcul est faible vis-à-vis des simulations fluide et structure. Ainsi, nous retenons cette méthode
pour toutes les simulations fluide-structure présentées dans ce mémoire. Nous donnons en
exemple, le maillage après déformation d’une plaque horizontale soumise au passage d’une onde
de choc sur la figure 7.4.
0.08
0.04
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Fig. 7.4 – Maillage dynamique
73

Chapitre 7. Stratégie numérique de couplage
7.4 Synthèse
Dans ce chapitre, nous avons exposé notre stratégie de couplage de CARBUR et MARCUS
pour simuler des problèmes d’interaction fluide-structure. Même si la méthode adoptée n’est pas
la plus optimale d’un point de vue du temps de calcul elle offre plus de souplesse de mise en
œuvre dans l’optique d’une première approche. Ainsi, l’algorithme de couplage est de type série
décalé. En outre, sous adoptons des maillages coïncident au niveau de l’interface fluide-structure.
La dynamique du maillage est prise en compte à l’aide d’algorithmes basés sur une répartition
uniforme des déformations.
74

8
Etude d’un phénomène de flottement
d’une plaque plane soumise à un
écoulement supersonique
Sommaire
8.1 Données du cas d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2 Recherche du flutter dans le cas d’un fluide parfait . . . . . . . . 80
8.3 Recherche du flutter dans le cas d’un fluide visqueux . . . . . . . 87
8.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Ce chapitre concerne la modélisation numérique du mouvement d’une plaque horizontale
soumise à un écoulement supersonique sur une de ses faces. Un modèle analytique de référence
prévoit un phénomène de flottement (flutter), donc d’amplification du mouvement de la structure,
pour un Mach critique de l’écoulement. Ce cas d’étude fait usuellement office d’étape de
validation pour les modèles d’interaction fluide-structure dans l’hypothèse de fluide parfait. La
bonne estimation de la vitesse critique de l’écoulement par nos simulations nous permetra de
valider ou non notre approche dans le cas d’écoulements non visqueux. Une extension aux écoulements
visqueux est ensuite proposée où nous caractérisons l’influence de la prise en compte de
la viscosité. Cette étude à fait l’objet d’un article publié dans la Revue Européenne des Eléments
Finis [57], ainsi que deux communications orales [56] et [55].
75

Chapitre 8. Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise à un écoulement supersonique
8.1 Données du cas d’étude
Considérons une plaque plane en Aluminium 2 de longueur 500 mm, d’épaisseur 1,35 mm et
de profondeur unitaire. Sa face supérieure est soumise à un écoulement supersonique longitudinal
caractérisé par les conditions d’entrées : la pression infinie amont P ∞ = 13000 Pa, la masse
volumique ρ ∞ = 0,4 kg/m 3 et le Mach de l’écoulement M ∞ . Sur la face inférieure, règne une
pression P ∞ constante. Sur la figure 8.1, nous avons schématisé la géométrie du domaine de
calcul. Nous supposons que le problème est en deux dimensions.
Sortie
Entrée
Sortie
500 mm
Panneau
déformable
Pression constante, vitesse nulle
500 mm
400 mm
1000 mm
Fig. 8.1 – Géométrie du domaine de calcul
Les couplages aéroélastiques sont l’objet de nombreuses études et certains modèles analytiques
permettent de prédire les problèmes de résonance d’ailes, de panneaux, etc. Le phénomène de
flottement, ou flutter en anglais, se produit à des valeurs différentes des fréquences propres de la
structure en raison des couplages aéroélastiques. Donc, la bonne caractérisation de l’écoulement
critique, en termes de vitesse, pression, etc. nécessite un outil pouvant retranscrire toute la physique
du couplage. C’est pourquoi les problèmes de résonance aéroélastique sont pertinents pour
valider les modèles numériques. Pour notre cas d’étude, un phénomène de flottement apparait à
Mach 2,1. Cette valeur est calculée grâce à l’équation 8.1 [10].
ρ s h ∂2 w(x)
∂t 2 +
Eh 3 ∂ 4 w(x)
12(1 − ν 2 ) ∂x 4 = − ρ ∞u 2 ∞ ∂w(x)
√
M 2 ∞ − 1
∂x − ρ ∞u ∞ (M 2 ∞ − 2)
(M 2 ∞ − 1)3 2
∂w(x)
∂x
(8.1)
2 de masse volumique ρ s = 2710 kg.m −3 , de module d’Young E = 77.28 GPa et de coefficient de poisson
ν = 0,3
76

8.1. Données du cas d’étude
Dans cette équation ρ s est la masse volumique de la structure, E son module d’élasticité, ν
son coefficient de poisson, h son épaisseur, w(x) le champ des déplacements verticaux des points
d’abscisse x appartenant à la plaque et u ∞ est la vitesse de l’écoulement à l’infini amont. Le
membre de gauche de l’équation 8.1 représente le mouvement libre en flexion d’une poutre ou
d’une plaque. La partie de droite modélise l’action mécanique de l’écoulement sur la structure
qui, à l’aide de la théorie du piston décrite par Bisplinghoff [10], fait correspondre un déplacement
vertical à une variation de pression dans le cas d’un fluide parfait. En plus du Mach,
ce modèle estime la pulsation critique du mouvement de la plaque à ω critique = 460 rad/s. On
peut remarquer que de nombreux auteurs ont utilisé cette problématique dans le but de valider
des méthodes numériques, en particulier Farhat et al. [23], [22], Piperno et al. [83], [85], [86] et
Lefrançois et al. [69], [68] et plus récemment Teixeira et Awruch [101].
Pour retrouver le Mach critique de l’écoulement, nous faisons varier le Mach infini amont
M ∞ entre [ 1,3 ; 2,8 ].
Le maillage utilisé dans le cas d’un fluide parfait (M1) est composé de 200 × 100 cellules
régulières, comme le montre la figure 8.2.
M1
Fluide
Structure
Interface
M2
Fluide
Fig. 8.2 – Détails des maillages du domaine de calcul
Pour la simulation avec prise en compte de la viscosité, le maillage (M2) est utilisé. Il comporte
le même nombre de cellules mais avec un progression telle que le rapport entre la première
77

Chapitre 8. Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise à un écoulement supersonique
et la dernière cellule soit égal à C 1 /C 100 = 2. 10 −3 et C 1 = 10 −5 . Le maillage de la structure est
lui composé de 100 × 1 élément Q 4 .
Nous avons choisi une valeur faible, vis-à-vis de la dynamique du problème, du pas temporel de
couplage ≈ periode
100
≈ 1.10 −4 s. Cette valeur doit nous permettre d’assurer un couplage conservatif,
car la loi de conservation géométrique est vérifiée pour de petits pas de temps, comme l’ont
montrée Lesoinne et Farhat dans [70]. De plus une étude de convergence de la valeur de la
période du mouvement de la plaque en fonction du pas de couplage confirme notre choix, voir
figure 8.3.
Valeur de la période (s)
0.0145
0.0144
0.0143
0.0142
0.0141
0.014
0.0139
0.0138
0.0137
0.0136
0.0135
0.0134
0.0133
1E-04 2E-04 3E-04 4E-04
Valeur du pas couplage (s)
Fig. 8.3 – Convergence du pas de couplage
Seul le régime périodique établi nous intéresse. Nous n’étudions donc pas la phase transitoire
où la structure se déforme au passage du choc incident. Nous allons arbitrairement fixer la
structure durant l’établissement de l’écoulement. Pour qu’il puisse avoir un champ de pression
non uniforme, la structure est initialement déformée sur son premier mode. Sur cette géométrie,
nous attendons que l’écoulement soit stationnaire puis nous laissons libre la structure et
donc l’interaction. Cette configuration initiale est bien sûr identique pour les différents Mach de
l’écoulement étudiés. Le champ de pression initial est représenté sur la figure 8.4.
78

P (Pa) : 8688 18309 11930 13551 15172 16794 18415
Fig. 8.4 – Champ de pression initial, cas d’un fluide parfait

Chapitre 8. Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise à un écoulement supersonique
8.2 Recherche du flutter dans le cas d’un fluide parfait
Dans cette partie la viscosité du fluide est supposée nulle. Sur la figure 8.5, nous avons tracé
l’évolution du champ de pression en fonction de la position de la plaque sur environ une période.
On peut voir les zones de sur-pression en rouge et les zones de détentes en bleu. La déformée de
la plaque reste globalement celle de son premier mode de flexion sauf au passage de la position
au repos, où elle accroche un deuxième mode en "s".
P (Pa) : 6801 9204 11607 14010 16413 18816 21219
t = 6,8 ms
t = 8,8 ms
t = 10,8 ms
t = 12,8 ms
t = 14,8 ms
t = 16,8 ms
t = 18,8 ms
t = 20,8 ms
Fig. 8.5 – Champ de pression au cours d’une période de déformation de la plaque, Mach 2,2
Pour pouvoir détecter un phénomène de résonance, nous allons suivre l’évolution du déplacement
de deux points de la structure d’abscisse x 1 = 250 mm et x 2 = 350 mm par rapport à
l’origine de la plaque ainsi que l’évolution du coefficient de portance (C p ) de celle-ci. Le C p est
défini par :
∫
C p =
plaque
P − P ∞
1
2 ρ dl (8.2)
∞u 2 ∞
Cette variable est utile car elle est proportionnelle à l’effort transmis par le fluide à la structure.
Or la résonance du couplage aéroélastique signifie que l’énergie échangée entre le fluide et la
80

8.2. Recherche du flutter dans le cas d’un fluide parfait
structure croît de manière continue ce qui devrait être visible dans l’évolution du C p . Sur le
graphique 8.6 est tracée l’évolution temporelle de la portance.
Cp
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
-0.0025
-0.003
0.05 0.1 0.15
temps (s)
Fig. 8.6 – Evolution du coefficient de portance à Mach 2,6
On remarque que la portance reste globalement négative et qu’elle ne suit pas une parfaite
sinusoïde. On retrouve logiquement que, plus la déformée de la plaque est importante, plus la
valeur absolue du C p est grande. Pour comprendre la forme de cette courbe, nous devons la
regarder en détail sur une période. C’est l’objet du graphique 8.7, où nous faisons correspondre
la position de la plaque en fonction de la valeur du C p .
On remarque ainsi que :
– Le C p augmente quand :
– la plaque remonte en mode 1 dans la zone "hors fluide" (A);
– la plaque descend en mode 1 dans la zone "fluide" (C).
– Le C p décroit quand :
– la plaque remonte en mode 1 dans la zone "fluide" (B);
– la plaque descend en mode 1 dans la zone "hors fluide" (D).
Cette description reste valable dans le cas où la plaque est positionnée en dessus de l’écoulement
et pour n’importe qu’elle vitesse d’écoulement. Notons que, dans la littérature, on observe
des courbes de C p similaires aux notres, comme dans [23] et [22], mais souvent ces courbes sont
décrites comme de parfaites sinusoïdes, par exemple dans [69].
A l’aide de la Transformée de Fourrier Rapide (FFT) de la portance en fonction du temps,
81

Chapitre 8. Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise à un écoulement supersonique
A B C D
Cp
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
0.05 0.055
0.06
temps (s)
Fig. 8.7 – Evolution du coefficient de portance sur une période et position correspondante de la
plaque
82

8.2. Recherche du flutter dans le cas d’un fluide parfait
ainsi que de l’évolution du déplacement des deux points x 1 et x 2 , et ce pour chaque valeur
du Mach de l’écoulement compris entre Mach [ 1,3 ; 2,8 ], nous pouvons estimer la fréquence
fondamentale du problème couplé. En exemple, le spectre issu des FFT de la position de x 2 est
tracé sur la figure 8.8. L’unité de l’amplitude est arbitraire.
Amplitude (U. A )
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
2, 1
2, 2
2, 25
2, 3
2, 4
2, 5
2, 7
2, 8
0
250 500 750 1000
Fréquence (Hz)
Fig. 8.8 – Spectre de puissance des FFT du déplacement de x 1 pour un temps d’exploration de
0,09 s
Cette fréquence, que nous noterons f p , est comprise dans l’intervalle [ 71 Hz ; 74 Hz ]. On
peut remarquer que l’influence de la vitesse de l’écoulement sur la fréquence fondamentale semble
faible. Comme les calculs sont longs, les FFT vont nous permettre de hiérarchiser plus rapidement
les vitesses d’écoulement les plus proches de la résonance. Pour trouver le Mach critique menant
à la résonance du mouvement de la plaque, nous devrions comparer les amplitudes des transformées
de Fourrier à la fréquence fondamentale. Les plus grandes amplitudes correspondent à des
conditions d’écoulement proches du cas critique. Or, sur un temps d’exploration trop faible, nous
ne pouvons pas départager les courbes à la fréquence la fondamentale, il faut alors essayer sur
les ordres supérieurs. Sur la figure 8.9, nous avons tracé les FFT du C p à quatre fois la fréquence
fondamentale.
Les courbes de Mach 2,2; 2,25 et 2,3 sont quasiment identiques et d’amplitudes plus élevées
que les autres. Nous retenons donc ces valeurs de vitesses d’écoulement pour un calcul plus long,
donc plus précis. Nous ne pouvons pas non plus exclure la courbe de Mach 2,1, car trop proche
des précédentes. L’amplitude de la courbe Mach 1,3 est du même ordre que celle de 2,1, mais
le décalage en fréquence est trop important. Des calculs plus longs à Mach 1,3 montreront un
83

Chapitre 8. Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise à un écoulement supersonique
Amplitude (U. A.)
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
1,3
2,2
2,25
2,3
2,1
2,4
2,5
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,25
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
0.01
0
260 280 300 320
Fréquence (Hz)
Fig. 8.9 – FFT du C p à 4f p pour un temps d’exploration de 0,09 s
84

8.2. Recherche du flutter dans le cas d’un fluide parfait
décrochage et une diminution brutale de la valeur du C p , preuve d’un déphasage important. On
note aussi, une décroissance rapide du niveau d’énergie pour des Mach supérieurs à 2,3. On
s’éloigne donc de la résonance.
Une simulation est réalisée sur un temps d’exploration de 0,6 s pour les Mach 2,1, 2,2 et
2,3. Dans ce cas il est également impossible de départager les courbes sur la fondamentale. Pour
compenser le temps d’exploration encore trop faible, nous allons procéder comme précédemment
et regarder les ordres supérieurs. C’est à trois fois la fréquence fondamentale que nous devons
nous placer pour déterminer le Mach critique, figure 8.10.
Amplitude (U. A.)
0.015
0.01
2,1
2,3
2,2
0.005
0
210 215 220 225
Fréquence (Hz)
Fig. 8.10 – FFT du C p à 3f p pour un temps d’exploration de 0,6 s
On ne peut pas en terme d’amplitude, éliminer une des courbes car elles sont similaires. La
différence est que les courbes de Mach 2,1 et 2,3 sont plus ouvertes, c’est-à-dire qu’on commence à
voir apparaître un déphasage. Donc le Mach critique du flutter serait Mach 2,2. L’écart à la valeur
théorique (2,1) est de moins de 5%. La pulsation que nous trouvons est de ω critique ≈ 455 rad/s,
soit un écart de l’orde de 1% par rapport à la pulsation donnée par le modèle 8.1. Le bon accord
entre le Mach et la pulsation critique trouvés grâce à la simulation et ceux issus du modèle atteste
de la validité de notre approche numérique.
Bien que le modèle analytique ne traite pas du cas d’un fluide visqueux, il nous apparaît intéressant
d’étendre le calcul en prenant en compte le viscosité. De nombreuses études ont montré
85

Chapitre 8. Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise à un écoulement supersonique
l’importance des effets visqueux dans des écoulements supersoniques. Ils peuvent être à l’origine
de phénomènes d’hystérésis comme le montrent Burtschell et Zeitoun [13]. En outre, les décollements
de couche limite modifient les distributions pariétales de pression. Il nous apparaît des lors
capital de prendre en compte la viscosité du fluide pour modéliser les problèmes d’interactions
fluide-structure. C’est l’objet de la partie qui suit.
86

8.3. Recherche du flutter dans le cas d’un fluide visqueux
8.3 Recherche du flutter dans le cas d’un fluide visqueux
La prise en compte de la viscosité permet de simuler les décollements de couches limites,
inexistant en fluide parfait. Les décollements de couches limites apparaissent dans les zone de
détentes comme sur la figure 8.11 (sur le graphique l’échelle des y est multipliée par dix pour
mieux voir le décollement).
Y (m) échelle x 10
0 .04
0 .03
0 .02
0 .01
0
Décollement de
la couche limite
-0 .01
0.4 0 .5 0 .6
X (m)
Fig. 8.11 – Décollement de couche limite, iso-valeurs de la masse volumique
Ces décollements ont des répercussions importantes sur l’interaction du fluide et de la structure.
En effet, le détachement de la couche limite joue le rôle d’une paroi fictive pour le fluide.
Ainsi, l’écoulement voit une diminution de l’amplitude de la déformée de la plaque dans la zone
de détente. Cette modification géométrique diminue la détente, donc augmente la pression de
l’écoulement sur la ligne de glissement. Or, on sait que dans la zone de fluide mort il y a conservation
de la pression suivant la normale (∂P/∂n = 0), donc la pression à la paroi est celle sur la
ligne de glissement. Ces mécanismes sont schématisés sur la figure 8.12.
Ainsi, l’augmentation de la pression pariétale amène une amplification du mouvement de la
plaque. Nous pouvons observer l’augmentation de la pression en comparant l’évolution du C p
pour les deux cas fluide visqueux et fluide parfait, comme sur le graphique 8.13.
Alors qu’on pouvait s’attendre, en fluide réel, à un amortissement de l’interaction, on assiste,
au contraire, à une amplification de celle-ci. Ainsi, l’évaluation de charges latérales sur une paroi
déformable peut être sous-estimée dans le cas d’une simulation en fluide parfait. Bien que sur
87

Chapitre 8. Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise à un écoulement supersonique
a>0
a=0
Paroi
physique
a

8.3. Recherche du flutter dans le cas d’un fluide visqueux
cette problématique les conséquences ne soient pas importantes, la prise en compte de la viscosité
devient essentielle pour l’étude des problèmes d’interaction fluide-structure. Il faut noter aussi
que, si l’apparition de décollements de couches limites modifie la quantité d’énergie transférée
entre le fluide et la plaque, il semble qu’il n’y ait pas de modification de la fréquence fondamentale
du phénomène. En effet, si l’on regarde les FFT pour la même gamme de Mach d’écoulement
que dans le chapitre précédent, nous retrouvons f p ≈ 72 Hz. De plus, le Mach critique n’est lui
aussi pas modifié. En comparant l’amplitude et l’ouverture des raies à neuf fois f p , figure 8.14,
on peut encadrer le Mach critique entre [ 2,2 ; 2,3 ], valeur identique au cas eulérien.
Amplitude (U. A.)
0.004
0.0035
0.003
0.0025
2
2,1
2,2
2,3
2,4
Mach 1,8
Mach 1,9
Mach 2
Mach 2,1
Mach 2,2
Mach 2,3
Mach 2,4
Mach 2,5
Mach 2,6
0.002
0.0015
0.001
2,5
2,6
0.0005
0
650 655 660 665
Fréquence (Hz)
Fig. 8.14 – FFT du déplacement de x 2 à 9f p pour un temps d’exploration de 0,45 s
Concernant la pulsation critique, nous l’estimons à ω critique ≈ 457 rad/s, soit à moins de 1%
de la valeur en fluide parfait.
89

Chapitre 8. Etude d’un phénomène de flottement d’une plaque plane soumise à un écoulement supersonique
8.4 Synthèse
Ce chapitre avait pour but l’étude du phénomène de flottement (flutter) d’une plaque en
aluminium soumise à un écoulement supersonique sur une de ses faces. Disposant d’un modèle
analytique pouvant prédire le Mach critique de l’écoulement, cette problématique sert usuellement
de cas test pour les modèles numériques d’interaction fluide-structure. Ainsi, ayant retrouvé
par nos simulations le phénomène de résonance, nous avons validé notre approche dans le cas de
fluides parfaits. Une extension aux fluides visqueux a montré une amplification du mouvement
et des charges latérales. Alors qu’on pouvait s’attendre à un effet diffusif imputable à la viscosité
du fluide, les décollements de la couche limite provoque l’effet inverse. Ceci souligne la nécessité
d’une modélisation prenant en compte la viscosité pour une bonne estimation des charges et
donc de la déformation de la structure. Concernant le flottement du panneau dans ce dernier
cas, nous avons constaté un positionnement identique en termes de Mach et de pulsation par
rapport au cas du fluide parfait. Cette problématique nous a permis, en outre, de développer une
méthode d’analyse à l’aide d’outils comme les Transformées de Fourrier Rapides. L’utilisation des
FFT compense des temps d’exploration trop courts pour encadrer la résonance de l’interaction.
Nous envisageons actuellement de travailler aussi avec des méthodes de traitement des données
par ondelettes. Pour conclure, même si nous avons pu valider notre modèle, cette validation
reste limitée aux problèmes périodiques établis. Or la description de problèmes transitoires nous
apparaît capitale et notre approche doit être validée dans ces cas précis. L’absence de tels cas
test nous conduit, dans le prochain chapitre, à élaborer un montage expérimental d’interaction
fluide-structure.
90

9
Elaboration d’un cas test d’interaction
fluide-structure
Sommaire
9.1 Pérégrinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2 Données du cas test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3 Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 50 mm × 1 mm . 98
9.4 Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 40 mm × 1 mm . 106
9.5 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Ce chapitre traite de l’élaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure. Le manque
d’études de références pouvant servir à valider les modèles numériques, en particulier concernant
les phénomènes transitoires, nous a conduit à concevoir un montage expérimental disposant d’une
structure déformable soumise au passage d’une onde de choc. Notre dispositif doit s’adapter au
matériel dont dispose l’équipe expérimentale composée de G. Jourdan et L. Houas. Notre outil
numérique de modélisation nous a permis de concevoir et simuler le montage avant sa construction
pour diminuer ses coûts de fabrication. Nous présentons rapidement nos investigations qui ont
précédé le montage final que nous décrivons plus en détail. Les simulations sont comparées aux
expériences et un bon accord est trouvé. Ce travail a fait l’objet d’une publication au journal
international Shock Waves [58].
91

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
9.1 Pérégrinations
Le montage que nous avons à concevoir doit s’adapter au tube à choc dont l’équipe expérimentale
dispose. Nous voulons que se montage comporte une structure qui se déforme au passage de
la rafale du tube à choc. On doit faire un compromis entre les déformations les plus importantes
possibles mais aussi les plus rapides. Les plus grandes pour obtenir une bonne visualisation expérimentale,
les plus rapides pour obtenir une interaction forte entre la structure et la rafale. De
plus, nous essayons de suivre les recommandations proposées par Benay et al. [7] pour la conception
de dispositifs expérimentaux voués à la validation de codes numériques. Ainsi, la géométrie
doit être la plus simple possible et conduire à un écoulement pouvant être considéré comme 2D.
Une configuration d’écoulement 2D permet de meilleures visualisations et mesures, ainsi qu’une
réduction des coûts de fabrication. En ce sens, nous pensons qu’utiliser une structure de type
plaque plane est une bonne solution. Il est ainsi plus facile d’obtenir un écoulement 2D et nous
disposons de modèles analytiques de références décrivant le mouvement de ce type de géométrie.
Deux familles de configuration sont envisageables : à plaque horizontale ou à plaque verticale.
Dans un premier temps, nous avons voulu travailler sur la configuration plaque horizontale.
L’utilisation d’une plaque plane horizontale dans le tube à choc autorise de grandes dimensions
pour celle-ci, pouvant aller jusqu’à la totalité de la fenêtre d’observation. Cette possibilité permet
de grands déplacements pour de faibles déformations, mais en contre partie des périodes de
mouvement relativement longues. Nous avons choisi une plaque de longueur de 500 mm, d’une
épaisseur de 2 mm encastrée sur une de ses extrémités et libre sur l’autre. Pour solliciter cette
structure il faut un écoulement dissymétrique, pour cela nous ajoutons des générateurs de chocs.
L’idée est de visualiser expérimentalement les diverses réflexions d’onde qui seraient fortement
dépendantes de la position de la plaque. Les quelques montages envisagés sont présentés sur la
figure 9.1.
Les simulations d’interaction fluide-structure sur ces géométries n’ont pas mené aux résultats
escomptés. Avec ce type de structure les déformations sont trop importantes et provoqueraient
la détérioration du tube à choc. De plus elles sont trop lentes. Les figures 9.2 résument le type
de configurations obtenues après le passage du choc incident.
Par la suite, l’utilisation d’une plaque plane verticale s’avèrera être une meilleure solution.
92

9.1. Pérégrinations
Montage 1
Tube à chocs
80 mm
Structure déformable
Générateur de chocs
Entrée
500 mm
Montage 2
Tube à chocs
Structure déformable
Générateur de chocs
Entrée
Montage 3
Tube à chocs
Structure déformable
Générateurs de chocs
Entrée
Fig. 9.1 – Quelques configurations envisagées
93

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
La structure se déforme trop et touche le tube à chocs, ce montage est à écarter.
Là aussi la déformation est trop importante.
Rigide
Sur ce dernier résultat la structure est arbitrairement déclarée rigide sur la moitié de sa
longueur, afin de limiter l'amplitude de son mouvement. Le résultat n'est toujours pas
concluant.
Fig. 9.2 – Quelques résultats
94

9.2. Données du cas test
9.2 Données du cas test
Nous nous orientons désormais sur une solution avec plaque verticale. La géométrie retenue
est décrite par la figure 9.3.
10 mm
Capteur de pression
Epaisseur
Tube à
choc
Base
indéformable
Structure
déformable
Longueur
15 mm
80 mm
Entrée
250 mm 15 mm
Fig. 9.3 – Montage choisi
Ce montage, simple, comporte une seule partie déformable qui peut être changée rapidement
pour tester différents matériaux ou géométries. Les mouvements de la plaque seront assez rapides
car elle est courte. De plus, même si la flèche reste faible, son influence sur la section de passage ne
sera pas négligeable. La base est supposée indéformable tout comme les parois du tube. L’entrée
est de type sub-sonique, dont les conditions sont imposées par l’expérience. L’onde incidente a
un Mach de l’ordre de 1,2. Les relations de Rankine-Hugoniot permettent de trouver les valeurs
de pression, température et vitesse à imposer pour générer cette onde, cf. tableau 9.1.
Onde incidente Mach 1,2
Pression d’entrée 151333 Pa
Vitesse d’entrée 105,03 m/s
Température d’entrée 330,5 K
Tab. 9.1 – Conditions d’entrée
Nous considérons qu’il n’y a pas de flux de chaleur échangé entre l’écoulement et les murs et
que le fluide adhère totalement aux parois. Ceci nous oblige à adopter un maillage plus fin près
des parois. 80000 cellules en 8 blocs ont été utilisés avec une dimension minimale aux parois de
0,01 mm suivant la normale. Le maillage est présenté sur la figure 9.4.
A l’aide de modèles analytiques issues de la théorie de la résistance des matériaux, on réalise
un pré-dimensionnement de la structure déformable pour trouver le meilleur compromis entre
95

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
0.08
0.04
0
0 0.1 0.2 0.3
Fig. 9.4 – Maillage utilisé
une grande amplitude de mouvement, une vitesse d’oscillation élevée et la non rupture de la
piéce. Les relations utiles sont les suivantes :
( ) l 2
σ max = 3∆p
(9.1)
e
f = 3pl4
2Ee 3 (9.2)
ω =
√
Ee 2
ρ s l 4 (9.3)
où ∆p est la différence de pression sollicitant la structure, E son module d’Young, ρ s sa
masse volumique, σ max la contrainte maximale, f sa flèche et ω la pulsation de son mouvement.
En jouant avec les materiaux, l’épaisseur et la longueur de la structure on dispose d’une large
gamme d’expériences réalisables. Quelques exemples sont présentés dans le tableau 9.2. Les calculs
prennent pour pression de chargement ∆p = 1. 10 5 Pa ce qui correspond à la pression
qu’exerce notre écoulement sur la plaque.
Les configurations les plus intéressantes semblent être celles des plaques en Acier de 1 mm
d’épaisseur, celles en Aluminium de 1,5 mm et 1 mm d’épaisseur. On remarque aussi que le
Carbone permet d’atteindre de hautes fréquences de mouvement. Grâce à ces résultats on peut
fixer la valeur temporelle du pas de couplage. En considérant qu’elle doit être de l’ordre de
periode min /100 pour que le couplage reste conservatif, nous prendrons un pas de couplage de
10 −5 s.
Les expériences sont réalisées dans le tube à choc T80 du laboratoire. Les dimensions du
tube sont données en détails dans le chapitre 2 de ce mémoire (Dispositif concernant l’interaction
choc/bulle). Le système de diagnostic comprend une caméra rapide qui fournit des clichés
1 E = 220 GPa and ρ = 7600 kg.m 3
2 E = 75 GPa and ρ = 2700 kg.m 3
3 matrice epoxy, fibre 0 ◦ , E = 115 GPa and ρ = 1600 kg.m 3
96

9.2. Données du cas test
matériaux longueur épaisseur σ max flèche pulsation période
Acier 1 50 mm 1 mm 750 MPa 4,2 mm 2184 rad.s −1 2,87 ms
Acier 40 mm 1 mm 480 MPa 1,7 mm 3412 rad.s −1 1,84 ms
Acier 50 mm 1.5 mm 333 MPa 1,2 mm 3276 rad.s −1 1,92 ms
Acier 40 mm 1.5 mm 213 MPa 0,5 mm 5119 rad.s −1 1,22 ms
Aluminium 2 50 mm 1.5 mm 333 MPa 3,7 mm 3209 rad.s −1 1,95 ms
Aluminium 50 mm 0,8 mm 1172 MPa rupture rupture rupture
Aluminium 40 mm 1 mm 480 MPa 5,1 mm 3343 rad.s −1 1,87 ms
Carbone 3 50 mm 2 mm 187 MPa 1,0 mm 6883 rad.s −1 0,91 ms
Tab. 9.2 – Exemples de géométrie et matériaux utilisables (issus des équations 9.1, 9.2, 9.3)
ombroscopiques de l’écoulement. Sur ces photos on pourra aussi mesurer les déplacements de la
plaque. En outre, nous disposons d’un capteur de pression placé devant la structure (fig. 9.3).
Ce relevé de pression au cours de l’expérience permet, entre autre, de s’assurer de bonne qualité
des conditions d’entrées du calcul.
Nous soulignons que l’écoulement induit par cette géométrie, ainsi que les mouvements de la
partie déformable sont très proches de certains problèmes rencontrés dans les boosters de fusées.
En effet, dans ces boosters, des protections inter-segments séparent les pains de combustible qui
en brûlant les laissent apparaître. Ces protections ressemblent alors à notre plaque déformable.
Ces dernières vont se mettre à osciller et vont générer des vortex qui déstabilisent l’écoulement
dans la tuyère de poussée, figure 9.5
Ecoulement
Protection inter-segments
Propergol
Booster
Oscillations
Perturbations
Ecoulement
Fig. 9.5 – Analogie avec les phénomènes présents dans les boosters de fusées
Des nombreuse études ont été menées sur ces problèmes, par exemple, par Vuillermoz et
al. [107] à l’aide de simulations couplées fluide et structure, par Anthoine et al. [4], [3] en supposant
la structure rigide, par Ugurtas [104]avec des systèmes d’injection en parois et par une
approche analytique de Flandro et Majdalani [26].
97

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
9.3 Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 50 mm × 1 mm
La comparaison des simulations numériques et de l’expérience va se faire au travers de plusieurs
critères. Le but final étant de valider ou non notre approche numérique instationnaire. Les
points de comparaisons sont :
– la configuration de l’écoulement : position des ondes de chocs, des vortex, etc.;
– évolution de la flèche au cours du temps ;
– évolution de la pression au niveau du capteur.
Pour le premier point, nous comparons les photos ombroscopiques à des Schlieren numériques
toutes les 70 µs, ce qui fait l’objet des planches de figures 9.6, 9.7, 9.8.
L’interaction du choc incident et de la plaque donne naissance à un choc transmis et un
choc réfléchi (t = 0 s). Derrière le panneau, l’écoulement rencontre un élargissement brusque
et le front du choc transmis devient cylindrique (t = 70 µs). Entre t = 280 µs et t = 420 µs
on assiste à un transition de Réflexion Régulière (RR) à Réflexion de Mach (RM) du choc
entre la structure et la fin du tube. Cette situation est similaire de celle que nous trouverons
dans les travaux de Sun et Takayama [97], ainsi que dans ceux de Abate et Shyy [28], où une
vue d’ensemble du comportement d’un écoulement compressible rencontrant un élargissement de
section est présentée. Devant le panneau, deux chocs réfléchis peuvent être distingués. Le premier
est dû à l’impact du choc incident avec la marche et le second avec le panneau lui-même. Ces
deux réflexions donnent naissance par la suite à des ondes horizontales piégées entre les deux
parois du tube, à partir de t = 210 µs. Nous notons aussi la création d’un vortex attaché à
l’extrémité supérieure de la plaque déformable. Ce vortex se développe et se détache du bord de
fuite à t = 490 µs, sa vitesse moyenne est de l’ordre de 115 m/s. De plus, il existe un choc lié
au vortex, comme on peut le voir à partir de t = 420 µs. Par la suite, la zone tourbillonnaire
demeure et des lâchés de tourbillons sont visibles à t = 630 µs, t = 840 µs et t = 1050 µs. Nous
avons estimé le Strouhal à 1,15. On remarque aussi, qu’un des tourbillons coalesce avec le vortex
principal, entre la structure et la fin du tube, le faisant ainsi grossir (t = 910 µs). A t = 1050 µs,
il y interaction du vortex principal et de l’onde de choc réfléchie. Cette onde est scindée en deux
et semble s’enrouler autour du vortex. Ensuite, ce choc rencontre la ligne de glissement qui le
coupe à son tour (t = 1120 µs). Dès lors l’écoulement devient complexe et aucune structure
cohérente n’est observable.
Bien que le jeu de montage entre le panneau et les parois du tube à choc soit faible, il
provoque des fuites qui perturbent l’écoulement (à partir de t = 70 µs) et génèrent des effets 3D
indésirables. Du point de vue du panneau, son mouvement, induit par la surpression au passage
du choc incident, est visible dès t = 70 µs dans la simulation. Dans l’expérience la déformation de
la structure semble moins importante pour les premiers instants, puis comparable à la simulation
à partir de t = 910 µs. En outre, la base qui supporte la plaque semble elle aussi se déformer. Nous
98

9.3. Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 50 mm × 1 mm
t = 0 (s)
Panneau
t = 70 (µs)
Choc
cylindrique
Effets 3D
t = 420 (µs) t = 350 (µs) t = 280 (µs) t = 210 (µs) t = 140 (µs)
Enroulement
tourbillonnaire
Simulation (Schlieren)
Effets 3D
Expérience (ombroscopie)
Fig. 9.6 – Comparaison simulation/expérience, panneau Acier de 50 mm × 1 mm
99

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
t = 560 (µs)
t = 490 (µs)
t = 980 (µs) t = 910 (µs) t = 840 (µs) t = 770 (µs) t = 700 (µs) t = 630 (µs)
Lâché tourbillonnaire
Lâché tourbillonnaire
Simulation (Schlieren)
Lâché tourbillonnaire
Lâché tourbillonnaire
Expérience (ombroscopie)
Fig. 9.7 – Comparaison simulation/expérience, panneau Acier de 50 mm × 1 mm
100

9.3. Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 50 mm × 1 mm
t = 1540 (µs) t = 1470 (µs) t = 1400 (µs) t = 1330 (µs) t = 1260 (µs) t = 1190 (µs) t = 1120 (µs) t = 1050 (µs)
Simulation (Schlieren)
Expérience (ombroscopie)
Fig. 9.8 – Comparaison simulation/expérience, panneau Acier de 50 mm × 1 mm
101

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
devons nous en préoccuper car ceci peut être préjudiciable dans la comparaison de l’évolution de
la flèche que nous ferons après.
Il est aussi très intéressant d’utiliser un diagramme spatio-temporel (x,t) pour avoir un point
de vue différent sur l’interaction des différents phénomènes.
temps (s)
0.00
0.00
0.00
Mouvement
du panneau
0.00
0.00
Choc
transmis
réfléchi
Vortex
Choc
réfléchi
0
0
Choc
transmis
0.1 0.2 0.3
Choc
incident
X (m)
Fig. 9.9 – Diagramme (x,t) de la masse volumique à y = 65 mm
Sur le diagramme 9.9 où l’évolution de la masse volumique à l’ordonnée y = 65 mm (extrémité
supérieure de la plaque) est représentée, on peut voir le choc incident impacter la structure et
ainsi la mettre en mouvement. Le mouvement de la plaque est une sinusoïde. Nous distinguons
aussi le choc réfléchi sur la plaque et le choc transmis. Après la réflexion de ce dernier en fond
de tube, l’onde transmise-réfléchie interagie avec la zone tourbillonnaire. De même, on retrouve
les lâchés tourbillonnaires qui viennent grossir le vortex principal.
Sur un plan plus quantitatif, nous allons maintenant comparer l’évolution de la pression de
la simulation et de l’expérience au niveau du capteur (cf. fig. 9.10).
La première constatation que l’on peut faire est que la pression derrière le choc incident est
identique dans la simulation et dans l’expérience. Ceci nous assure du bon choix des conditions
initiales pour l’entrée. Ensuite, on constate que la dynamique d’évolution est bien retranscrite
102

9.3. Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 50 mm × 1 mm
Pression (Pa)
250000
Choc transmis-réfléchi
200000
Chocs
réfléchis
150000
100000
Choc
incident
50 mm Expérience
50 mm Simulation
0 0.001 0.002 0.003
temps (s)
Fig. 9.10 – Evolution de la pression pour la plaque de 50 mm
par la simulation. Un bon accord est trouvé pour les amplitudes jusqu’à t = 1,5 ms. Après les
écarts entre l’expérience et la simulation sont plus importants et sont certainement imputables
à l’arrivée des ondes de détentes non prises en compte dans la simulation.
Un dernier point de comparaison est proposé au travers de l’évolution de la flèche. Nous
disposons des mesures du déplacement de l’extrémité de la plaque relevées sur les photos expérimentales,
des valeurs numériques, de la période et de la flèche maximale analytique. Nous avons
tracé sur le graphique 9.11 l’évolution de la flèche issue de l’expérience et de la simulation. Le
déplacement maximal de l’extrémité de la plaque de ≈ 6,6 mm de la simulation est très proche
de celui de l’expérience 6.2 ±0.4 mm. Le modèle analytique estime la flèche maximale à ≈ 4,2 mm,
mais cette sous-évaluation s’explique par la non prise en compte de la dynamique du chargement.
D’ailleurs, dans la simulation la flèche diminue après l’effet coup de marteau pour tendre vers
≈ 5 mm, valeur relativement proche du modèle analytique. Le bon accord entre la simulation
et l’expérience sur la valeur maximale du déplacement démontre la capacité de notre modèle a
capter la dynamique de l’interaction. Maintenant, si l’on compare la période d’oscillation de la
plaque, on note que la période numérique de ≈ 2,8 ms est quasi-identique à celle analytique
≈ 2,87 ms, l’écart est inférieur à 3%. Néanmoins, la période expérimentale est de l’ordre de
≈ 4,8 ms, donc très éloignée des deux autres valeurs. On pourrait imaginer que la non prise en
compte de l’amortissement structural dans notre modèle est la source de cette écart, mais nous
pensons que sur les premières périodes, l’amortissement physique de la plaque est négligeable
103

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
Déplacement (m)
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
-0.004
-0.005
-0.006
Expérience
Simulation
Analytique
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
temps (s)
Fig. 9.11 – Evolution de la flèche pour la plaque de 50 mm
104

9.3. Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 50 mm × 1 mm
et ne peut justifier cette modulation de la période expérimentale. Une autre explication est de
penser que les déformations de la base supportant le panneau sont trop importantes. Il y aurait
donc un phénomène de couplage de mode et comme la base est longue avec une raideur faible
(Plexiglas) on doit avoir atténuation des fréquences. En outre, ces déformations ont aussi des
répercussions sur l’amplitude de la flèche. Pour notre modèle, le fait que les périodes analytique
et celle issue la simulation soient proches est à souligner. La réponse d’une plaque soumise à une
impulsion est naturellement son premier mode propre et le passage d’un choc peut être considéré
comme une impulsion. Ainsi il été important de retrouver cette fréquence.
Globalement la simulation est en bon accord avec l’expérience et le modèle analytique, comme
les différentes comparaisons l’ont montré. Par exemple, les chocs et les zones tourbillonnaires sont
correctement décrits. Cependant l’étude de la flèche a mis en évidence des écarts importants et
ne permet pas de conclure quant à la validité de notre modèle. Si le couplage de modes entre la
base et le panneau est responsable de ces variations, une solution rapide pour le vérifier est de
diminuer les efforts sur la base. Pour cela, ne voulant pas modifier l’écoulement, le plus simple
est de diminuer la surface de la plaque. C’est l’objet du prochain chapitre.
105

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
9.4 Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 40 mm × 1 mm
La dimension de la plaque est modifiée mais la structure de l’écoulement est similaire au cas
précèdent. Nous retrouvons les mêmes régions de vorticité et les mêmes schémas de réflexion. La
comparaison, sur la figure 9.12, de l’évolution de la pression au niveau du capteur donnée par la
simulation et mesurée dans l’expérience souligne la bonne précision du modèle.
Pression (Pa)
250000
200000
150000
40mm Expérience
40mm Simulation
100000
0.001 0.002 0.003
temps (s)
Fig. 9.12 – Evolution de la pression pour la plaque de 40 mm
La dynamique d’évolution ainsi que les valeurs de la pression sont bien retranscrites. Les écarts
sont plus faibles que pour la plaque de 50 mm, mais nous observons, là aussi, une diminution
précoce de la pression expérimentale certainement due à l’arrivée des ondes de détente.
Pour cette géométrie de plaque, le modèle analytique en statique donne une valeur de flèche
de l’ordre de ≈ 1,7 mm, pour la simulation la flèche est d’environ de ≈ 2,2 mm et de ≈ 1,7 mm
à partir de la deuxième oscillation. L’écart plus important s’explique par la dynamique de la
sollicitation dont le modèle analytique ne tient pas compte. La valeur expérimentale mesurée est
égale à 2,4 ±0,4 mm puis à 1,8 ±0,4 mm. Le graphique 9.13 représente les variations de la flèche
numérique confrontée aux valeurs expérimentales.
Notons l’allure similaire des deux courbes. On retrouve une flèche maximale du même ordre
de grandeur que celle issue du calcul, l’écart est de 8%, ce qui confirme que notre approche est
sensible à la dynamique. De même, la faible diminution d’amplitude du mouvement est elle aussi
relativement bien modélisée (5% d’écart). En ce qui concerne la période, la valeur analytique est
≈ 1,84 ms et celle numérique ≈ 1,89 ms, soit un écart inférieur à 3%. La valeur expérimentale
106

9.4. Etude du mouvement d’une plaque d’Acier de 40 mm × 1 mm
Déplacement (m)
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
-0.003
-0.004
-0.005
-0.006
Expérience
Simulation
Analytique
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
temps (s)
Fig. 9.13 – Evolution de la flèche pour la plaque de 40 mm
est de ≈ 1,9 ms. La valeur numérique est à 3% de cette dernière. Ces trois valeurs sont très
proches et permettent de valider notre code. La diminution de la surface soumise à la pression de
l’écoulement semble avoir suffisamment diminué les efforts sur le support. Ainsi, ses déformations
sont négligeables et n’engendrent pas une déformation perceptible du support.
107

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
9.5 Synthèse
Le manque de cas test concernant l’interaction fluide-structure en écoulements réels compressibles
et instationnaires, nous a conduit à concevoir un montage expérimental. Ce montage,
d’une géométrie 2D simple, est disposé dans un tube à choc et soumis au passage d’un choc
incident à Mach 1,2. Une première série d’expérience et simulation est réalisée pour une plaque
de 50 mm. Si qualitativement les résultats numériques sont très proches tant pour la structure
de l’écoulement que pour la déformée de la plaque, un couplage de mode dû à la déformation
du support de la plaque ne permet pas une validation quantitative. Pour diminuer les efforts
sur cette base, une nouvelle expérience est effectuée avec une plaque de 40 mm. Dans ce dernier
cas, un bon accord, tant qualitatif que quantitatif, permet une validation complète de notre approche
numérique pour traiter de problèmes d’interaction fluide-structure dans des écoulements
compressibles, instationnaires et visqueux. Deux perspectives sont entrevues. D’une part, le couplage
entre le fluide et la structure pourrait être plus fort. En ne s’éloignant pas trop de cette
géométrie, nous avons envisagé d’incliner la plaque pour augmenter l’influence de la flèche sur
la section de passage. Sur les deux figures 9.14 et 9.15, nous montrons les premiers résultats que
nous avons obtenus.
La structure de l’écoulement comporte des caractéristiques semblables à celles du montage
utilisant une plaque verticale. On retrouve, entre autre, la génération d’une zone tourbillonnaire
attachée au bord de fuite de la plaque. On imagine que, pour certaines configurations, la plaque
peut quasiment jouer le rôle d’un clapet, modifiant ainsi plus fortement l’écoulement. L’idéal
serait que, après une phase transitoire non négligeable, on puisse accrocher un mode de couplage
aéroélastique. Mais avec l’unique rafale d’un tube à choc, cela parait difficile à obtenir. Seule
une soufflerie supersonique continue, ou disposant d’un temps de rafale conséquent, permettrait
d’entrevoir ce type de couplage plus complexe.
La deuxième perspective est que, même si la viscosité a été prise en compte dans nos simulations,
ce n’est pas elle qui pilote l’écoulement. Or, nous pensons qu’il devient indispensable dans
la simulation de l’interaction fluide-structure, de ne plus considérer le fluide comme parfait. En
effet, cette hypothèse interdit la prise en compte des décollements de couches limites qui, en plus
de changer les configurations de l’écoulement, modifient les charges sur les structures. Il faudrait
concevoir un montage où la viscosité aurait un rôle plus important. Là aussi, l’utilisation de
soufflerie apporterait certainement des solutions.
108

9.5. Synthèse
t = 0,5 ms
Fig. 9.14 – Premiers résultats avec une plaque inclinée
109

Chapitre 9. Elaboration d’un cas test d’interaction fluide-structure
t = 1 ms
Fig. 9.15 – Premiers résultats avec une plaque inclinée
110

10
Etude de la tuyère du banc MASCOTE
Sommaire
10.1 Données du cas d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2.1 Configuration de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2.2 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Cette partie a pour objet l’étude des mouvements de la tuyère du banc MASCOTE de
l’ONERA. Nous confrontons notre outil de modélisation numérique de l’interaction fluide-structure
à un cas industriel dont l’écoulement est réactif. Nous vérifions, ainsi, la bonne stabilité de la simulation
dès que l’on prend en compte les phénomènes chimiques de post-combustion. De même,
ce cas d’étude permet d’utiliser et de valider la modularité du modèle.
111

Chapitre 10. Etude de la tuyère du banc MASCOTE
10.1 Données du cas d’étude
La tuyère du banc MASCOTE de l’ONERA constitue une configuration industrielle réelle.
Nous devons, à partir du dessin d’ensemble, déterminer les conditions aux limites de types cinématiques
pour la structure les plus proches de la réalité. Le dessin d’ensemble est exposé sur la
figure 10.1.
Fig. 10.1 – Dessin d’ensemble
Cette tuyère est 2D plane et est refroidie par un circuit d’eau. De plus, elle dispose d’un système
d’injection pariétale d’Hélium ou d’Hydrogène coupant le divergent en deux. Nous considérerons
que le divergent est monobloc et encastré au niveau de cette injection. Le début du
convergent sera aussi supposé encastré. La figure 10.2 résume les conditions aux limites choisies,
ainsi que les principales dimensions. Un relevé des déformations sera fait au niveau des capteurs
1, 2 et 3.
Les conditions d’entrées sub-sonique sont exposées dans le tableau 10.1.
La sortie choisie pour le fluide est du type sub- super-sonique, permettant ainsi les ré-entrées.
Le maillage est constitué de 48000 cellules reparties en 7 blocs. La dimension la plus petite de
112

10.1. Données du cas d’étude
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
encastrement
Paroi adiabatique
Entrée
56 mm
45°
2,5 mm
Fluide
encastrement
12°
15 mm
24,18 mm
Sortie
Paroi adiabatique
113 mm
178 mm
Fig. 10.2 – Géométrie du domaine de calcul
Conditions entrées Conditions initiales
Pression d’entrée 6 10 6 Pa ou 2 10 6 Pa 1 10 5 Pa
Vitesse d’entrée 0 m/s 0 m/s
Température d’entrée 1667 K 300 K
Espèces chimiques 32,3% de H2 et 67,7% de H2O 23% de O2 et 77% de N2
Tab. 10.1 – Conditions d’entrée
113

Chapitre 10. Etude de la tuyère du banc MASCOTE
ces cellules est 10 −5 m perpendiculairement aux parois. Ceci pour une bonne description de la
couche limite. Le pas de couplage est imposé à 10 −5 s, ce qui est peut être un peu élevé vis-à-vis
de la dynamique de la structure. Nous supposons que le couplage reste conservatif dans cette
première étude mais nous devrons nous assurer, dans l’optique d’une simulation plus précise, que
ce pas est suffisamment faible. Nous considérons que la tuyère est en Aluminium.
114

10.2. Résultats
10.2 Résultats
Notre objectif est de vérifier que notre modèle numérique d’interaction fluide-structure peut,
avec une mise en œvre rapide, simuler une problématique industrielle. Ainsi, même si les résultats
concernant les déformations de la tuyère lors de sa phase d’amorçage montre un couplage négligeable
entre l’écoulement et les parois, nous avons vérifié la bonne modularité de notre approche,
en prenant, par exemple, en compte les phénomènes de combustion. Deux cas d’écoulements ont
été traités, le premier avec une pression d’entrée de 20 bar et un écoulement réactif, l’autre avec
une pression de 60 bar mais figé.
10.2.1 Configuration de l’écoulement
Sur les figures 10.3, nous présentons la phase d’amorçage de la tuyère pour une pression de
chambre de 20 bar. Dans cette simulation les réactions chimiques sont celles de combustion. Cette
phase, fortement instationnaire est la plus délicate à simuler. Les figures de droites décrivent
l’évolution du Mach de l’écoulement, celles de gauches la fraction massique de l’espèce HO2
produite par la combustion.
On remarque que les mouvements de la tuyère sont négligeables et ne modifient pas l’écoulement.
La simulation montre que l’espèce HO2 est nettement concentrée dans la zone de mélange,
là où les phénomènes de combustion sont les plus intenses. En outre, la forme du convergent est
telle que, pendant l’amorçage, il y a aspiration d’une langue de gaz frais venant du divergent.
Ceci provoque l’allumage de la combustion dans le convergent et donc, la création de HO2.
Nous notons aussi de multiples réflexions d’ondes dans le divergent qui retardent considérablement
l’établissement d’un jet stationnaire. Cette phase stationnaire confirmera la caractéristique
sur-détendue de cette tuyère pour une pression de chambre de 20 bar. Nous avons effectué un
calcul pour une pression de chambre de 60 bar, mais en écoulement inerte. Les caractéristiques
de l’écoulement restent identiques : on retrouve les multiples réflexions, l’aspiration d’une langue
de gaz frais et les décollement de la couche limite. Ces décollements sont situés plus en aval
dans la tuyère. Aux niveaux des déformations, même si elles sont plus importantes que pour le
premier calcul, elles n’influencent pas l’écoulement. Notons tout de même une déformation de
l’ordre de 10% sous charge de la hauteur du col, ce qui peut modifier les conditions souhaités
pour l’écoulement en sortie.
10.2.2 Déplacements
Les déplacements sont relevés au niveau des différents capteurs, à l’intérieur de la tuyère,
suivant les deux directions x (direction de l’écoulement) et y (dimension transversale). Les figures
10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9 montrent l’évolution de ces déplacements.
115

Chapitre 10. Etude de la tuyère du banc MASCOTE
YHO2 0 0,001 0,002 0,0035 0,0047 0,006 0,007
M 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
t=0,331 ms t=0,310 ms t=0,269 ms t=0,248 ms t=0,226 ms
t=0,2 ms
t=0,149 ms
t=0,097 ms
Fig. 10.3 – Phase d’amorçage de la tuyère MASCOTE, fraction massique de HO2 et Mach
116

10.2. Résultats
Déplacement (m)
3E-05
2E-05
Capt1 20 bar
Capt1 60 bar
1E-05
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
temps (s)
Fig. 10.4 – Capteur 1 déplacement suivant x
Déplacement (m)
3E-05
2E-05
Capt1 20 bar
Capt1 60 bar
1E-05
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
temps (s)
Fig. 10.5 – Capteur 1 déplacement suivant y
117

Chapitre 10. Etude de la tuyère du banc MASCOTE
Déplacement (m)
0
-5E-05
Capt2 20 bar
Capt2 60 bar
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
temps (s)
Fig. 10.6 – Capteur 2 déplacement suivant x
Déplacement (m)
0.00025
0.0002
0.00015
Capt2 20 bar
Capt2 60 bar
0.0001
5E-05
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
temps (s)
Fig. 10.7 – Capteur 2 déplacement suivant y
118

10.2. Résultats
Déplacement (m)
0.00025
0.0002
0.00015
Capt3 20 bar
Capt3 60 bar
0.0001
5E-05
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
temps (s)
Fig. 10.8 – Capteur 3 déplacement suivant x
Déplacement (m)
0.00045
0.0004
0.00035
0.0003
Capt3 20 bar
Capt3 60 bar
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
5E-05
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
temps (s)
Fig. 10.9 – Capteur 3 déplacement suivant y
119

Chapitre 10. Etude de la tuyère du banc MASCOTE
On observe, dans tous les cas, une accélération initiale puis un amortissement sinusoïdal vers
la déformation sous charge. On remarque que la fréquence d’oscillation est la même pour tous les
capteurs, que cela soit suivant x ou y. Cette fréquence est très élevée, de l’ordre de 4300 Hz et
les déplacements sont très faibles (inférieur à 0,5 mm). Cependant, nous avons conscience que
le pas de couplage et le maillage utilisé pour la structure devront tout de même être validés, par
une étude de convergence, pour s’assurer de ces valeurs de la fréquence et de l’amplitude. Si l’on
observe une légère modulation d’amplitude, la période d’oscillation semble constante. En outre,
l’accroissement de la section du col est de l’ordre de 10%, ce qui modifie la vitesse de l’écoulement
par rapport aux calculs théoriques de dimensionnement de la tuyère. Dans cette problématique,
il n’y a pas de couplage aéroélastique et certainement qu’un calcul découplé de la structure nous
donnerait les mêmes déformations. De même, comme on considère usuellement qu’il n’y a pas
de couplage aéroélastique dans les tuyères de poussées, les calculs sont réalisés en supposant la
structure rigide. Mais on peut se poser la question de l’influence du vibration de paroi à 5 KHz
sur une couche limite d’un écoulement supersonique et en particulier sur la turbulence. Ceci peut
obliger à considérer le problème couplé.
10.3 Synthèse
Cette problématique nous a permis de vérifier la bonne modularité de notre approche pour
traiter des problèmes d’interaction fluide-structure. Ainsi nous montrons que le couplage reste
viable avec la prise en compte des phénomènes chimiques, en l’occurrence ici, de combustion.
Cette étape est importante, car nous objectif est, à terme, de décrire l’interaction fluide-structure
dans des écoulement hyper-enthalpiques, sièges de phénomènes physico-chimiques non négligeables.
De plus, bien que les déformations de la tuyère MASCOTE soient négligeables pour
l’écoulement, les fréquences de vibrations soulèvent plusieurs problèmes. En effet on peut se demander
les répercutions qu’auraient de telles valeurs fréquences (≈ 5 kHz) sur une couche limite
de moteur fusé. Or le bon dimensionnement d’une tuyère et le bon dessin de son profil passe par
une bonne caractérisation de l’écoulement et plus particulièrement des décollements de couche
limite. Ceci nous conduit à un deuxième problème : peut on modéliser de manière correcte des
transfert d’énergie entre le fluide et la structure à de telles fréquences. Nous émettons des réserves
sur notre approche pour traiter, à l’heure actuelle, ce type de problèmes. La validité, ou
non, de notre outil numérique ne pourra être établi que par une confrontation expérimentale.
MASCOTE étant un banc expérimental, des mesures de vibrations pourraient être effectuées
ainsi que des mesures propres à l’écoulement, comme des relevés dynamiques de pression et des
clichés ombroscopiques. A l’aide de telles mesures, nous pourrions avancer dans la validation du
modèle.
120

11
Synthèse sur la simulation de
l’interaction fluide-structure
L’objectif de cette partie était de concevoir un code capable de simuler des problèmes d’interaction
fluide-structure dans des écoulements compressibles réactifs. La stratégie numérique
adoptée est basée sur le couplage de deux codes autonomes et indépendants : CARBUR et
MARCUS. Le déroulement des communications entre les deux codes suit un algorithme sériedécalé.
Au bout d’un pas de couplage, le fluide impose un chargement à la structure. Après le
même pas de couplage la structure atteint un état déformé qui impose une nouvelle géométrie
de l’écoulement. La dynamique du maillage est traitée par une méthode qui répartit de manière
homogène les déformations à chaque cellules.
Cette thématique étant nouvelle pour nous, nous avons essentiellement traité des cas test :
le premier concerne la dynamique d’une plaque plane horizontale soumise à un écoulement supersonique
sur une de ses faces. Pour une certaine vitesse de l’écoulement apparaît un régime
critique de flottement. Dans le cas d’un fluide parfait, ce régime peut être estimé par un modèle
analytique à Mach 2,1. Numériquement nous trouvons un Mach critique de l’ordre de 2,2,
soit un écart de moins de 5%. Ceci nous permet une première validation du code. Nous avons
ensuite pris en compte la viscosité du fluide pour en évaluer l’influence sur le couplage. Les résultats
montrent que les décollements de couches limites amplifient le mouvement de la plaque.
Cette constatation souligne l’importance de tenir compte de la viscosité dans la simulation des
problèmes d’interaction fluide-structure. La validation apportée par ce premier cas d’étude est
limitée aux phénomènes périodiques établis. Pour évaluer la fiabilité de notre couplage à traiter
de phénomènes instationnaires, nous avons conçu un montage expérimental d’interaction fluide
structure. Ce dernier est composé d’une plaque déformable en Acier, disposée dans un tube
à choc. La comparaison avec des expériences conduites pour deux dimensions de plaque, apporte
une validation supplémentaire. En effet, la simulation décrit correctement les structures
121

Chapitre 11. Synthèse sur la simulation de l’interaction fluide-structure
de l’écoulement ainsi que le mouvement de la plaque. Cette deuxième problématique montre
la bonne précision de notre approche dans le cas d’interactions instationnaires. En outre, bien
que la viscosité ne soit pas prédominante dans cette configuration d’écoulement, nous n’avons
pas supposé le fluide comme parfait. La dernière étude proposée concerne les déformations de la
tuyère MASCOTE lors de sa phase d’amorçage. Nous avons ainsi montré le bon comportement
du couplage numérique lors de la prise en compte de phénomènes de combustion.
122

Conclusions et Perspectives
Conclusions générales
L’enjeu de ce travail est de contribuer au développement d’un code numérique destiné, à
moyen terme, à l’étude de tuyère de moteur fusée, de scramjets, etc. Pour comprendre la physique
mise en jeu dans ces écoulements, nous avons développé et utilisé des outils de modélisations
numériques.
La première thématique de ce travail de thèse traite de l’instabilité de Richtmyer-Meshkov.
Deux configurations géométriques pouvant générer ce type d’instabilité ont été envisagées : l’interaction
d’un choc plan et d’une inhomogénéité sphérique et d’un même choc et d’une interface
perturbée. Dans tous ces cas nous comparons nos simulations aux expériences réalisées dans notre
laboratoire. La modélisation de l’interaction choc/bulle atteste de la capacité de notre code à
capturer une discontinuité d’espèces chimiques. Trois bulles d’espèces différentes sont étudiées,
une de Krypton, une d’Hélium et une d’Azote, les trois étant initialement placées dans de l’air
au repos. Nous avons mis en évidence les mécanismes physiques responsables des distorsions
de ces inhomogénéités. Plusieurs phases sont distinguées : la première est une déposition d’une
nappe tourbillonnaire due aux effets baroclines. Vient ensuite, la déformation par convection de
cette nappe. Une fois convectée c’est alors la dilatation, l’enroulement propre des tourbillons, qui
pilote la déformation de la bulle. Pour des temps plus longs, on pense que les termes visqueux
interviennent de manière importante. Nous proposons aussi, une méthode analytique d’évaluation
du volume final de la bulle. Cette méthode basée uniquement sur l’évolution de la masse
volumique imposée par le système d’onde montre en bon accord avec les résultats de la simulation
et l’expérience. Des études de l’interaction du choc avec une interface initialement perturbée
(annexes) montrent les mêmes mécanismes de distorsion de l’interface. Dans ce dernier cas aussi,
la comparaison de nos simulation et de l’expérience confirme la capacité du modèle à décrire ce
type d’instabilités pour des différences de γ relativement faibles.
Concernant la deuxième thématique, l’interaction fluide-structure, nous basons notre approche
sur le couplage de deux codes autonomes et indépendants : CARBUR et MARCUS.
Ces deux codes sont couplés à l’aide d’algorithmes au travers de leurs conditions aux limites
123

Conclusions et Perspectives
propres. Cette thématique débute avec ce travail de thèse et est entièrement nouvelle dans notre
laboratoire. Tout d’abords, MARCUS ne servant jusqu’à lors qu’à décrire des instabilités thermoconvectives
en écoulement incompressible, il a fallu coder les éléments finis propres aux calculs
de la dynamique des structures. De plus, nous avons choisi et implémenté l’algorithme de Newmark
pour la résolution temporelle de ces équations. En outre, deux voies ont été utilisées pour
le remaillage dynamique. La première consiste à considérer le maillage comme une structure
fictive. On utilise le code MARCUS pour obtenir la bonne répartition des nœuds après le déplacement
des frontières mobiles du domaine. Cette méthode permet une bonne répartition des
déplacements sur chaque cellule, donc d’avoir un champ de déformation homogène. Son principal
inconvénient est le temps de calcul qu’elle nécessite, souvent bien supérieur au calcul de la structure
réelle. Une autre méthode est envisagée : à l’aide d’un algorithme simple, nous répartissons
les déplacements avec une déformation constante par élément. Cette approche, équivalente à la
première, s’avère bien plus rapide et est retenue pour la suite des calculs.
Ensuite, nous avons couplé les deux codes et étudié le flutter d’une plaque plane soumise à un
écoulement supersonique sur une de ses faces. Cette problématique dispose d’un modèle analytique
pouvant estimer le régime critique de l’écoulement dans l’hypothèse d’un fluide parfait. La
résonance du mouvement de la plaque est, dans ce cas précis, typiquement un problème d’aéroélasticité
: elle ne se fait pas sur un mode propre de la plaque mais sur une fréquence différente. La
bonne estimation de cette résonance permet donc la validation d’un modèle d’interaction fluidestructure.
En explorant une gamme de Mach de l’écoulement nous avons chercher à encadrer la
vitesse critique de l’écoulement. Une lecture directe des données ne permet pas d’estimer le Mach
critique car les temps d’exploration sont trop courts. Nous avons dû utiliser des transformées
de Fourrier rapide FFT pour rechercher la résonance. Ainsi, nous estimons le Mach critique à
≈ 2,2 dans le cas de fluide parfait, soit un écart de l’ordre de 5% par rapport à la valeur de
référence. Nous avons étendu notre modélisation aux fluides visqueux. Dans ce cas, même si
le Mach critique demeure proche de 2,2, nous montrons que les décollements de couche limite
provoquent une amplification des mouvement de la plaque. Ceci illustre, pour nous, l’importance
de ne pas négliger la viscosité du fluide. En outre, cette étude souligne le manque de cas test,
particulièrement pour des phénomènes purement transitoire et non plus périodique. Cette remarque
nous conduit à concevoir un montage expérimental d’interaction fluide-structure. Après
quelques pérégrinations, un montage est finalisé numériquement et testé dans un tube à choc. Le
dispositif est composé d’une plaque déformable, verticale, qui peut être changée aisément. Cette
modularité doit nous permettre de faire varier la géométrie ainsi que le matériaux de la structure
mobile. L’écoulement est supposé en deux dimensions et un système de diagnostic expérimental
par ombroscopie rapide nous fournit les clichés de l’expérience. Un capteur de pression est également
positionné devant la plaque. La forme simple de la plaque permet d’utiliser des modèles
analytiques issus de la théorie de la résistance des matériaux servant de référence supplémentaire.
124

Une première étude est proposée pour une plaque de 50 mm de longueur. Si qualitativement la
structure de choc et tourbillonnaire de l’écoulement permet une première validation de notre approche,
on note une modulation de la fréquence du mouvement de la plaque. Cette variation de
fréquence nous semble imputable à une déformation parasite d’un support supposé rigide. Pour
diminuer les efforts sur cette pièce, nous diminuons la surface frontale de la plaque soumise à la
pression de l’écoulement. Ces derniers résultats, avec une plaque de longueur 40 mm, autorise
une validation complète de notre modèle numérique, aussi bien qualitative que quantitative.
Finalement, pour tester la modularité de notre approche pour simuler les problèmes couplés
d’interaction fluide-structure, nous décrivons les mouvements de la tuyère du banc MASCOTE
de l’ONERA. La particularité de cette tuyère est que l’écoulement est réactif et est le siège de
phénomènes de post-combustion. Même si les déformations de la tuyère sont négligeables en
termes d’amplitude, nous avons pu constater le bon comportement du couplage lors de la prise
en compte de ces phénomènes physico-chimique. On remarque, aussi, la fréquence très élevée des
déformations de la structure, ce qui pourrait venir exciter la couche limite et être préjudiciable
dans certains types d’écoulements.
Perspectives
Tout d’abords, on remarque que très peu de problèmes d’interaction fluide-structure ne sont
pas 3D. Cette remarque à valeur de principale perspective : nous devons étendre le code CARBUR
aux géométries tridimensionnelles. La réécriture du traitement des métriques de CARBUR réalisé
au cours de cette thèse, devrait nous permettre un passage simplifié au 3D. Certainement que
d’autres méthodes de remaillage devront être aussi explorées. Là aussi, le manque de cas test peut
nous mener à construire un montage expérimental d’interaction fluide-structure en écoulement
3D. Une première étude pourrait consister à réutiliser le montage présenté dans ce mémoire avec
une plaque de largeur inférieure à celle du tube à choc, comme présenté sur la figure 1.
Avec une soufflerie supersonique à écoulement chaud, on pourrait imaginer des configurations
d’interaction où la viscosité et les réactions chimiques joueraient un rôle prédominant. Le but
étant, à terme, de valider des modèles d’interaction fluide-structure dans des écoulements hyperenthalpiques,
tels ceux rencontrés dans les tuyères de moteur fusée.
De plus, des outils d’analyse idoines devront être mis en œuvre pour post-traiter les données
issues des expériences et des simulations numériques sur les phénomènes d’interaction fluidestructure.
Nous avons vu dans ce mémoire, que des transformées de Fourrier étaient indispensables
pour retrouver le régime d’écoulement menant à résonance. Ces transformées compensent
des temps d’exploration du problème trop court. On envisage d’utiliser aussi des transformées
en Ondelettes. On pense qu’avec un post-traitement par ondelettes, on aurait accès à un nombre
plus important d’informations, comme les bifurcations et les lieux/transferts d’énergie entre le
125

Conclusions et Perspectives
Plaque
Ecoulment
rientation
O
Fig. 1 – Un cas montage pour un cas test 3D
fluide et la structure. En se basant sur l’expertise et les conclusions du problème de la plaque
plane horizontale, nous utilisons différents types d’ondelette pour retrouver ces conclusions. En
procédant par comparaison, on pourra prendre le recul nécessaire pour choisir la nature des
ondelettes et les utiliser de manière pertinente.
Actuellement, un modèle de turbulence (Spallart-Allmaras) est implémenté dans le code
CARBUR. Notre objectif est de pouvoir modéliser les dissipations dues à la turbulence dans des
écoulements instationnaires. Dans ce sens, nous confrontons le code à une expérience d’écoulement
derrière une marche. Sur la figure 2, nous présentons les résultats des premiers calculs
avec le modèle de turbulence. Avec ces expériences, nous pouvons avoir une validation sur la
partie transitoire de l’écoulement. De plus, grâce à un temps de rafale important, les dernières
images montrent un état quasi-stationnaire de l’écoulement, nous pourrons obtenir également
une validation pour les temps tongs pilotés par les dissipations turbulentes. L’implémentation de
ce modèle de turbulence devra donc nous permettre de mieux décrire les phases turbulentes de
l’instabilité de Richtmyer-Meshkov. La finalité étant de modéliser correctement la combustion
supersonique dans les scramjets, avec prise en compte de l’interaction fluide-structure, de la turbulence,
des différences de γ, des phénomènes de vibration et dissociation moléculaire, etc. En
outre, un des problèmes les scramjets est de définir la géométrie de l’entrée supersonique. Pour
126

Ombroscopie
Schlieren
Fig. 2 – Validation de la phase instationnaire avec modèle de turbulence
mieux comprendre les configurations d’écoulement pouvant exister, et en particulier dans des
problèmes axisymétriques, nous étudions l’interaction d’un choc conique et d’un choc sphérique.
Le dispositif actuellement étudié est décrit sur la figure 3.
127

Conclusions et Perspectives
Cône
Sphère
Fig. 3 – Etude de l’interaction d’un choc conique et sphérique à t = 0,11 ms et t = 0,20 ms
128

Annexes
129

Description du dispositif expérimental
Dans ce chapitre nous présentons les dispositif expérimentaux utilisés dans le deux cas d’interaction
: choc/perturbation uni-modale et choc/bulle. La connaissance des montages nous permet
de simuler les problèmes au plus près de la réalité physique. En outre, si des hypothèses sont
faites pour simplifier la modélisation, la compréhension du montage expérimental pourra aider
à la localisation des sources d’erreur.
131

Description du dispositif expérimental
1 Dispositif concernant l’interface à perturbations uni-modales
2D
Les expériences sont réalisées dans un premier tube à choc (cf. fig. 1) de section carré de
200 mm × 200 mm et de longueur 7250 mm. La chambre de haute pression mesure 1650 mm,
la chambre basse pression 5600 mm et la chambre de visualisation 600 mm. Cette dernière
comporte deux parois en plexiglas. La vitesse de l’onde de choc est mesurée à l’aide de capteurs
de pression disposés tout au long du tube.
Fig. 1 – Tube à choc
La gamme de célérité de l’onde de choc incidente est comprise entre Mach 1,1 et Mach 3.
Sur le diagramme (x,t) de la figure 2 est représenté le schéma d’onde présent dans un tube
à choc après la rupture du diaphragme séparant les chambres haute et basse pression. Sur ce
diagramme espace-temps nous n’avons pas encore considéré une interface perturbée. Le domaine
de simulation est uniquement celui de chambre de visualisation. Comme le tube n’est pas modélisé
dans sa totalité, nous ne prendrons pas en compte la couche limite développée derrière le choc
incident. Les conditions d’entrée de la simulation sont donc celles à l’arrière du choc (état ∗r du
diagramme x,t), calculées par les relations de Rankine-Hugoniot. De même, nous ne prenons pas
en compte l’arrivée des ondes de détentes réfléchies en fond de tube.
L’interface séparant les gaz d’essais est obtenue en déposant un film de nitrocellulose sur
une grille. Cette grille est constitué de fils de fer de 0,8 mm de diamètre, disposés tous les
12,5 mm. La forme des perturbations est obtenue par une déformation manuelle de cette grille.
132

2. Dispositif concernant l’interaction choc/bulle
HP
BP
t0
t1
t2
temps
Choc réfléchi
t2
Etat (*l)
Etat (*r)
Ondes de
détentes
Etat (l)
Interface
Onde de choc incidente
Etat (r)
abscisse
t1
t0
Fig. 2 – Schéma d’onde dans le tube à choc
La forme finale n’est pas une parfaite sinusoïde, des perturbations de faible longueur d’onde se
superposent. On supposera tout de même que le mode à grande longueur d’onde est prépondérant.
Cette hypothèse est vraie pour les temps courts, voire intermédiaires, mais les petites échelles
influenceront grandement le régime turbulent, donc les temps longs. De plus, cette interface
n’est pas réellement 2D et des effets de bord peuvent apparaître. Mais la méthode de diagnostic
utilisée est celle d’une coupe plane laser, passant au milieu de la section du tube à choc. Les
clichés expérimentaux représentent donc l’évolution de l’instabilité dans ce même plan où l’on
supposera les effets 3D négligeables et non visibles. Une simulation 2D plane n’est donc pas trop
éloignée de l’expérience dans le plan médian. Le dispositif complet de diagnostic comprend : un
laser Oxford d’une puissance de 20 W pour une fréquence d’exposition de 50 Hz et une longueur
d’onde de 530 nm, une camera rapide à tambour (vitesse tangentielle maximale de 300 m/s),
des capteurs de pression et un oscilloscope.
2 Dispositif concernant l’interaction choc/bulle
Ces expériences sont réalisées dans un second tube à choc de section carrée de 80 mm ×
80 mm et de longueur totale est de 3750 mm. Il est constitué d’une chambre haute pression de
750 mm, d’une chambre basse pression de 2020 mm et d’une chambre de visualisation de 980 mm
comportant deux parois en plexiglas. Le système de diagnostic (fig. 3), de type ombroscopie, est
composé d’une lampe flash Nanolite et d’une caméra rapide Strobodrum. La lampe de type
Nanolite KL-L assure un flash d’une durée de 18 ns avec une énergie de 25 mJ toutes les 70 µs.
133

Description du dispositif expérimental
Fig. 3 – Schéma du système de prise de vue pour les expériences chocs/bulles
Avec cette méthode les photos prises représentent l’intégration des phénomènes sur tout le chemin
optique, donc sur toute la section du tube. Ceci rend l’interprétation des clichés délicate. Comme
pour le cas précèdent, les conditions d’entrée sont aussi fixées aux conditions à l’arrière du choc
incident, dont la célérité est mesurée avec des capteurs de pression. La bulle a, en moyenne, un
diamètre de 40 mm et est séparée du milieu ambiant par une interface de savon. Cette étude
expérimentale représente le travail de thèse de G. Layes et on trouvera dans son mémoire tous
les détails non exposés ici.
134

A
Etude de l’interaction d’une onde de
choc avec une perturbation positive et
une négative
Dans ce chapitre nous exposons rapidement nos résultats sur l’étude de l’interaction d’un
choc avec une interface possédant deux perturbations, une positive et une négative. Seul le cas
lourd/léger est abordé. Comme pour l’étude choc/bulle, toutes les simulations sont comparées
avec les expériences (G. Jourdan, L. Houas). Sur cette problématique nous trouvons aussi un
bon accord simulations/expériences. Nous avons retrouvons les mêmes mécanismes de création de
vorticité pilotant l’instabilité que lors de la simulations choc/bulle. Nos communications relatives
à ce chapitre sont : [53] et nous avons participé à [47].
135

Annexe A. Etude de l’interaction d’une onde de choc avec une perturbation positive et une négative
La géométrie du domaine est présentée sur le schéma suivant A.1 :
Mur
Mur
Ligne d'extraction du diagramme x,t 2
Onde
incidente
M= 1.2
200 mm
Ligne d'extraction du diagramme x,t 1
He
293 K, 1 atm
293 K, 1 atm
g=5/3 Mur
=7/5
480 mm
40 mm
Entrée
p= 151 333
Pa
T= 330 K
Fig. A.1 – Géométrie du domaine
Nous avons considéré une condition d’adhérence du fluide sur les parois du tube. De plus, on
voit que l’onde incidente passe d’un milieu lourd à un milieu léger. Ainsi, le nombre d’Atwood
correspondant étant négatif (= −0,78), nous devons assister à un retournement des perturbations.
Les figures A.2, A.3 et A.4 montrent l’évolution des deux perturbations soumises au passage
d’une onde incidente à Mach 1,2. Nous avons disposé à droite les résultats issus de la simulation
(Schlieren) et à gauche les clichés expérimentaux (coupe plane laser) toutes les 100 µs.
Comme dans le cas de la bulle d’Hélium, on observe un retournement des perturbations.
Jusqu’à la troisième image de la figure A.3 le régime de croissance de l’instabilité est linéaire.
Sur l’image 4 de A.3 on distingue l’interaction du choc réfléchi et de l’interface. Cette fois-ci, le
choc passe d’un milieu léger à un milieu lourd, donc sans provoquer de retournement. A partir de
là, le régime de croissance est non-linéaire et l’on constate l’amplification des zones de mélanges.
Les mécanismes qui pilotent les distorsions de cette interface sont identiques à ceux rencontrés
dans les cas d’interaction choc/bulle. Il y a d’abord la création d’une nappe baroclinique, celleci
est ensuite convectée par l’écoulement (ceci est lié aux réflexions/transmissions des chocs).
Pour des temps plus longs, ce seront la dilatation et la viscosité qui prédomineront. Les deux
figures A.5 et A.6 schématisent ces mécanismes.
On peut aussi comparer la simulation et l’expérience sur l’avancement des perturbations,
ceci à l’aide de diagramme espace-temps (lignes d’extractions schématisées sur la figure A.1. Ces
diagrammes sont présentés sur la figure suivante :
On peut souligner le bon accord dans le régime linéaire. Pour le régime non-linéaire, les écarts
observés peuvent être la conséquence de l’absence de modèle de turbulence. Notons tout de même
que la difficulté de mesure de la position expérimentale de l’interface peut accentuer cet écart.
136

Fig. A.2 – Schlieren comparé à une coupe plane laser
137

Annexe A. Etude de l’interaction d’une onde de choc avec une perturbation positive et une négative
Fig. A.3 – Schlieren comparé à une coupe plane laser
138

Fig. A.4 – Schlieren comparé à une coupe plane laser
139

Annexe A. Etude de l’interaction d’une onde de choc avec une perturbation positive et une négative
dP
w
w
Ondes de
détentes
drho
Convection
de la nappe
Nappe de
vorticité
Onde de choc
incidente
dP
drho
Convection
de la nappe
Léger
Lourd
Onde de choc
tranmise
Ondes de
détentes
Onde de choc
incidente
Fig. A.5 – Mécanisme de génération de vorticite : perturbation négative
Nappe de
vorticité
drho
w
Convection
de la nappe
Convection
de la nappe
dP
Onde de choc
tranmise
dP
drho
Ondes de
détentes
w
Léger
Onde de choc
incidente
Lourd
Ondes de
détentes
Onde de choc
tranmise
Fig. A.6 – Mécanisme de génération de vorticite : perturbation positive
140

Points expérimentaux
Points expérimentaux
Diagramme 1 Diagramme 2
Fig. A.7 – Diagrammes x,t
141

Références
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method for all flow speeds. Journal of Computational Physics, 135(6-7) :203–216, 1997.
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oscillations in a model of solide propellant boosters. AIAA Journal, 2270, 1998.
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Résumé
Cette thèse s’inscrit dans la modélisation des écoulements hyper-enthalpiques, et vise à termes
l’étude des Scramjets. Dans ce cadre, l’interaction fluide-fluide est déterminante pour modéliser
proprement le mélange des gaz menant à la combustion supersonique. De même, la prise en
compte des déformations des parois est primordiale si l’on veut déterminer les couplages aéroélastiques
et les modifications des configurations de l’écoulement. Ainsi, nous avons confronté
notre approche à des expériences sur l’interaction choc-bulle, dans le but de valider notre code
fluide CARBUR pour traiter de l’instabilité de Richtmyer-Meshkov. Nous avons ensuite, réalisé
un couplage de CARBUR à MARCUS, notre code structure, pour modéliser l’interaction
fluide-structure. Ce couplage est validé sur deux cas de références : un couplage aéroélastique et
une expérience que nous avons concue. Puis une étude d’interaction fluide réactif-structure est
proposée au travers de l’amorcage de la tuyère MASCOTTE (ONERA).
Mots-clés: Modélisation numérique, Richtmyer-Meshkov, interaction fluide-structure, combustion
supersonique, Scramjet.
Abstract
This thesis deals with the numerical modelisation of hyper-enthalpic fluid flows in order
to study, in a next step, scramjet reactors. In this context, the fluid-fluid interaction is important
to simulate correctly the combustion of gaz mixing. In a same way, the taking into account of
structure deformations is necessary to determine aeroelastic coupling and modifications of fluid
flows configurations. Thus, we have validated our approach by a comparison to experiments about
shock-bubble interactions in order to estimate the capacity of our fluid code, carbur, to deal with
richtmyer-meshkov instabilities. Then, we have realised the coupling between carbur and marcus,
our structure code, to simulate the fluid-structure interaction. This coupling is validated on two
reference cases : a flat panel flutter and an experiment which has been designed by us. Finally,
we have simulated the reactive-fluid-structure interaction of the nozzle named mascotte.
Keywords: Numerical simulation, RIchtmyer-Meshkov, fluid-structure interaction, supersonic
combustion, Scramjet.