Méthode XFEM pour la Modélisation de grandes ... - Cast3M - CEA

Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche
2.2.3 Positivité de la dissipation intrinsèque
La relation suivante donne la positivité de la dissipation intrinsèque :
∂ψ
⎛ ∂ψ
⎞
D1 = σ : ε& − ρ ( T, χ) χ& − ρ ( T, χ) + s T&
⎜
⎟ ≥ 0.
(I-10)
∂χ
⎝ ∂T
⎠
Avec χ = ( ε,
α)
.
On remarque que si l’on effectue des variations de température réversibles autour d’un état
( T, χ ) à χ constant, les deux premiers termes de D 1 s’annulent. Dans ce cas, la dissipation est
nulle :
⎛ ∂ψ
⎞
ρ ( T, χ) + s T&
⎜
⎟ = 0.
(I-11)
⎝ ∂T
⎠
Ainsi pour que cette relation soit vérifiée quelque soit T & , il faut :
∂ψ
s = − ( T, χ)
(I-12)
∂ T
Ceci entraîne que le dernier terme de D 1 est toujours nul, d’où l’écriture simplifiée de la
dissipation intrinsèque :
∂ψ
D1 = σ : ε& − ρ ( T, χ) χ& ≥ 0.
(I-13)
∂χ
2.3 Cadre des matériaux standard généralisés
Les matériaux standard généralisés ont été introduits par Halphen et Nguyen [Halphen1975].
*
Ils sont définis par l'existence d'un potentiel de dissipation Ω( Y)
ou de son dual Ω ( X& ) dont
dérive les relations entre forces Y et vitesses généralisées X & . En détaillant l’expression des
forces et des vitesses dans notre cas, on traduit l’hypothèse d’existence d’un potentiel de
dissipation Ω ou de son dual Ω * :
*
∂Ω( Y) ∂Ω ( X&
)
X&
= ; Y =
(I-14)
∂Y
∂ X& Pour résumer, un matériau est dit standard généralisé s’il existe un potentiel de dissipation Ω
(resp. son dual Ω * ) fonction convexe de chacune de ses variables et si le minimum de ce
potentiel est obtenu pour l’origine X & = 0 (resp. Y = 0 ).
Sous ces hypothèses, l’appartenance d’une loi de comportement au cadre des matériaux
standard généralisés induit automatiquement la positivité de la dissipation intrinsèque D 1 .
2.4 Thermodynamique et lois de comportement mécanique
L’application de la thermodynamique à la construction de loi de comportement a tout d’abord
été basée sur le postulat selon lequel tout point matériel, ou tout volume élémentaire
représentatif, peut être considéré comme un sous-système en équilibre. De plus l’hypothèse de
découplage des dissipations thermiques et mécaniques permet de traiter ces deux types de
comportement séparément. Les lois de comportement thermiques donnent une relation entre
le flux de chaleur et le gradient de température. Les lois de comportement mécaniques
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