MÃ©thode XFEM pour la ModÃ©lisation de grandes ... - Cast3M - CEA

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Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche proches de la solution attendue, dans la base de fonctions de l’approximation. Afin de ne pas détériorer l’approximation par l’ajout de ces fonctions, ils travaillent dans le cadre mathématique donné par le concept de partition de l’unité défini précédemment. Ainsi, si la base de fonctions {Φ i,p } permet de donner une bonne approximation locale, on peut l’ajouter à l’approximation éléments finis standard en la multipliant par les fonctions de formes initiales : {N i Φ i,p }. Pour éviter un mauvais conditionnement, il est nécessaire de vérifier que la nouvelle base d’approximation contient un ensemble de fonctions indépendantes. Sous ces hypothèses l’approximation du déplacement est donnée par la relation suivante : u ( x) = ∑ N i ( x) ui + ∑ N i ( x) Φ i, p ( x) di, p (I-34) i i Où u i et d i,p sont respectivement les degrés de libertés standard et supplémentaires associés au nœud i. Afin de limiter le nombre de degrés de liberté supplémentaires liés à l’ajout de fonctions dans la base d’approximation classique, cet enrichissement est limité aux sousdomaines Ω i , i∈I où il est nécessaire. Cependant ce choix a l’inconvénient de créer une couche d’éléments de transition dont seulement une partie des nœuds est enrichie, donc pour lesquels la partition de l’unité n’est pas vérifiée et qui dégrade la convergence (selon les fonctions d’enrichissement choisies) [Chessa2003]. Chessa et al. proposent de masquer l'influence des fonctions d'enrichissement en éliminant les termes indésirables introduits par les fonctions d'enrichissement dans cette couche d'éléments de transition. Farhat [Farhat2001] propose également un moyen de s'affranchir de cette zone de transition. L'auteur sépare l'espace enrichi du reste du domaine et impose la continuité des champs aux frontières entre ces deux sous-domaines avec des multiplicateurs de Lagrange. La méthode des éléments finis étendue (X-FEM) La méthode des éléments finis étendue repose sur le concept de partition de l’unité combinée à l’utilisation d’une fonction discontinue (mais continue par morceau) et à une définition du domaine à enrichir basée sur des fonctions de niveau. Cette méthode fut proposée par Belytschko et Black [Belytschko1999] dans le cadre de la mécanique linéaire de la rupture. Ils introduisent dans l’approximation du déplacement une base de fonctions F l permettant de retrouver l’expression des champs asymptotiques par combinaison linéaire. L’introduction d’une fonction discontinue (I-35), de type saut, fut proposée par Moës et al. [Moes1999] et permit de s’affranchir totalement des opérations de remaillage liées à la propagation de la fissure. Figure I-8 - Définition de la géométrie de la fissure depuis le couple de fonctions de niveau 18
Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche ⎧+ 1 si φ > 0 H ( x) = ⎨ (I-35) ⎩−1 siφ < 0 Où φ représente la seconde coordonnée du repère local en pointe de fissure. Afin de définir la totalité de la fissure à l’aide de fonctions définies sur toute la structure, Stolarska et al. [Stolarska2001] proposent l’utilisation de (φ,ψ) couple de fonctions de niveau (level set) (Figure I-8). La généralisation au cas 3D pour des fissures non planes est donnée par Gravouil et al. [Gravouil2002]. La stratégie d’enrichissement la plus répandue est décrite sur la figure I-9. Elle consiste à enrichir le champ de déplacement dans les éléments contenant la fissure. La valeur des fonctions d’enrichissement dépend alors de la position des noeuds de l’élément par rapport au plan et au front de fissure. Lorsque l’élément est traversé par la fissure de part en part, les fonctions d’enrichissement appliquées aux nœuds (qui définissent l’ensemble J) sont les fonctions H, sauf si le nœud appartient à un élément contenant la pointe de la fissure. Au quel cas, l’enrichissement est introduit à travers la base de fonctions F l=1,4 : ⎧ sin( θ / 2) ⎪ sin( θ / 2)sin( θ ) F l ( x) = r ⎨ (I-36) ⎪ cos( θ / 2) ⎪ ⎩cos( θ / 2)sin( θ ) où r et θ sont les coordonnées polaires dans le repère de la pointe de fissure (Figure I-2). Les nœuds enrichis de ces fonctions définissent l’ensemble K. On remarque que F 1 est la seule composante discontinue par rapport au plan de fissure, c’est elle qui permet d’obtenir l’ouverture en pointe de fissure. Figure I-9 - Description de la stratégie d'enrichissement L’approximation enrichie du déplacement pour le traitement de la rupture fragile la plus répandue s’écrit finalement : = ⎛ ⎞ + + ⎜ ∑ l u ( x) ∑ N ∑ ∑ ⎟ i ( x) ui N j ( x) H ( x) b j N k ( x) Fl ( x) ck (I-37) i∈I j∈J k∈K ⎝ l= 1,4 ⎠ Où l’ensemble I correspond à tous les nœuds du maillage. Les applications à la déchirure ductile restent en revanche restreintes car le traitement de la plasticité est difficile pour cette méthode. Cette difficulté est due à la nécessité d’utiliser une stratégie d’intégration spécifique afin de discrétiser correctement les champs 19
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