MÃ©thode XFEM pour la ModÃ©lisation de grandes ... - Cast3M - CEA

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Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche Si l’on considère un volume élémentaire en traction dont l’endommagement est isotrope, la eff contrainte effective σ s’écrit : σ eff σ = (I-38) 1 − D Le principe d’équivalence en déformation a été proposé par Lemaitre. Selon lui, les potentiels de déformation d’un matériau endommagé peuvent être dérivés du même formalisme que pour un matériau non-endommagé, si l’on remplace la contrainte par la contrainte effective. C’est donc cette dernière qui pilote la plasticité. Les modèles élastoplastiques endommageables sont basés sur le système des variables d’état ( ε, ε e , D, p ) avec ε et ε e les tenseurs de déformation totale et élastique, D la variable d’endommagement isotrope et p la variable d’écrouissage isotrope aussi appelée déformation plastique cumulée. Dans le cas où on se limite à ce système de variables d’état, le potentiel énergie libre massique est supposé s’écrire 1 (1 ) e ρψ = − D ε : : ε + ψ 2 e E p ( p ) , (I-39) avec E le tenseur de Hooke du matériau sain. ψ correspond à l’énergie stockée dans la microstructure par écrouissage qui n’est pas récupérable mécaniquement. Le couplage entre plasticité et endommagement peut être introduit au niveau des lois d’états ou de la dissipation. Dans le cas du couplage d’état, on distingue principalement deux théories. Tout d’abord Cordebois et Sidoroff [Cordebois1979] ont introduit une variable d’état scalaire correspondant au cumul de dommage, notée β. Cette variable d’état joue pour l’endommagement D le même rôle que p pour la déformation plastique, ainsi l’expression de l’énergie libre massique devient : 1 (1 ) e ρψ = − D ε : : ε + ψ ψ 2 p e E p ( p ) + β ( β ) , (I-40) Une autre approche consistant à coupler endommagement et écrouissage a été introduite par Saanouni [Saanouni1988] et par Ju [Ju1989]. 1 (1 ) e ρψ = − D ε : : ε + (1 − D ) ψ 2 e E p ( p ) , (I-41) Dans ce cas, la force thermodynamique associée à l’endommagement contient deux termes et la contrainte s’annule naturellement pour D=1. Deux méthodes permettent de coupler les dissipations de plasticité et d’endommagement. La première a été proposée par Lemaitre [Lemaitre1985], elle consiste à considérer la plasticité comme étant le seul moteur de la dissipation. Ainsi, l’écriture d’un seul potentiel de dissipation suffit, la règle de normalité ne fait intervenir qu’un unique multiplicateur plastique λ & : ∂Ω p( σ, Y, P) ∂Ω d ( σ, Y, P) Ω = Ω p + Ω d , p& = λ& , D& = λ& (I-42) ∂P ∂Y Où Ω p est la fonction de charge, elle correspond au potentiel plastique ; Ω d correspond au potentiel d’endommagement ; λ & est obtenu à partir de la condition de cohérence : Ω = 0, Ω& = 0 . (I-43) p p 22
Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche On peut relier le multiplicateur plastique à la déformation plastique équivalente par l’intermédiaire de la condition de normalité : λ& p& = (I-44) 1 − D Le domaine d’élasticité est donné par la relation suivante : eff Ω ( , ) 0 p σ p ≤ , (I-45) Pour illustrer cette approche, on prend le cas où Ω p est le potentiel plastique défini par von Mises et où le potentiel de dissipation lié à l’endommagement est défini par : b+ 1 S0 ⎛ Y ⎞ d = , avec g et S0 constantes matériau, ( g 1)(1 D) ⎜ S ⎟ + − ⎝ 0 ⎠ le tenseur de la vitesse de déformation plastique vaut : d & p λ 3 σ ε = 1− D 2 σ Ω (I-46) & (I-47) d 3 d d où σ est le déviateur des contraintes et σ vM = σ : σ est la contrainte équivalente de 2 von Mises. Et la vitesse d’endommagement s’écrit quant à elle : b Y D& ⎛ ⎞ = & λ D ⎜ S ⎟ (I-48) 1− ⎝ 0 ⎠ D’autres formes de potentiel peuvent être introduites, ainsi on peut par exemple tenir compte de l’influence de la triaxialité sur l’évolution de l’endommagement. L’autre méthode de couplage des dissipations correspond à l’écriture d’un potentiel plastique et d’un potentiel d’endommagement auxquels sont appliqués les critères de manière indépendante. Ceci induit l’existence de deux multiplicateurs λ & p et λ & d : Ω p ≤ 0, Ωd ≤ 0 (I-49) ∂ p σ, Y, P ∂ d σ, Y, P p& = λ& p , D& = λ& (I-50) d ∂P ∂Y Chaboche [Chaboche1978] fut un des premiers à utiliser cette méthode qui a l’avantage de permettre l’écriture de lois indépendantes pour la plasticité et l’endommagement tout en conservant le couplage entre endommagement et plasticité à travers la contrainte effective. vM Ω ( ) Ω ( ) 3.2.1.2 Modèles de plasticité des matériaux poreux Dans le cas d'un matériau ductile, les mécanismes de rupture entrant en jeu peuvent être décomposés en trois étapes (Figure I-11, Figure I-12) : 1. L'amorçage de cavités à partir de la décohésion ou à partir de la rupture d'inclusions ou de particules de seconde phase ; 2. La croissance des cavités, contrôlée par la déformation plastique et la contrainte hydrostatique ; 3. La coalescence des cavités. 23
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