MÃ©thode XFEM pour la ModÃ©lisation de grandes ... - Cast3M - CEA

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Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche 3. Modèles pour la déchirure ductile On peut définir la ductilité d’un matériau par sa capacité à se déformer au-delà de son domaine de linéarité. Ainsi, un matériau qui rompt dès la perte de linéarité est considéré élastique fragile, alors qu’un matériau pour lequel la déformation non linéaire est importante est dit ductile. Avec la ductilité, la tolérance aux défauts des structures et matériaux augmente et permet de limiter la probabilité de rupture brutale aux conséquences catastrophiques. Afin de garantir la sécurité en service des structures métalliques dans les centrales nucléaires, il est nécessaire de connaître leur comportement en cas de sollicitation accidentelle, en particulier lorsqu’une fissure préexiste. Il faut donc vérifier qu’en présence d’un défaut, la propagation reste limitée et se fait dans le domaine de la déchirure ductile, c’est-à-dire de manière quasi statique. Dans les métaux, la déchirure ductile est principalement due à la croissance et à la coalescence de cavités induites par les grandes déformations plastiques existant à proximité des inclusions. Ce sont ces cavités qui sont à l’origine du faciès en cupules caractéristique de ce type de rupture (Figure I-1). La plasticité joue également un rôle important sur l’amorçage en impliquant l’émoussement de la pointe de fissure avant la propagation en déchirure ductile. Cependant la phase d’émoussement contribue ainsi à retarder l’amorçage ce qui a pour effet de pré-endommager le solide en avant de la pointe de fissure et de favoriser une accélération de la propagation. Dans cette partie, nous allons présenter les différents modèles permettant de calculer la réponse d’une structure (fissurée ou non) dont le matériau a ce type de comportement. On peut les classer selon trois approches, qui correspondent aussi à trois échelles d’études : 1. Les approches globales qui se situent au niveau de la fissure macroscopique ; 2. Les modèles continus qui se placent à l’échelle du volume élémentaire ; 3. Les modèles cohésifs qui permettent de modéliser les phénomènes à une échelle intermédiaire. Figure I-1 – Faciès de rupture dans le cas d’une éprouvette CT en acier [Marie1999] 10
Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche 3.1 Approches globales Les approches globales sont basées sur le calcul d’intégrales de contour et sont utilisées pour modéliser l’amorçage puis la propagation d’une fissure. Pour les matériaux ductiles, la plasticité en pointe de fissure n’est plus confinée et l’application de ces approches n’est possible que dans un cadre restreint. 3.1.1 Rappel : Mécanique linéaire de la rupture La mécanique linéaire de la rupture est basée sur l'hypothèse d'élasticité de la totalité de la structure fissurée dont on étudie le comportement. Dans ce cadre, Irwin [Irwin1957] a montré la relation de proportionnalité entre le facteur d'intensité de contraintes K I et le premier terme du développement limité des champs de contraintes en pointe de fissure. Le champ de contraintes en un point M du voisinage de la pointe de fissure O est donné par : Figure I-2 - Repère de pointe de fissure σ σ σ xx yy xy K θ ⎛ θ θ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 2 ⎠ θ ⎛ θ θ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 2 ⎠ θ ⎛ θ θ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 2 ⎠ I = cos 1− sin sin 3 2πr K I = cos 1+ sin sin 3 2πr K I = cos sin cos3 2πr (I-21) Où r et θ sont respectivement le rayon et l’angle donnant la position du point M dans le repère de pointe de fissure défini sur la figure I-2. Griffith [Griffith1920] fut le premier a donné une interprétation énergétique de la rupture fragile. Il introduisit le taux de restitution d'énergie G qui correspond à l'énergie élastique surfacique libérée pour une avancée infinitésimale de fissure da dans un solide élastique linéaire. Une autre manière de calculer la valeur non signée de l'énergie élastique libérée par l'avancée de fissure est de calculer le travail ∆W nécessaire pour refermer la fissure sur la longueur da. Soit pour une structure plane d'épaisseur B : Cette expression permet de plus de relier G et K I : da ∆ W = B∫ σ . u dx = G Bda (I-22) 0 yy y 2 K I G = (1 −ν ²) en déformations planes ; G = E K E 2 I en contraintes planes (I-23) 3.1.2 Bases de la mécanique de la rupture non-linéaire : l’intégrale J Le calcul de l'intégrale de contour J a été proposé par Rice [Rice1968], son résultat donne le travail d'ouverture des lèvres lors d'une extension de fissure dans un matériau élastique linéaire ou non. Elle se calcule sur un contour fermé Г entourant la pointe de fissure, d'où son écriture dans le cas d'une structure plane : ⎛ ∂u ⎞ J = ∫ ⎜w dy −T ⋅ ⋅ds⎟ (I-24) Γ ∂x ⎝ ⎠ 11
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