MÃ©thode XFEM pour la ModÃ©lisation de grandes ... - Cast3M - CEA

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Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche donnent quant à elle les relations d’évolution entre les variables d’état et les forces thermodynamiques associées. 2.4.1 Comportement mécanique réversible Dans le cas d’un comportement mécanique réversible, la dissipation intrinsèque est nulle. On considère ici le cas où aucune variable interne ne fait partie des variables d’état. Ainsi on obtient une relation entre la variation de l’énergie libre et la contrainte : ∂ψ σ = ρ ( T, ε) (I-15) ∂ε 2.4.2 Comportement mécanique irréversible En se plaçant sous l’hypothèse des petites perturbations, on peut écrire la déformation comme la somme d’une composante réversible dite élastique et d’une composante irréversible dite plastique : e p ε ε ε = + (I-16) En plus de la déformation plastique, les comportements non-linéaires les plus courants sont l’écrouissage et l’endommagement. Ici nous nous intéresserons uniquement à l’écrouissage et à l’endommagement isotrope, pour lesquels les variables caractéristiques sont respectivement 2 p p la déformation plastique cumulée p ( p & = ( & : & ) ) et le dommage D. Pour rendre compte du d d 3 ε ε rôle de chacun de ces processus, on écrit le système des variables d’état suivant : χ = ( ε, ε p , p, D) . Dans le cas où le dommage et la plasticité sont découplés, on suppose en général l’écriture suivante de l’énergie libre : 1 e e ρψ( T, χ) = (1 − D) ε : E : ε + ψ p (I-17) 2 Où E est le tenseur de Hooke du matériau sain, reliant les déformations élastiques aux contraintes. A l’aide de ce système de variables d’état, la dissipation intrinsèque prend la forme suivante : Soit : ⎛ ∂ψ ⎞ ∂ψ p ∂ψ D1 = σ − ρ ( T, χ) : ε& − ρ ( T, χ) : ε& − ψ& p − ρ ( T, χ) : D& (I-18) ⎜ p ∂ε ⎟ ⎝ ⎠ ∂ε ∂D D σ ε YD& Pp p 1 = : & + − & (I-19) 1 e e Où Y = ε : E : ε et P sont respectivement les forces thermodynamiques associées à 2 l’endommagement et à l’écrouissage. 2.4.3 Ecriture d’une loi de comportement dans le cadre des matériaux standard généralisés Dans le cadre des matériaux standard généralisés, on voit que l’écriture d’une loi de comportement correspond à la définition de deux potentiels thermodynamiques : l’énergie 8
Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche libre ψ et le potentiel de dissipation Ω (ou son dual Ω * ). Les variables primales et les forces thermodynamiques associées sont données par : * p Ω ( ε , D& , p& ) ⎛ ⎞ ⎛ ∂Ω( σ, Y, P) ⎞ ∂ ⎜ p ⎟ ⎜ p ∂σ ⎟ ⎜ ∂ε& ⎟ ⎛ε& ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ σ ⎞ ⎜ * p ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂Ω( σ, Y, P) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂Ω ( ε , D& , p) ⎟ ⎜ D& & & ⎟ = ⎜ ⎟ ; Y = ∂Y ⎜ ⎟ ⎜ ∂D& ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ p& ⎟ ⎜ Ω( , , ) P ⎟ ⎜ * p ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ∂ σ Y P ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ∂Ω ( ε& , D& , p& ) ⎟ ∂P ⎜ ⎟ ⎜ ∂p& ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ & (I-20) S’il existe un potentiel de dissipation Ω (resp. son dual Ω * ) fonction convexe de chacune de ses variables et si le minimum de ce potentiel est obtenu pour l’origine (dans notre cas : p ( ε & , D & , p & ) = 0 (resp. ( σ, Y, P ) = 0 )), alors le modèle matériau est dit standard généralisé. Sous ces hypothèses, l’appartenance d’une loi de comportement au cadre des matériaux standard généralisés induit automatiquement la positivité de la dissipation intrinsèque D 1 . 9
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