Méthode XFEM pour la Modélisation de grandes ... - Cast3M - CEA

Chapitre I. Rappels et Cadre de la Recherche
champs de contraintes et de déformations correspondant à une expansion isotrope de la cavité
sont :
R ⎛ 3 σ ⎞
ln exp d
R ⎝ ⎠
ε
m
m p
= α ∫ ⎜ ⎟ ε
ε
eq
0
0
2 σ
, (I-53)
0
où R 0 et R m sont respectivement le rayon moyen initial et courant. α est un paramètre
dépendant du matériau. Cette relation a été modifiée par Mudry [Mudry1982] pour tenir
compte de l'écrouissage en remplaçant σ 0 par σ eq . Pour ces modèles, le début de la coalescence
est défini à partir d'une valeur critique du rapport R m / R 0 .
Par la suite, des modèles prenant en compte la fraction volumique de cavités f dans le
potentiel plastique ont été proposés. Cette approche permet en effet de prendre en compte
l’influence de la triaxialité sur la fonction de charge. On peut diviser ces modèles selon deux
catégories suivant que la direction d’écoulement plastique est associée ou non à la surface
charge.
La première loi associée a été développée par Gurson [Gurson1977] pour le cas de cavités
sphériques dans un matériau parfaitement plastique. Il écrit le potentiel plastique de la
manière suivante :
2
σ
⎛ 3 σ ⎞
vM
m
2
Φ = + 2 f cosh (1 f ) 0
2
− + = ,
σ
⎜
Rp
2 σ ⎟
(I-54)
⎝ Rp ⎠
où σ Rp est la contrainte d’écoulement de la matrice. On remarque que l'on retrouve le potentiel
de von Mises lorsque f est nulle.
Afin de prendre en compte la coalescence des cavités, Tvergaard et Needleman
[Tvergaard1984] ont proposé l’ajout de plusieurs paramètres et l’utilisation d’une porosité
modifiée représentant l’accélération de l’endommagement :
2
σ
⎛
2
vM * 3 σ ⎞
m
*
Φ = + 2 f q
2
1
cosh q2 − (1 + q1
f ) = 0 ,
σ
⎜
Rp
2 σ ⎟
(I-55)
⎝ Rp ⎠
Où q 1 et q 2 sont des constantes dont les valeurs habituelles respectives sont 1,5 et 1.
Connu sous le nom de G-T-N, c’est le modèle local le plus répandu pour la modélisation de la
rupture ductile, cependant le nombre important de paramètres rend laborieuse l’identification
de ce modèle.
Le modèle de Gurson a aussi été étendu par Leblond et al. [Leblond1994a] et Gologanu
[Gologanu1997] afin de prendre en compte un facteur de forme des cavités dans le potentiel
de dissipation ainsi que les effets de chargements cycliques à triaxialité constante. Une
version modifiée permettant de prendre en compte l’anisotropie dans la modélisation du
formage a également été appliqué par Brunet et Morestin [Brunet2001] au calcul des courbes
limites de formage.
Un autre modèle basé sur la Thermodynamique des Processus Irréversibles [Prigogine1968]
et respectant le cadre des matériaux standard généralisés a été proposé par Rousselier
[Rousselier1987, Rousselier2001] :
σ R( p)
Dfσ ⎛
vM 1
ρ0
σ ⎞
m
Φ = − + exp = 0 ,
ρ ρ0 ρ ⎜
0
σy
ρ ⎟
(I-56)
⎝ ⎠
où ρ et ρ 0 sont respectivement la masse volumique actuelle et initiale, R(p) est la loi
d’écrouissage du matériau sain et σ 1 représente la résistance de la matrice à la coalescence,
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