Application de la théorie des groupes à la chimie - Département de ...

10E A B CE E A B CA A E C BB B C E AC C B A ELes 2 groupes sont abéliens et dans les 2 cas nous pouvons former des sous-groupes d'ordre 2. Uneapplication physique pour le groupe cyclique est l'ensemble des rotations autour d'un axe d'ordre 4,tandis que le Vierergruppe représente la symétrie rotationelle d'un parallélépipède rectangle.5. Groupes d'ordre premier (i.e. l'ordre h du groupe est un nombre premier). Ce sontobligatoirement des groupes abéliens cycliques. S'il en était autrement, la période de quelqueélément devrait apparaître comme sous-groupe et dont l'ordre serait diviseur entier d'un nombrepremier.6. Groupes de permutation . Un groupe d'ordre n! peut toujours être représenté par toutes lespermutations de n objets différents. Une permutation donnée peut être représentée par le symbole⎛ 1 2 3 ...n⎜⎝α 1α 2α 3... α navec α 1 , α 2 , α 3 , ... , α n = 1, 2, 3, ... , n excepté l'ordre. La permutation décrite par ce symbole estcelle pour laquelle l'objet en position i est déplacée dans la position indiquée par la ligne endessous.Des permutations successives forment la multiplication du groupe. Par exemple, notreexemple standard d'un groupe d'ordre 6 peut être exprimé par la permutation des 3 sommetsnumérotés du triangle. Ces permutations sont⎞⎟⎠E = ⎜⎛⎝C = ⎜⎛⎝1 2 31 2 31 2 33 2 1⎟ ⎞ ⎠⎟ ⎞ ⎠A = ⎜⎛⎝D = ⎜⎛⎝1 2 32 1 31 2 33 1 2⎟ ⎞ ⎠⎟ ⎞ ⎠B = ⎜⎛⎝F = ⎜⎛⎝1 2 31 3 21 2 32 3 1⎟ ⎞ ⎠⎟ ⎞ ⎠Par exemple: A.B = ⎜⎛⎝1 2 32 1 3⎟ ⎞ ⎠⎛⎜⎝1 2 31 3 2⎟ ⎞ ⎠= ⎜⎛⎝1 2 33 1 2⎟ ⎞ = D⎠2.7 Éléments conjugués et structure de classeUn élément B du groupe est dit conjugué à un autre élément A du groupe s'il existe un troisièmeélément du groupe tel queB = X.A.X -1 ou B = X -1 .A.XThéorème: Si A est conjugué à B et si A est également conjugué à C, alors B et C sont conjuguésentre eux.Démonstration: B = X.A.X -1 et C = Y.A.Y -1A = Y -1 .C.Yd'où B = X.Y -1 .C.Y.X -1 = (X.Y -1 ).C.(X.Y -1 ) -1