Application de la théorie des groupes à la chimie - Département de ...

27→⎯Les vecteurs propres vksont définis par cette équation. Ils ont la propriété que leurs directionsrestent inchangées lors d'une transformation de a, i.e. ils définissent les axes principaux du système.En collectant tous les vecteurs propres en une seul matrice:→⎯ →⎯ →⎯V = ( v1 , v 2 , ... , v n )on obtienta V = V Λavec Λ ij = λ i δ ijDéfinitions et propriétés de quelques matrices spéciales:La transposée a T de a est obtenue en permutant lignes et colonnes de a; i.e. a ijT = a ji .La conjuguée complexe a * de a est obtenue en prenant le conjugué complexe de chacun de seséléments.L'adjointe ou conjuguée hermitienne a † de a est à la fois sa transposée et sa conjuguée complexe;i.e. a† ij = a* ji .Une matrice symétrique a la propriété que S = S T ; i.e. S ij = S ji .Une matrice hermitienne, ou self-adjointe, a la propriété que H = H † ; i.e. H ij = H * ji.Une matrice unitaire a la propriété que U † = U -1 ; i.e. (U -1 ) ij = U * ji.Une matrice (réelle) orthogonale est une matrice unitaire avec la restriction que tous ses élémentssont réels. Donc on a R T = R -1 ; i.e. (R -1 ) ij = R ji .Quelques propriétés de ces matrices spéciales sont énoncées ci-dessous:→⎯1) ( u→⎯, a v) = (a † →⎯u→⎯, v)2) Les lignes (ou les colonnes) d'une matrice unitaire forment un ensemble de vecteursorthogonaux.→⎯3) (U u→⎯, U v→⎯) = (u,U † →⎯U v→⎯) = ( u→⎯, v)4) Le produit de 2 matrices unitaires est également unitaire.Les5) Les matrices hermitiennes et les matrices unitaires peuvent toujours être diagonalisées.valeurs propres d'une matrice hermitienne sont toutes réelles. Le valeurs propres d'unematrice unitaire ont la valeur absolue unité. Les vecteurs propres d'une matrice hermitiennesont orthogonaux.4.2 Représentation du groupe