Application de la thÃ©orie des groupes Ã la chimie - DÃ©partement de ...

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28Déf.: Une représentation d'un groupe est l'ensemble des matrices correspondant chacune à uneopération simple du groupe.Exemple:Groupe C 2v {E, C 2 (z), σ v (xz), σ v (yz)}Considérons une représentation engendrée par les coordonnées (x, y, z):E ⎜ ⎛x⎞y⎟= ⎜ ⎛1 0 0⎞⎛x⎞0 1 0⎟ ⎜y⎟= ⎜ ⎛x⎞y⎟⎝z⎠⎝0 0 1⎠⎝z⎠⎝z⎠C ⎜ ⎛x⎞2 y⎟= ⎜ ⎛ -1 0 0 ⎞ ⎛x⎞0 -1 0⎟ ⎜y⎟= ⎜ ⎛-x⎞-y⎟⎝z⎠⎝ 0 0 1⎠⎝z⎠⎝ z ⎠σ v: ⎜ ⎛⎝1 0 0 ⎞0 -1 0⎟0 0 1 ⎠σ' v: ⎜ ⎛ -1 0 0 ⎞0 1 0 ⎟⎝ 0 0 1 ⎠Table de multiplicationE C 2 σ v σ' vE E C 2 σ v σ' vC 2 C 2 E σ' v σ vσ v σ v σ' v E C 2σ' v σ' v σ v C 2 EVérification: σ v • C 2 = σ' v⎛⎜⎝10 0⎞0 -1 0⎟0 0 1 ⎠⎛ -1 0 0 ⎞⎜ 0 -1 0 ⎟= ⎜ ⎛ -1 0 0 ⎞0 1 0⎟⎝ 0 0 1⎠⎝ 0 0 1 ⎠Question:Réponse:ingéniosité àCombien y-a-t-il de représentation?Il existe un nombre très élevé de représentation, limité seulement par notreen inventer.Il y a d'abord quelques représentations très simple, obtenues en attribuant la valeur 1 ou -1 à chaqueopération, i.e.:E C 2 σ v σ' v_____________________1 1 1 11 -1 1 -1
291 -1 -1 11 1 -1 -1zzyyxxzyxIl y a ensuite des représentations d'ordre très élevé. Par exemple, si nous attribuons trois petitsvecteurs unitaires orientés le long des axes x, y et z de chacun des atomes de H2O, cet ensemble de9 vecteurs engendrera un ensemble de 4 matrices 9 x 9 .4.3 Représentations équivalentes.Supposons: E, A, B, ...alors: E'=Q-1 EQ, A'=Q -1 AQ, B'=Q -1 BQ, ...une représentation du groupeest également une représentation du groupe
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