Application de la thÃ©orie des groupes Ã la chimie - DÃ©partement de ...

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62 Définitions et théorèmes de la théorie des groupes2.1 Définitions et nomenclatureUn groupe est un ensemble d'éléments A, B, C, ... tel qu'une multiplication de groupe, associant àtoute paire ordonnée un troisième élément, peut y être défini. Cette multiplication a les propriétéssuivante:(i) Le produit de deux éléments du groupe appartient au groupe.(ii) La multiplication est associative, i.e. A(BC) = (AB)C.(iii) Il existe un élément neutre E tel que EA = AE = A.(iv) Pour tout élément A du groupe, il existe un élément inverse A -1 appartenant au groupe telque AA -1 = A -1 A = E.Pour le moment nous nous limiterons à considérer des groupes finis contenant un nombre fini hd'éléments; h est appeler l'ordre du groupe. Lorsque la multiplication de groupe est commutative,i.e. lorsque pour tout A et B appartenant au groupe on a AB = BA, le groupe est dit abélien.2.2 Exemples de groupeUn exemple de groupe abélien d'ordre infini est l'ensemble des entiers positifs et négatifs,zéro inclus. Dans ce cas l'addition ordinaire joue le rôle de multiplication du groupe, le zéro estl'élément neutre, et -n est l'inverse de n.Un autre exemple de groupe, non-abélien, est fourni par l'ensemble des matrices carrés nonsingulièresde rang n. Dans ce cas, le produit du groupe est la multiplication matricielle et l'élémentneutre est la matrice unité nxn, l'inverse de chaque matrice est obtenue classiquement vu que parhypothèse est sont non-singulière.Un dernier exemple de groupe fini d'importance physique est l'ensemble des opérationsfaisant coïncider un objet symétrique. Ces opérations sont par exemple la rotation autour d'un axe,la réflexion par rapport à un plan miroir ou l'inversion en un point. Pour illustrer cet exemple,considérons le groupe non-abélien d'ordre 6 défini par la table de multiplication du groupe suivante:E E A B C D FA A E D F B CB B F E D C AC C D F E A BD D C A B F EF F B C A E DL'ordre de multiplication est: A. = D. Cette table peut être obtenue, par exemple, en prenantcomme éléments du groupe les 6 matrices suivantes et la multiplication matricielle ordinairecomme multiplication du groupe:E =⎛1 0⎜ ⎝ ⎟ ⎞ 0 1⎠A =⎛ 1 0⎜ ⎝ ⎟ ⎞ 0 -1⎠⎛B =⎜⎝1- -----2--------- 32--------- 32-----12⎞⎟⎟⎠
7⎛C =⎜⎝1- -----2- --------- 32- --------- 321-----2⎞⎟⎟⎠⎛D =⎜⎝1- -----2- --------- 32--------- 321- -----2⎞⎟⎟⎠⎛F =⎜⎝1- -----2--------- 32- --------- 321- -----2⎞⎟⎟⎠Le lecteur vérifiera aisément la table de multiplication ci-dessus.Exactement la même table de multiplication peut être obtenue en considérant le éléments dugroupe A, ..., F représentant le opérations faisant coïncider un triangle équilatéral comme indiquédans la fig. 2.1 ci-dessousBCFig. 2.1 Axes de symétried'un triangle équilatéralALes éléments A, B et C sont des rotations de π autour des axes représentés dans la fig. 2.1, l'élémentD est une rotation 2π/3 dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le plan du triangle, tandisque l'élément F est la même rotation mais dans le sens inverse. L'élément neutre E représentel'opération identité ou une rotation de 2π dans le plan du triangle. Au lecteur de vérifier l'exactitudede la table de multiplication.Lorsque deux groupes vérifient la même table de multiplication on dit qu'ils sontisomorphes.2.3 Théorème de réarrangementDans la table de multiplication ci-dessus, chaque ligne et chaque colonne contiennentchaque élément une fois et seulement une fois. Cette règle est générale et s'appelle le théorème deréarrangement. Formulé différemment on peut dire que dans la séquence:EA k , A 2 A k , A 3 A k , ..., A h A kchaque élément du groupe A i (=A r A k ) apparaît exactement une et une seule fois. Les éléments dugroupe sont simplement réarrangé lors de la multiplication par A k .Démonstration: Pour tout A i et A k appartenant au groupe, il existe un élément A r = A i A k-1.(existence d'un inverse et produit de 2 éléments du groupe appartient au groupe) Puisque A r A k =A i pour cet A r particulier, A i doit apparaître au moins une fois (condition nécessaire) dans laséquence ci-dessus. Mais il y a exactement h éléments dans le groupe et h termes dans la séquence!
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