Application de la théorie des groupes à la chimie - Département de ...

8Donc chaque élément ne peut apparaître que une et seulement une fois (condition nécessaire etsuffisante).2.4 Groupes cycliquesPour tout élément X appartenant au groupe on peut former la séquence:X, X 2 , X 3 , ... , X n-1 , X n = Eque l'on appelle la période de X puisque le processus peut être répéter indéfiniment. L'entier n estappelé ordre de X, et la période ci-dessus forme un groupe à part entière, même si tout les élémentsdu groupe ne sont pas nécessairement épuisés. On parle d'un groupe cyclique d'ordre n. Lorsqu'il nes'agit que d'une partie d'un groupe plus grand on parle d'un sous-groupe cyclique. On constate quetout les groupes cycliques sont nécessairement abélien.Dans notre exemple standard du triangle, la période de D est: D, D 2 =F, D 3 =DF=E. Donc Dest d'ordre 3 et l'ensemble des éléments: {D, F, E} forme un sous-groupe cyclique de notre groupeentier qui lui est d'ordre 6.2.5 Sous-groupesEn considérant la table pour le groupe {E, A, B, C, D, F} donnée précédemment, nousvoyons qu'à l'intérieur de ce groupe d'ordre 6 il y a des groupes plus petits. {E} est lui-même est ungroupe d'ordre 1. Ceci est vrai pour n'importe quel groupe et n'est pas très significatif. Mais, lesgroupes d'ordre 2, i.e. {A, E}, {B, E}, {C, E}, et le groupe cyclique d'ordre 3 considéré dans lasection précédente sont moins triviaux. Ces petits groupes que l'ont peut rencontre à l'intérieur d'ungroupe plus vaste sont appelés sous-groupes. Certains groupes, évidement, n'ont d'autres sousgroupesque le sous-groupe ordinaire {E} lui-même.Voyons maintenant si la nature des sous-groupes n'appelle pas certaines restrictions quidécoulent logiquement de la définition même des sous-groupes. Nous pouvons remarquer que lesordres du groupe précédent et de ces sous-groupes sont 6 et 1, 2, 3; i.e. les ordres des sous-groupessont tous des facteurs de l'ordre du groupe principal.Théorème: L'ordre d'un sous-groupe quelconque g, d'un groupe d'ordre h, doit être undiviseur entier de h; i.e. h/g = k, k étant un entier.Démonstration:...2.6 Groupes d'ordre fini1. Groupes d'ordre 1. L'unique possibilité est le groupe contenant en tout et pour toutl'élément neutre E.2. Groupes d'ordre 2. Il n'y a encore qu'une seule possibilité: le groupe {A, A 2 =E}. Ceci estun groupe abélien. Comme application physique A peut représenter la réflexion, l'inversion ou lapermutation de 2 particules.2. Groupes d'ordre 3. Dans ce cas, si nous commençons avec 2 éléments A et E, il faut queA 2 =B≠E. Si tel n'était pas le cas, i.e. si A 2 =E, {A, E} formerai un sous-groupe d'un groupe d'ordre3, ce qui serai en violation avec le théorème de la section précédente. Par conséquent, la seule