Comparaison de deux Ã©chantillons - Laboratoire de Pierre Legendre

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Comparaison de deux échantillons 12Violation des conditions d’application du test t1. Données normales, variances inégalesPour être en mesure de comparer uniquement les moyennes, le test tsuppose que les deux échantillons indépendants sont tirés de deux2 2populations normales d’égale variance, σ 1= σ 2.⇒ Le test t teste en fait, simultanément, deux hypothèses nullesdifférentes: l’égalité des moyennes et l’égalité des variances. Cetteconfusion des hypothèses s’appelle le problème de Behrens-Fisher.Il faut toujours faire un test F d’égalité des variances commepréliminaire à un test t d’égalité des moyennes. *Que faire si le test F a rejeté l’hypothèse d’égalité des variances?On peut utiliser un test t modifié selon Welch (1936). Dans ce test, lastatistique-test t est encore estimée par la formulext 1– x 2mc= ---------------------s 12----n 1s 22+ ----n 2Scherrer, eq. 13.18Cette variable-test t mc ne suit cependant plus une loi de Student si H 0 estvraie, mais sa probabilité peut se lire dans une table de t avec[ ( s 2ν 1⁄ n 1) + ( s 2 2⁄ n 2) ] 2Welch= ---------------------------------------------------------( s 2 1⁄ n 1) 2 ( s 2----------------------- 2⁄ n 2) 2+ -----------------------n 1– 1 n 2– 1Scherrer, eq. 13.19*De même, en analyse de variance (cours no 9), il faudra faire un test d’homogénéité desvariances (ce test sera étudié au cours Bio 2042) avant de réaliser une analyse de variance.
Comparaison de deux échantillons 13On arrondit ce nombre de degrés de liberté à l’entier le plus proche (Zar,1999, recommande plutôt d’arrondir à l’entier inférieur). Voirl’exemple 13.3 dans Scherrer, p. 424-425 (brochets).En cas d’égalité des variances, cette formule donne exactement ν = n – 2si n 1 = n 2 . Exemples:• s 1 = 5, s 2 = 5, n 1 = 10, n 2 = 10 ⇒ ν = 18, ν Welch = 18• s 1 = 1, s 2 = 9, n 1 = 10, n 2 = 10 ⇒ ν = 18, ν Welch = 9,22 arrondi à 9Les simulations réalisées par Legendre & Borcard (2000; manuscritdisponible sur la page WWWeb du cours Bio 2041) montrent ce qui suitpour les données à distribution normale :• Lorsque les variances sont égales ou à peu près, l’erreur de type I dutest t ordinaire et du test t par permutation est juste (Figs 6a, 6e).• Lorsque les variances sont inégales alors que n 1 et n 2 sont petits (< 50),l’erreur de type I du test t paramétrique ordinaire et du test t parpermutation est trop élevée. Ces deux tests sont donc invalides dans cesconditions (Figs 6a).• L’erreur de type I du test t avec correction de Welch est correcte lorsqueles données sont tirés de populations à distribution normale dont lesvariances sont inégales. Dans ces conditions, le test t avec correction deWelch remplace efficacement le test t paramétrique (Figs 6a, 6e).• Lorsque n 1 et n 2 sont assez grands (≥ 50, Fig. 6e), l’erreur de type I dutest t paramétrique et du test t par permutation est correcte même lorsqueles variances des deux populations de référence sont inégales. Il n’est pasnécessaire d’avoir recours au test t avec correction de Welch dans ce cas.Les trois formes du test t sont valides dans ces conditions.
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