Comparaison de deux échantillons - Laboratoire de Pierre Legendre

Comparaison de deux échantillons 8Comparaison de la moyenne de deux grands échantillonsObjectif: On veut construire une statistique-test pivotale qui aura unedistribution de Student (loi de t) si H 0 est vraie.1. Théorie de la somme de variables aléatoiresSoit Y, une somme ou une différence de variables aléatoires,indépendantes et normales: Y = X 1 + X 2 + … + X nou encore Y = X 1 – X 2 – … + X n ou toute autre combinaison.On peut montrer que Y suit une distribution normale qui a pour moyenneE(Y) = E(X 1 ) – E(X 2 ) – … + E(X n )[ou toute autre combinaison]alors que sa variance est la somme des variances (Morrison 1976):2σ ( Y)=2σ( X1 )2σ( X2 )+ + … +2σ( Xn )2. Considérons maintenant deux populations à distribution normale, de2 2moyennes µ 1 et µ 2 et de variances σ 1et σ 2.La section 10.4.1 (intervalle de confiance de la moyenne) nous a appris(p. 323) que la variable aléatoire “moyenne” ( 1) d’un échantillonaléatoire de la population 1 suit une distribution normale de moyenneE( 1) = µ 1 (estimée par ) et de variance = ⁄ n1 (estimée parx 12σ M1s 2 1⁄ n 1; s 2 1⁄ n 1est l’estimateur non biaisé de l’erreur type de lamoyenne µ 1 ). Il en va de même pour la population 2.Étudions maintenant le comportement d’une nouvelle variable D quimesure la différence de moyenne des échantillons aléatoires 1 et 2:σ 12D = M 1– M 2estimée par D = x 1– x 2