(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

1. lecke, 3. oldal
Megjegyzés: Hasonlóan vezethető be a komplex vektortér fogalma is (valós helyett komplex λ,µ ∈ C
számokat szerepeltetve a vektortér-axiómákban). E jegyzet keretein belül valós vektorterekkel foglalkozunk,
de megjegyezzük, hogy az eredmények jelentős része komplex vektorterek esetében is igaz marad.
2-2. Definíció: Legyen X vektortér. Az X 0 ⊂ X részhalmazt altérnek nevezzük, ha maga is vektortér az
X-beli műveletekre nézve.
Megjegyzés: Egy X 0 ⊂ X részhalmaz altér voltának eldöntésekor, mivel a vektoroktól megkövetelt
műveleti azonosságok nyilván X 0 -ban is teljesülnek, elég csak azt ellenőrizni, hogy vajon minden x,y ∈ X 0 ,
λ ∈ R esetén teljesül-e, hogy x + y ∈ X 0 , és λx ∈ X 0 . Ezt a tulajdonságot nevezzük műveleti zártságnak.
Ha ez teljesül, akkor X 0 altér X-ben. A fenti két vizsgálat egyesíthető: könnyen látható, hogy a műveleti
zártság pontosan akkor teljesül, ha minden x,y ∈ X 0 vektorra és α,β ∈ R számokra αx + βy ∈ X 0 .
Nyilvánvaló, hogy maga X és az egyelemű {0} halmaz alterek X-ben. Ezeket triviális altereknek nevezzük. Az
is nyilvánvaló, hogy akárhány altér metszete is altér (az unióra ez nem áll!).
Alább példákat mutatunk vektorterekre: a vektortér-axiómák teljesülése könnyen ellenőrizhető.
2-1. Példa: A valós számok R halmaza egyúttal valós vektortér is az összeadásra és a szorzásra nézve.
2-2. Példa: A komplex számok C halmaza egyúttal valós vektortér is az összeadásra és valós számmal való
szorzásra nézve.