(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

2.4. Skaláris szorzat és norma R n -ben
2. lecke, 1. oldal
2-5. Definíció: Az x := (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ R n , y := (y 1 ,y 2 ,...,y n ) ∈ R n vektorok skaláris szorzatának a
következő számot nevezzük:
〈x,y〉 :=
n∑
x k y k = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n
k=1
2-6. Definíció: Az x ∈ R n vektor normája vagy abszolút értéke:
||x|| := √ ∑
〈x,x〉 = √ n x 2 k
√x = 2 1 + x2 2 + ... + x2 n
k=1
2-7. Definíció: Az x,y ∈ R n vektorok távolságának pedig az ||x − y|| számot nevezzük.
Következésképp ||x|| az x vektor távolsága a 0 zérusvektortól.
Ezekkel a fogalmakkal a már ismert Cauchy-egyenlőtlenség az alábbi tömör alakba írható:
|〈x,y〉| ≤ ||x|| · ||y||
A skaláris szorzatnak és a normának síkbeli vektorok esetén szemléletes jelentése van. Legyenek
x = (x 1 ,x 2 ), y = (y 1 ,y 2 ) ∈ R 2 tetszőleges vektorok. Kifejezve a vektorok koordinátáit a vektorok hosszával és
irányszögével: