(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

Bizonyítás:
Valóban,
□
m∑
m∑ m∑
|| x j || 2 = 〈 x j , x k 〉 =
j=1
j=1 k=1
m∑ m∑
m∑
m∑
= 〈x j ,x k 〉 = 〈x k ,x k 〉 = ||x k || 2 .
j=1 k=1
k=1
k=1
2. lecke, 7. oldal
Az ortogonális vektoroknak – csakúgy mint a sík- ill. a térvektorok esetében – kitüntetett szerepük van. A
következő állításokban ezeket foglaljuk össze.
2-10. Állítás: Minden x 1 ,x 2 ,...,x m ∈ R n (m ≤ n) páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló vektorrendszer
lineárisan független.
Bizonyítás:
Ha ui. ∑ m
j=1 λ jx j = 0, akkor ezen egyenlőség mindkét oldalát x k -val skalárisan szorozva és a páronkénti
ortogonalitást felhasználva kapjuk, hogy λ k ||x k || 2 = 0, ahonnan λ k = 0, k = 1,2,...,m-re. Tehát x 1 ,x 2 ,...,x m
valóban lineárisan függetlenek. □
2-11. Állítás: Ha egy x ∈ R n vektor ortogonális egy e 1 ,e 2 ,...,e m ∈ R n generátorrendszer minden elemére,
akkor szükségképp x = 0.