(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

2-7 Megoldás:
3. lecke, 14. oldal
Az 1, cos x, cos 2x, ..., cos nx, sin x, sin 2x, ..., sin nx kifejezésekkel értelmezett függvények rendszere nyilván
generálja a trigonometrikus polinomokat. Lineáris függetlenségük a következőképp látható: ha
a 0 + a 1 cos x + a 2 cos 2x + ... + a n cos nx+
+b 1 sin x + b 2 sin 2x + ... + b n sin nx ≡ 0,
akkor ezt az egyenlőséget cos kx-szel szorozva és a (0,2π) intervallumon integrálva a bal oldalon a a k cos kx
tag kivételével minden tag eltűnik, innen szükségképp a k = 0, és hasonlóan, sin jx-szel szorozva és a (0,2π)
intervallumon integrálva a bal oldalon a b j sin jx tag kivételével minden tag eltűnik, innen szükségképp b j = 0
(k = 0,1,...,n, j = 1,2,...,n). Tehát a fenti függvényrendszer bázis, így a szóban forgó tér dimenziója (2n + 1).