(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

A norma legfontosabb tulajdonságai pedig a következők:
2. lecke, 3. oldal
2-6. Állítás: Tetszőleges x,y ∈ R n vektorok és λ ∈ R esetén:
||x|| ≥ 0, és ||x|| = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0
||λx|| = |λ| · ||x||
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (háromszög-egyenlőtlenség)
Ezek közül csak a háromszög-egyenlőtlenség nem nyilvánvaló. Használva a skaláris szorzat előzőekben
összefoglalt azonosságait:
||x + y|| 2 = 〈x + y,x + y〉 = 〈x,x〉 + 〈x,y〉 + 〈y,x〉 + 〈y,y〉 =
= ||x|| 2 + 2〈x,y〉 + ||y|| 2
A jobb oldal a Cauchy-egyenlőtlenséggel becsülhető felülről, innen:
ahonnan a háromszög-egyenlőtlenség már adódik.
||x + y|| 2 ≤ ||x|| 2 + 2||x|| · ||y|| + ||y|| 2 ,
Érdemes külön is megjegyezni a fenti meggondolásban levezetett azonosságot:
2-7. Állítás: Tetszőleges x,y ∈ R n vektorok esetén:
melyhez teljesen hasonlóan adódik az is, hogy:
||x + y|| 2 = ||x|| 2 + 2〈x,y〉 + ||y|| 2 ,
||x − y|| 2 = ||x|| 2 − 2〈x,y〉 + ||y|| 2 ,