(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

Bizonyítás:
1. lecke, 11. oldal
Legyenek az x 1 ,x 2 ,...,x N ∈ X vektorok lineárisan összefüggők: az általánosság csorbítása nélkül feltehető,
hogy épp x 1 fejezhető ki a többi lineáris kombinációjaként: x 1 = λ 2 x 2 + ... + λ N x N . Ekkor a zérusvektor előáll
x 1 ,x 2 ,...,x N nemtriviális lineáris kombinációjaként, hiszen x 1 − λ 2 x 2 − ... − λ N x N = 0. Megfordítva, tegyük fel,
hogy λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + ... + λ N x N = 0 egy nemtriviális lineáris kombináció. Akkor valamelyik λ k biztosan nem
zérus, feltehető, hogy épp λ 1 ≠ 0. Akkor x 1 kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, mert
x 1 = − λ 2
λ 1
x 2 − ... − λ N
λ1
x N . □
A tétel értelmében tehát az x 1 ,x 2 ,...,x N ∈ X vektorok lineáris függetlenségének eldöntése esetén elegendő a
λ 1 ,λ 2 ,...,λ N együtthatókra felírt λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + ... + λ N x N = 0 egyenletet vizsgálni. Ha találunk olyan
megoldást is, hogy valamelyik együttható zérustól különbözik, akkor a szóbanforgó vektorok lineárisan
összefüggők, ha ilyen nincs, akkor lineárisan függetlenek. Ily módon a lineáris függetlenség kérdését egy
speciális egyenlet megoldhatóságának problémájára vezettük vissza: ilyen problémákkal a következő
fejezetben részletesen is foglalkozunk.