(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

1. lecke, 5. oldal
2-4. Példa: A rendezett valós számhármasok R 3 halmaza valós vektortér az öszeadásra és a valós számmal
való szorzásra nézve:
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) + (y 1 ,y 2 ,y 3 ) := (x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 ,x 3 + y 3 )
λ · (x 1 ,x 2 ,x 3 ) := (λx 1 ,λx 2 ,λx 3 )
tetszőleges (x 1 ,x 2 ,x 3 ),(y 1 ,y 2 ,y 3 ) ∈ R 3 és λ ∈ R esetén.
Az R 3 vektortér elemei azonosíthatók a geometriai tér pontjaival. Rögzítve a térben egy koordinátarendszert,
minden pontnak megfelel egy és csakis egy valós, rendezett számhármas, ti. a pont koordinátáiból képezett
számhármas. A tér pontjai pedig azonosíthatók a rögzített koordinátarendszer origójából az illető pontokba
mutató irányított szakaszokkal (a pontok helyvektoraival). Így – az előző példával analóg módon – R 3 elemei
a geometriai térvektoroknak is felfoghatók, ahol az összeadást a paralelogramma szabállyal, a skalárral való
szorzást a nyújtással definiáljuk. Könnyen látható az is, hogy a geometriai tér nemtriviális alterei az origóra
illeszkedő egyenesek és síkok (és csak azok): így pl. az origó mint egyelemű halmaz kivételével, a geometriai
tér semmilyen korlátos részhalmaza sem altér.
2. ábra. A geometriai tér mint vektortér