(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

= 〈x,e k 〉 −
m∑
〈x,e j 〉〈e j ,e k 〉 = 〈x,e k 〉 − 〈x,e k 〉 = 0,
j=1
2. lecke, 11. oldal
amivel a kívánt előállítás létezését igazoltuk. Már csak az egyértelműséget kell belátni. Ha x = x 0 + x ⊥ 0 és
x = y 0 + y0 ⊥ két olyan felbontás, hogy x 0,y 0 ∈ X 0 és x ⊥ 0 ,y⊥ 0 ∈ X⊥ 0 , akkor innen x 0 − y 0 = −(x ⊥ 0 − y⊥ 0 )
következik. Ámde a bal oldali vektor X 0 -beli, míg a jobb oldali X0 ⊥ -beli, azaz egymásra ortogonálisak. Ezért
csak úgy lehetnek egyenlők, ha mindketten a 0 zérusvektorral egyenlők, azaz x 0 = y 0 és x ⊥ 0 = y⊥ 0 . Tehát a
tételben szereplő ortogonális felbontás valóban egyértelmű. □
Speciálisan, ha X 0 egydimenziós, és egy 0 ≠ e ∈ R n vektor generálja, akkor a tételből adódik, hogy egy
tetszőleges x ∈ R n vektor e irányú ortogonális vetülete az 〈x,e〉e vektor (ui. a e
||e|| 2 ||e||
vektor normája épp 1).
A tétel másik következménye, hogy tetszőleges X 0 ⊂ R n altér esetén X 0 és az X0
⊥ alterek dimenzióinak
összege éppen n. Valóban, vegyünk fel mindkét altérben egy e 1 ,...,e m ∈ X 0 ill. f 1 ,...,f k ∈ X0
⊥ ortonormált
bázist, akkor X 0 m-dimenziós, és X0
⊥ k-dimenziós. Ezek egyesítése, azaz az e 1,...,e m ,f 1 ,...,f k vektorrendszer
továbbra is páronként ortogonális (ezért lineárisan független) vektorokból áll, továbbá a 2-15. Tétel
értelmében generálják is az R n teret, így bázist alkotnak R n -ben. Ezért e bázis elemszáma épp n, tehát
valóban, n = m + k.
Végezetül megmutatjuk, hogy az ortogonális vetület rendelkezik egyfajta minimumtulajdonsággal, mely a kétés
háromdimenziós terekben az elemi geometriából már jól ismert:
2-16. Tétel: Legyen X 0 ⊂ R n egy tetszőleges altér, x ∈ R n pedig egy tetszőleges vektor. Jelölje x 0 az x
vektor X 0 -ra vett ortogonális vetületét. Akkor x 0 az x vektorhoz legközelebb eső X 0 -beli vektor, azaz minden
y ∈ X 0 esetén ||x − x 0 || ≤ ||x − y||.
Bizonyítás:
Tetszőleges y ∈ X 0 esetén nyilván x − y = (x 0 − y) + (x − x 0 ). Az első zárójeles tag X 0 -beli, míg a második a