(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

2. lecke, 9. oldal
lineáris kombinációjaként, akkor az x − ∑ m
j=1 〈x,e j〉e j vektor egy nemzérus eleme lenne az {e 1 ,e 2 ,...e m } ⊥ ∩ X 0
altérnek, mivel mindegyik e k -ra ortogonális (k = 1,2,...,m):
〈x −
m∑
〈x,e j 〉e j ,e k 〉 = 〈x,e k 〉 −
j=1
m∑
〈x,e j 〉〈e j ,e k 〉 =
j=1
= 〈x,e k 〉 − 〈x,e k 〉 = 0
Tehát {e 1 ,e 2 ,...e m } egy generátorrendszer X 0 -ban, és mivel páronként ortogonális, azért lineárisan független
is, azaz bázist alkot X 0 -ban. A konstrukció miatt pedig e bázis elemei mind 1 normájúak, tehát a bázis
ortonormált. □
Az ortonormált bázisok kitüntetett szerepét világítja meg a következő példa. Legyen e 1 ,e 2 ,...,e n ∈ R n egy
tetszőleges (nem feltétlen ortogonális) bázis, és x ∈ R n tetszőleges vektor. Ha x-et elő akarjuk állítani az
e 1 ,e 2 ,...,e n bázisvektorok lineáris kombinációjaként:
x = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... + λ n e n ,
akkor ez a λ 1 ,...,λ n együtthatókra egy n-ismeretlenes algebrai egyenletrendszer megoldását jelenti. A helyzet
lényegesen egyszerűsödik, ha az e 1 ,e 2 ,...,e n bázis ortonormált. Ekkor ui. érvényes a következő tétel:
2-14. Tétel: Legyen e 1 ,e 2 ,...,e n ∈ R n egy ortonormált bázis, és x ∈ R n tetszőleges vektor, akkor:
x =
n∑
〈x,e j 〉e j
j=1