(pdf), nem vÃ©gleges kÃ©zirat - SzÃ©chenyi IstvÃ¡n Egyetem

More documents

Recommendations

Info

4.10.Ellenőrző kérdések 4.11.Feladatok 11. lecke 5. Többváltozós függvények 5.1. Többváltozós függvények bevezetése 5.2. Folytonosság 5.3. Többváltozós függvények differenciálhatósága 5.4. Parciális és iránymenti derivált, a második derivált mátrixa 12. lecke 5.5. Többváltozós függvények lokális szélsőértékei 5.6. Feltételes szélsőérték feladatok 5.7. Néhány alkalmazás 13. lecke 5.8. Többszörös integrálok 14. lecke 5.9. Ellenőrző kérdések 5.10.Feladatok 6. Ajánlott irodalom
1. Bevezetés Ez a jegyzet a Széchenyi István Egyetem mérnöki BSc szakos hallgatói számára készült. A jegyzet a lineáris algebra és a többváltozós analízis bevezető fejezeteit tartalmazza, melyek a mérnöki BSc képzés keretében a második félévben kerülnek leadásra. A jegyzet feltételezi az Analízis c. tantárgy ismeretét. A jegyzet lényegi része négy fejezetből áll. A bevezető utáni fejezetben felvázoljuk a legfontosabb lineáris algebrai fogalmakat (vektortér, altér, lineáris kombináció, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió stb.), és az ezekre vonatkozó alapvető tételeket. A következő fejezet lényegében az előző fejezetben felépített fogalom- és tételkör sík- és térgeometriai alkalmazása: itt egyenesek és síkok leírását végezzük el, azok jellemző problémaköreinek felvázolásával. A következő fejezet a lineáris leképezések és a mátrixok vizsgálatának van szentelve. Itt foglalkozunk a sokismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldásának néhány algoritmusával is (Gauss- ill. Gauss-Jordan-elimináció). Végül az utolsó fejezet a többváltozós analízis alapjait mutatja be (többváltozós függvények bevezetése, differenciálásuk, integrálásuk, többváltozós szélsőérték problámák). A jegyzet anyagát igyekeztünk alkalmazáscentrikusan felépíteni. Ennek megfelelően pl. elhagytuk a lineáris egyenletrendszerek megoldására vonatkozó klasszikus Cramer-szabályt (mely elméletileg nagy jelentőségű, de gyakorlati feladatmegoldásra – egészen kisméretű feladatoktól eltekintve – teljesen alkalmatlan). Helyette a Gauss-elimináció néhány változatának leírását építettük be a jegyzetbe. Nem foglalkoztunk a determinánsok kiszámításának elméleti hátterével sem. A többváltozós analízis tárgyalásakor (utolsó fejezet) külön hangsúlyt kaptak a szélsőérték feladatok (mind feltételes, mind feltétel nélküli megfogalmazásban). Itt találkozik legszembetűnőbben az analízis és a lineáris algebra addig különállónak látszó problémaköre. Ez a feladattípus különösen alkalmas a konstruktív problémamegoldás fejlesztésére, mivel a megoldandó matematikai probléma pontos megfogalmazása maga is a feladat része. A jegyzet leckékre van tagolva. Egy-egy lecke anyagát olyan összefüggő, egy témakörhöz tartozó anyag alkotja, melyet egyetlen alkalommal át lehet tekinteni. Természetesen ez nem jelenti azt, hogy a tanulás későbbi fázisaiban a korábbi leckéket már nem kell újra és újra átfutni. Épp ellenkezőleg: sokszor a későbbiek folyamán derül ki igazán egy-egy fogalom, tétel vagy módszer tulajdonképpeni jelentősége.
Page 1 and 2: Gáspár Csaba SZE-MTK, Matematika
Page 3: 3.3. Vektoriális szorzat 3.4. Sík
Page 7 and 8: 1. lecke Vektorok és vektorterek
Page 9 and 10: 1. lecke, 2. oldal Könnyen láthat
Page 11 and 12: 1. lecke, 4. oldal 2-3. Példa: A r
Page 13 and 14: 1. lecke, 6. oldal 2-5. Példa: Ál
Page 15 and 16: 2.2. Lineáris kombináció, lineá
Page 17 and 18: 1. lecke, 10. oldal 4. ábra. Két
Page 19 and 20: 2.3. Vektorterek bázisa, dimenzió
Page 21 and 22: 2. lecke Vektorok skaláris szorzat
Page 23 and 24: 2. lecke, 2. oldal 6. ábra. A norm
Page 25 and 26: 2. lecke, 4. oldal Megjegyzés: Ez
Page 27 and 28: 2.5. Ortogonalitás, ortogonális v
Page 29 and 30: Bizonyítás: 2. lecke, 8. oldal Ha
Page 31 and 32: Bizonyítás: 2. lecke, 10. oldal J
Page 33 and 34: 2. lecke, 12. oldal 2-15. Tétel é
Page 35 and 36: 2.6. Ellenőrző kérdések 3. leck
Page 37 and 38: 8. Ha egy vektortér 5-dimenziós,
Page 39 and 40: 3. lecke, 5. oldal 2-3. Feladat: Ig
Page 41 and 42: 2-11. Feladat: Igazoljuk, hogy tets
Page 43 and 44: 2-2 Megoldás: (a) nem (egy felülr
Page 45 and 46: 2-4 Megoldás: (a) igen (b) nem (e
Page 47 and 48: 2-6 Megoldás: 3. lecke, 13. oldal
Page 49 and 50: 2-8 Megoldás: 3. lecke, 15. oldal
Page 51 and 52: 2-10 Megoldás: A skaláris szorzat
Page 53 and 54: 2-12 Megoldás: Határozzuk meg, ho
Page 55 and 56:
A második egyenletből fejezzük k
Page 57 and 58:
4. lecke Sík- és térvektorok, eg
Page 59 and 60:
3.1. Síkvektorok, egyenesek a sík
Page 61 and 62:
4. lecke, 4. oldal 10. ábra. Síkv
Page 63 and 64:
4. lecke, 6. oldal Jegyezzük még
Page 65 and 66:
4. lecke, 8. oldal Két egyenes sz
Page 67 and 68:
4. lecke, 10. oldal Ha a = (a 1 ,a
Page 69 and 70:
5. lecke Vektorok vektoriális szor
Page 71 and 72:
5. lecke, 2. oldal A következő t
Page 73 and 74:
3.4. Síkok a térben 5. lecke, 4.
Page 75 and 76:
5. lecke, 6. oldal 16. ábra. Háro
Page 77 and 78:
5. lecke, 8. oldal illeszkedő sík
Page 79 and 80:
3.5. Ellenőrző kérdések 6. leck
Page 81 and 82:
6. lecke, 3. oldal 8. Ha egy sík n
Page 83 and 84:
6. lecke, 5. oldal 3-5. Feladat: Ad
Page 85 and 86:
3-14. Feladat: Egy síkon vannak-e
Page 87 and 88:
3-22. Feladat: Egy síkra esnek-e a
Page 89 and 90:
6. lecke, 11. oldal 3-32. Feladat:
Page 91 and 92:
3-2 Megoldás: 6. lecke, 13. oldal
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
3-6 Megoldás: Az eredmény (számo
Page 97 and 98:
3-8 Megoldás: A metszésvonal mind
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
6. lecke, 23. oldal 3-12 Megoldás:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
3-18 Megoldás: Legyen a két vekto
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
3-22 Megoldás: A négy pont akkor,
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
3-26 Megoldás: Az adott síkok nor
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
3-31 Megoldás: A normálegyenletek
Page 123 and 124:
7. lecke Lineáris leképezések, m
Page 125 and 126:
7. lecke, 2. oldal 4-1. Állítás:
Page 127 and 128:
4.2. Mátrixok, műveletek mátrixo
Page 129 and 130:
7. lecke, 6. oldal 4-4. Definíció
Page 131 and 132:
7. lecke, 8. oldal • (d) n × 1-e
Page 133 and 134:
7. lecke, 10. oldal 4-2. Példa: Az
Page 135 and 136:
4.4. Mátrixok inverze és determin
Page 137 and 138:
2. Forgatómátrix inverze: A 2 ×
Page 139 and 140:
7. lecke, 16. oldal 4-7. Definíci
Page 141 and 142:
7. lecke, 18. oldal Megjegyzés: A
Page 143 and 144:
4.5. Lineáris egyenletrendszerek m
Page 145 and 146:
4.6. Megoldási algoritmus: a Gauss
Page 147 and 148:
ezzel a 2. és 3. egyenletből kik
Page 149 and 150:
8. lecke, 7. oldal esetben a mátri
Page 151 and 152:
8. lecke, 9. oldal Megoldás: A Gau
Page 153 and 154:
8. lecke, 11. oldal Tehát egy mát
Page 155 and 156:
9. lecke Sajátértékek, sajátvek
Page 157 and 158:
9. lecke, 2. oldal 4-11. Példa: A
Page 159 and 160:
9. lecke, 4. oldal Ha a sajátért
Page 161 and 162:
azaz = λ 2 − (a 11 + a 22 )λ +
Page 163 and 164:
4.8. Önadjungált mátrixok 9. lec
Page 165 and 166:
9. lecke, 10. oldal miatt megegyezn
Page 167 and 168:
9. lecke, 12. oldal teszi a pozití
Page 169 and 170:
4.9. Néhány speciális mátrixosz
Page 171 and 172:
9. lecke, 16. oldal minden x ∈ R
Page 173 and 174:
4-17. Példa: Az ⎛ A := ⎝ 0 1 0
Page 175 and 176:
10. lecke Ellenőrző kérdések é
Page 177 and 178:
6. A ( −2 7 7 −25 ) mátrix poz
Page 179 and 180:
4.11. Feladatok 10. lecke, 4. oldal
Page 181 and 182:
10. lecke, 6. oldal 4-8. Feladat: S
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
4-23. Feladat: Határozzuk meg a k
Page 187 and 188:
10. lecke, 12. oldal ⎛ 4-29. Fela
Page 189 and 190:
4-1 Megoldás: Ilyen mátrix a köv
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
4-5 Megoldás: ( ) a11 a Legyen A :
Page 195 and 196:
4-7 Megoldás: A számítás sémá
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
10. lecke, 24. oldal homogén egyen
Page 201 and 202:
4-12 Megoldás: Ha As = λs, akkor
Page 203 and 204:
4-14 Megoldás: Az A mátrix pozit
Page 205 and 206:
4-16 Megoldás: 10. lecke, 30. olda
Page 207 and 208:
4-18 Megoldás: Tegyük fel, hogy
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
4-22 Megoldás: Először nézzük
Page 213 and 214:
4-24 Megoldás: Kezdjük a determin
Page 215 and 216:
Az utolsó egyenletből adódik, ho
Page 217 and 218:
Innen az eredmény közvetlenül le
Page 219 and 220:
4-28 Megoldás: Az eliminációs l
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Tehát a λ = 2 sajátértékhez ta
Page 225 and 226:
ahol u,v ∈ R. A λ = 0 sajátért
Page 227 and 228:
10. lecke, 52. oldal Kialakult egy
Page 229 and 230:
10. lecke, 54. oldal ⎛ ⎝ 2 0 3
Page 231 and 232:
4-35 Megoldás: Az A ∈ M n×n ön
Page 233 and 234:
5. Többváltozós függvények 11.
Page 235 and 236:
5.2. Folytonosság 11. lecke, 3. ol
Page 237 and 238:
5-2. Példa: Tekintsük az alábbi
Page 239 and 240:
11. lecke, 7. oldal A deriváltra -
Page 241 and 242:
Legyen τ ∈ R tetszőleges, írju
Page 243 and 244:
5-5. Példa: Legyen f : R n → R,
Page 245 and 246:
Nyilván e ∗ = grad f(x) , innen
Page 247 and 248:
12. lecke Többváltozós függvén
Page 249 and 250:
12. lecke, 2. oldal 19. ábra. Pél
Page 251 and 252:
12. lecke, 4. oldal 5-9. Következm
Page 253 and 254:
12. lecke, 6. oldal Azonban x, y é
Page 255 and 256:
12. lecke, 8. oldal ∂ 2 f ∂α
Page 257 and 258:
Bizonyítás: 12. lecke, 10. oldal
Page 259 and 260:
12. lecke, 12. oldal Szélsőérté
Page 261 and 262:
feltétel mellett. A Lagrange-függ
Page 263 and 264:
12. lecke, 16. oldal ahonnan kapjuk
Page 265 and 266:
lehet, ahol mindkét parciális der
Page 267 and 268:
A rendszer mátrixa (n + 1)-edrend
Page 269 and 270:
5.8. Többszörös integrálok 13.
Page 271 and 272:
13. lecke, 3. oldal ∫ ∫ ∫ T f
Page 273 and 274:
13. lecke, 5. oldal 20. ábra. Az (
Page 275 and 276:
13. lecke, 7. oldal Ha most a felbo
Page 277 and 278:
A megoldáshoz a 5-13. Következmé
Page 279 and 280:
13. lecke, 11. oldal 5-14. Tétel:
Page 281 and 282:
13. lecke, 13. oldal Megoldás: Ω
Page 283 and 284:
Speciális eset: integrálás polá
Page 285 and 286:
5-24. Példa: Számítsuk ki az ∫
Page 287 and 288:
5.9. Ellenőrző kérdések 14. lec
Page 289 and 290:
14. lecke, 3. oldal 8. Legyen T :=
Page 291 and 292:
14. lecke, 5. oldal 5-4. Feladat: M
Page 293 and 294:
5-11. Feladat: Számítsuk ki az al
Page 295 and 296:
Page 297 and 298:
Page 299 and 300:
5-2 Megoldás: Legyenek x n ,y n
Page 301 and 302:
5-4 Megoldás: (a) Nyilván u(x,y)
Page 303 and 304:
Page 305 and 306:
Page 307 and 308:
5-9 Megoldás: Áttérve polárkoor
Page 309 and 310:
14. lecke, 23. oldal Mivel a logari
Page 311 and 312:
Page 313 and 314:
5-13 Megoldás: Az f függvénynek
Page 315 and 316:
5-15 Megoldás: Első lépésben me
Page 317 and 318:
Page 319 and 320:
Page 321 and 322:
Page 323 and 324:
Page 325 and 326:
Page 327 and 328:
14. lecke, 41. oldal most is érvé
Page 329 and 330:
hiszen cos π 2 = 0 . A kettős int
Page 331 and 332:
Előbb a belső, majd a külső int
Page 333 and 334:
5-25 Megoldás: Polárkoordináták
Page 335 and 336:
14. lecke, 49. oldal Megjegyzés: A
show all

(pdf), nem vÃ©gleges kÃ©zirat - SzÃ©chenyi IstvÃ¡n Egyetem

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?